Vermischte Aufgaben Funktionsgleichungen aufstellen

Gegeben sind die Schaubilder einiger ganzrationaler Funktionen. Bestimme einen möglichen Funktionsterm.

Graph einer Parabel im Koordinatensystem mit Achsen x und y.

Hinweis: $f(\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$

Graph einer Funktion im Koordinatensystem mit Achsen und Gitterlinien.

Hinweis: $f(\frac{1}{2})=-\frac{13}{8}$

Graph einer Parabel im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Grafik eines Parabelverlaufs im Koordinatensystem.

Graph einer Funktion im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Graf einer Parabel im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Gegeben sind die Schaubilder einiger gebrochenrationaler Funktionen. Bestimme einen möglichen Funktionsterm.

Grafik eines Koordinatensystems mit einer Kurve, die sich in den Quadranten erstreckt.

Grafik eines Koordinatensystems mit einer Kurve, die den Verlauf einer Funktion darstellt.

Grafik eines mathematischen Diagramms mit einer gebogenen und einer geraden Linie auf einem Koordinatensystem.

Hinweis: $f(0)=-\frac{1}{4}$

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsen und Gitterlinien.

Graph einer Funktion mit asymptotischem Verhalten und einer Linie, die eine negative Steigung zeigt.

Graph einer Funktion mit asymptotischem Verhalten und einer Parabel im Bereich der y-Achse.

Ordne jedem Funktionsterm ein Schaubild zu und begründe deine Entscheidung.

$f(x)=x\cdot\mathrm{e}^{(x^2)}$

$f(x)=(x-1)\cdot\mathrm{e}^{x}$

$f(x)=2\cdot\mathrm{e}^{-x}-x$

$f(x)=5x\cdot\mathrm{e}^{-(x+1)}$

$f(x)=-5x\cdot\mathrm{e}^{x}$

$f(x)=(x+2)^2\cdot\mathrm{e}^{-2x}$

(1)

Graph einer Funktion mit asymptotischem Verhalten und einer Nullstelle. Achsen sind beschriftet.

(2)

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit Koordinatenachsen.

(3)

Graph einer Funktion im Koordinatensystem mit x- und y-Achse, zeigt eine Kurve von links nach rechts.

(4)

Graph einer Funktion im Koordinatensystem mit gekrümmtem Verlauf. Achsen sind beschriftet.

(5)

Graf einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

(6)

Graph einer Kurve im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Gegeben sind die Schaubilder einiger trigonometrischer Funktionen.

Interpretiere folgende Schaubilder als Sinuskurven und bestimme einen möglichen Funktionsterm.

(1)

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsen und Kurve, die verschiedene Werte zeigt.

(2)

Graph einer sinusförmigen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt Wellenmuster zwischen -2 und 2.

(3)

Graph einer sinusförmigen Funktion mit Achsenbeschriftungen und Werten von -2 bis 2 auf der y-Achse.

(4)

Grafik einer Sinuskurve im Koordinatensystem mit den Achsen x und y.

Interpretiere folgende Schaubilder als Cosinuskurven und bestimme einen möglichen Funktionsterm.

(1)

Grafik eines sinusförmigen Verlaufs auf einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

(2)

Graph einer trigonometrischen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt Wellenbewegungen zwischen -2 und 2.

(3)

Graf einer sinusförmigen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt Schwankungen zwischen -2 und 2.

(4)

Graph einer sinusförmigen Welle mit X- und Y-Achse, die mehrere Perioden zeigt.

Ordne jedem Funktionsterm ein Schaubild zu und begründe deine Entscheidung.

$f(x)=x\cdot\ln{(x)}$

$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$

$f(x)=\ln{(x+2)}$

$f(x)=\ln{(3x)}$

(1)

Graph einer fallenden Funktion im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

(2)

Graph einer Funktion im Koordinatensystem mit einer asymptotischen Kurve.

(3)

Graf einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Achsen und einem Verlauf von negativ zu positiv.

(4)

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Funktionsgleichungen bestimmen

Ansatz: Funktion 2. Grades mit

$f(x)=ax^2+bx+c$ .

Aus dem Schaubild liest man z.B.

$f(0)=\frac{3}{2}$ , $f(1)=\frac{1}{2}$ und $f(2)=\frac{3}{2}$ ab.

Einsetzen in

$f(x)=ax^2+bx+c$

ergibt:

$0=4a+2b$

Vollständige Lösung anzeigen

Setzt man $a=-1-b$ in (3a) ein,

so erhält man:

$\begin{array}{rll} \quad 0=&4\cdot(-1-b)+2b \\ \quad 0=&-4-4b+2b&\scriptsize\mid +2b \\ \quad 2b=&-4&\scriptsize\mid :2 \\ \quad b=&-2 \end{array}$

Setzt man $b=-2$ in (2a) ein, so erhält man:

$a=-1-(-2) \quad \Longrightarrow a=1$

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=x^2-2x+\dfrac{3}{2}$ .

Ansatz: Funktion 3. Grades, punktsymmetrisch zum Ursprung ( $\Longrightarrow$ nur ungerade Exponenten) mit $f(x)=ax^3+bx$ .

Aus dem Schaubild liest man z.B. $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{8}$ und $f(1)=4$ ab.

