Polynomdivision
Mit Hilfe der Polynomdivision kann man Nullstellen von Polynomfunktionen bestimmen. Dabei geht man ähnlich wie bei der schriftlichen Division vor.
Im Grunde geht es hierbei darum eine Nullstelle eines Polynoms „herauszuteilen“ um ein vereinfachtes Polynom zu erhalten, bei dem man die Nullstellen leichter bestimmen kann.
Hat man also eine Nullstelle 
eines Polynoms 
gegeben, so berechnet man mit der Polynomdivision ein Polynom 
mit
= 
= 
Wegen des Satzes vom Nullprodukt sind die Nullstellen von 
auch wieder Nullstellen von 
. Meist wird diese erste Nullstelle in den Aufgaben vorgegeben. Man kann sie aber auch durch Probieren herausfinden.
und teilen diesen durch 
. Das Ergebnis schreiben wir hinter das 
.
Anschließend multiplizieren wir dieses Ergebnis mit dem Polynom durch das geteilt wird und schreiben dies als Kontrollergebnis unter das erste Polynom mit einem 
davor:
Nun berechnen wir wie bei der schriftlichen Division den Rest, indem wir dieses Kontrollergebnis vom ersten Polynom abziehen und gleichzeitig den nächsten Summanden des Polynoms nach unten holen:
Wie bei der schriftlichen Division betrachten wir nun den nächsten Summanden der im Rest vorkommt 
und führen damit das gleiche durch. Dies geschieht so lange bis kein Rest mehr bleibt:
Vorgehen
Wir illustrieren das Vorgehen hier an einem Beispiel: Wir betrachten zunächst den ersten Summanden
Vollständige Lösung anzeigen
1.
Bestimme mit Hilfe der Polynomdivision die Nullstellen der Funktion .
a)
b)
c)
d)
2.
Bestimme eine Nullstelle durch Erraten und berechne die übrigen durch Polynomdivision.
a)
b)
c)
d)
3.
a)
Die Funktion mit 
hat die Nullstelle 
. Bestimme die weiteren Nullstellen.
b)
Gegeben ist die Gleichung 
sowie eine Lösung . Bestimme die übrigen Lösungen.
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1.
a)
Weitere Nullstellen mit p-q-Formel bestimmen:
b)
Weitere Nullstellen mit p-q-Formel bestimmen:
c)
Weitere Nullstellen mit p-q-Formel bestimmen:
d)
Weitere Nullstellen bestimmen:
2.
a)
Nullstelle erraten:
Da nur die Teiler von 8 als Nullstelle in Frage kommen, bietet sich beispielsweise 
als mögliche Nullstelle an. Dies wird durch Einsetzen in die Funktionsgleichung überprüft:
1 ist also eine Nullstelle.
Polynomdivision:
Weitere Nullstellen mit p-q-Formel bestimmen:
b)
Nullstelle erraten:
Da nur die Teiler von 6 als Nullstelle in Frage kommen, bietet sich beispielsweise als mögliche Nullstelle an. Dies wird durch Einsetzen in die Funktionsgleichung überprüft:
1 ist also eine Nullstelle.
Polynomdivision:
Weitere Nullstellen mit p-q-Formel bestimmen:
c)
Nullstelle erraten:
Da nur die Teiler von 12 als Nullstelle in Frage kommen, bietet sich beispielsweise 
als mögliche Nullstelle an. Dies wird durch Einsetzen in die Funktionsgleichung überprüft:
3 ist also eine Nullstelle.
Polynomdivision:
Weitere Nullstellen mit p-q-Formel bestimmen:
d)
Nullstelle erraten:
Da nur die Teiler von 30 als Nullstelle in Frage kommen, bietet sich beispielsweise 
als mögliche Nullstelle an. Dies wird durch Einsetzen in die Funktionsgleichung überprüft:
2 ist also eine Nullstelle.
Polynomdivision:
Weitere Nullstellen mit p-q-Formel bestimmen:
3.
a)
Bei einem Polynom mit der Nullstelle 
gilt generell: Um weitere Nullstellen zu berechnen, muss das gesamte Polynom durch (
minus Nullstelle) dividiert werden, hier also durch (
). Bei der Polynomdivision ergibt sich:
wird mit Hilfe der p-q-Formel gelöst:
Es ergeben sich damit die beiden weiteren Nullstellen 
und 
.
b)
Bei dem gegebenen Polynom ist bereits eine Nullstelle gegeben. Generell gilt: Um die weiteren Nullstellen zu finden, muss durch ( minus Nullstelle) geteilt werden. Anschließend löst du die die entstehende Gleichung.
Die Polynomdivision durch () ergibt:
Die weiteren Lösungen ergeben sich also aus 
und werden mit der p-q-Formel bestimmt:
Die Gleichung hat also die drei Lösungen 
, 
und 
.