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Flächeninhalt zwischen Graph und Achse

Den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse kannst du mit Hilfe von Integralen berechnen.

Beispiel

Das Integral \(\displaystyle\int_{0}^{2} \left(x^2\right)\;\mathrm dx\) beschreibt den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen zu \(f(x) = x^2\) im Bereich \(x =0\) bis \(x =2\) eingeschlossen wird. Im folgenden Bild ist die Fläche grau markiert.
Graph der Funktion f(x) = x² mit grünem Bereich, Koordinatensystem und Beschriftungen.

Vorgehen

Sollst du den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse bestimmen, so gibt es zwei mögliche Aufgabentypen:
Hast du die Grenzen des Bereichs, also \(a\) und \(b\), gegeben, so gehe wie folgt vor:
  1. Überprüfe, ob zwischen den beiden Grenzen \(a\) und \(b\) eine oder sogar mehrere Nullstellen von \(f\) liegen.
    • Gibt es keine Nullstellen im angegebenen Intervall, so berechne das Integral über \(f(x)\) in den Grenzen \(a\) und \(b\). Nimm am besten immer den Betrag des Integrals. Denn wenn die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, hat das Integral ein negatives Vorzeichen, Flächeninhalte sind aber immer positiv.
    • Gibt es Nullstellen, so musst du mehrere Integrale über \(f\) berechnen: Das Integral von der unteren Grenze \(a\) bis zur ersten Nullstelle, das Integral von der ersten Nullstelle bis zur zweiten Nullstelle,... , das Integral von der letzten Nulltelle bis zur oberen Grenze \(b\). Zum Schluss musst du die Beträge addieren.
Hast du keine Grenzen gegeben, so gibt es meist nur eine Fläche, die vollständig von dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird. Gehe dann wie folgt vor:
  1. Bestimme die Nullstellen von \(f\). In solchen Fällen gibt es meist genau zwei.
  2. Berechne das Integral über \(f\) mit den Nullstellen als Grenzen. Gibt es doch mehr als zwei Nullstellen, so musst du auch hier von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und alle Beträge addieren.

Beispiel 1

Bereche den Inhalt der Fläche, den die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^2 +9\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
Da hier die Grenzen nicht gegeben sind, müssen wir die Nullstellen berechnen. Diese ergeben sich mit \(a = -3\), \(b = 3\). Berechne also den Betrag des Integrals über \(f\) mit den Nullstellen als Grenzen:
\(A_f = \left|\displaystyle\int_{-3}^{3} \left(-x^2+9\right)\;\mathrm dx \right| = 36 \)

Beispiel 2

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) mit \(f(x) = x^3-9x\) und der \(x\)-Achse im Bereich \(a = -3\) bis \(b =3\).
Die Nullstellen sind hier \(a =-3\) ,\(x_0 = 0\) und \(b =3\). Hier musst du also zwei Integrale berechnen:
\(A = 40,5\) (FE)

Auf dem folgenden Bild sind die beiden Teilflächen dargestellt:
Graph einer Funktion mit grünem Bereich, dargestellt auf einem Koordinatensystem.