Matrix invertieren
Die Inverse einer Matrix 
ist die Matrix 
sodass folgendes gilt:
Wobei 
die Einheitmatrix der entsprechenden Dimension ist, also eine Matrix, die auf der Hauptdiagonalen nur 
und sonst nur 
als Einträge besitzt. Für 
ist also 
. Für 
ist 
Für die Berechnung der Inversen gibt es im zweidimensionalen und dreidimensionalen Fall eine Formel:
=
=
=
Für alle Matrizen kannst du die Inverse auch mit Hilfe des Gauß‘schen Eliminierungsverfahrens berechnen. Wende das Verfahren dazu auf die Matrix 
an, so lange bis links steht. Die Matrix, die dann auf der rechten Seite steht ist .
Für die Berechnung der Inversen gibt es im zweidimensionalen und dreidimensionalen Fall eine Formel:
Vollständigen Rechenweg
1.
Berechne die Inverse der folgenden Matrizen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2.
Berechne die Inverse der folgenden Matrizen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3.
Untersuche, welche der folgenden Matrizen invertierbar sind.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.
Zeige durch Matrizenmultiplikation, dass die Inverse von Matrix 
ist.
,
,
,
,
a)
b)
c)
d)
5.
Untersuche, für welche Werte von 
die Inverse der Matrix existiert.
a)
b)
c)
d)
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1.
Für die Inverse einer 2x2-Matrix 
gilt allgemein:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3.
Eine quadratische Matrix ist invertierbar genau dann, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Berechne also die Determinante der Matrizen nach der Sarrus-Regel.
a)
Die Determinante ist nicht Null. Also ist die Matrix invertierbar.
b)
Die Determinante ist nicht Null. Also ist die Matrix invertierbar.
c)
Die Determinante ist Null. Also ist die Matrix nicht invertierbar.
d)
Die Determinante ist nicht Null. Also ist die Matrix invertierbar.
e)
Die Determinante ist Null. Also ist die Matrix nicht invertierbar.
f)
Die Determinante ist Null. Also ist die Matrix nicht invertierbar.
4.
Eine Matrix ist die Inverse von Matrix , falls gilt: 
und 
. Dabei bezeichnet 
die Einheitsmatrix.
a)
b)
c)
d)
5.
Die Inverse einer Matrix existiert, wenn die Determinante von ungleich Null ist. Berechne also in Abhängigkeit von die Determinante von und betrachte, für welche sie Null wird. Für diese Werte von existiert die Inverse dann nicht, für alle anderen Werte allerdings schon.
![\(\begin{array}[t]{l}
\det\begin{pmatrix}2&t\\-1&3\end{pmatrix}&=&2\cdot3-(-1)\cdot t\\
&=&6+t
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7c2bb69475830d757e890e4ae314f793021f9a048992d6cf8cec9de15cfa4ca8?color=5a5a5a)
Es gilt: 
für 
. Also existiert für alle 
die Inverse von .
![\(\begin{array}[t]{l}
\det\begin{pmatrix}4&-1\\6&2t\end{pmatrix}&=&4\cdot2t-6\cdot(-1)\\
&=&8t+6
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2f149ec7a39b83fc18e0c12ed160ae05d5326de426a297c957ab1b467f8f5caf?color=5a5a5a)
Setze 
:
![\(\begin{array}[t]{l}
8t+6&=&0&\scriptsize{\mid\;-6}\\[5pt]
8t&=&-6&\scriptsize{\mid\;:8}\\[5pt]
t&=&-\dfrac{6}{8}=-\dfrac{3}{4}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ad461cc8763aa3f315b0a0e2998712fb18a9455e19d7e51b94d2fe6f7c87ed89?color=5a5a5a)
Es gilt: für 
. Also existiert für alle 
die Inverse von .
a)
b)
c)
d)