Einsetzen in $f(x)=ax^3+bx$ ergibt:

$a=4-b$

Vollständige Lösung anzeigen

Setzt man $a=4-b$ in (1a) ein, so erhält man:

$\begin{array}{rll} \quad 7=&4-b+4b&\scriptsize\mid -4 \\ \quad 3=&3b&\scriptsize\mid \;:3 \\ \quad b=&1 \end{array}$

Setzt man $b=1$ in (2a) ein,

so erhält man:

$a=4-1=3$

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=3x^3+x$ .

Ansatz: Funktion 4. Grades, achsensymmetrisch zur x-Achse ( $\Longrightarrow$ nur gerade Exponenten) mit $f(x)=ax^4+bx^2+c$ .

Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(0)=-1$ , $f(-1)=-2$ und $f(\frac{1}{2})=-\frac{13}{8}$ ab.

Einsetzen in $f(x)=ax^4+bx^2+c$ ergibt:

$-26=a+4b-16$

Vollständige Lösung anzeigen

Setzt man $a=-1-b$ in (3a) ein, so erhält man:

$\begin{array}{rll} \quad-26=&-1-b+4b-16&\scriptsize\mid +17 \\ \quad-9=&3b&\scriptsize\mid \;:3 \\ \quad b=&-3 \end{array}$

Setzt man $b=-3$ in (2a) ein, so erhält man:

$a=-1-(-3)=2$

Die Funktionsgleichung lautet damit: $f(x)=2x^4-3x^2-1$ .

Ansatz: Funktion 4. Grades mit 4 Nullstellen (eine bei $x_0=-1$ ,eine bei $x_1=2$ und eine doppelte Nullstelle bei $x_2=\frac{1}{2}$ ) und der Faktorisierung

$f(x)=a(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)^2.$

Damit erhält man:

$a\cdot\left(x^4-2x^3-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right)$

Vollständige Lösung anzeigen

Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(0)=-\frac{1}{2}$ ab.
Einsetzen in den Ansatz liefert:

$\Longrightarrow a=1$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=x^4-2x^3-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}$ .

Ansatz: Funktion 3. Grades mit 3 Nullstellen (eine bei $x_0=-\frac{3}{2}$ , eine bei $x_1=0$ und eine bei $x_2=\frac{1}{2}$ ) und der Faktorisierung

$f(x)=a(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$ .

Damit erhält man:

$a\cdot\left(x^3+x^2-\dfrac{3}{4}x\right)$

Vollständige Lösung anzeigen

Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$ ab.
Einsetzen in den Ansatz liefert:

$a=-1$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Funktionsgleichung lautet damit: $f(x)=-x^3-x^2+\dfrac{3}{4}x$ .

Ansatz: Funktion 2. Grades mit zwei Nullstellen (eine bei $x_0=-1$ und eine bei $x_1=0$ ) und der Faktorisierung $f(x)=a\cdot(x-x_0)\cdot(x-x_1)$ .

Damit erhält man:

$\begin{array}{rl} \quad f(x)=&a\cdot(x+1)\cdot x \\ \quad=&a\cdot(x^2+x) \end{array}$

Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(-2)=4$ ab.
Einsetzen in den Ansatz liefert:

$\begin{array}{rll} \quad4=&a\cdot((-2)^2-2) \\ \quad4=&a\cdot(4-2) \\ \quad4=&2a&\scriptsize\mid \;:2 \\ \quad a=&2 \end{array}$

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=2x^2+2x$ .

Funktionsgleichungen bestimmen

Prinzipiell braucht man bei solchen Aufgaben einen allgemeinen Ansatz. Mithilfe von Punkten, Polstellen und Asymptoten kann man dann die Funktionsgleichung näher bestimmen.
Der allgemeine Ansatz lautet

$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^n}+c(x)$ mit $n=1$

falls ein VZW vorliegt und

$n=2$

falls kein VZW vorliegt.
Dabei beschreibt $b$ die Verschiebung in $x$ -Richtung und $c$ die Verschiebung in $y$ -Richtung. Die Werte von $b$ und $c$ müssen anhand von Polstellen und Asymptoten entsprechend bestimmt werden. Die Polstellen sind die Stellen, an denen der Nenner gleich Null ist. Eine Asymptote liegt vor, falls sich die Funktion für $x\rightarrow{ }\pm\infty$ einer Geraden (waagrechte oder schiefe Asymptote) annähert.

Ansatz:

$f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c(x)$

Polstelle bei $x=-2 \Longrightarrow b=2$

waagrechte Asymptote bei

$y=-2 \Longrightarrow c(x)=-2$ .

Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(-1)=-1$ ab. Einsetzen liefert:

$-1=\dfrac{a}{-1+2}-2=a-2$
$\Longrightarrow a=1$

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=\dfrac{1}{x+2}-2$

Ansatz:

$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^2}+c(x)$ (kein VZW)

Polstelle bei $x=1 \Longrightarrow b=-1$

waagrechte Asymptote bei

$y=0 \Longrightarrow c(x)=0$ .

Aus dem Schaubild liest man z.B.

$f(0)=3$

ab. Einsetzen liefert:

$3=\dfrac{a}{(0-1)^2}+0=a \Longrightarrow a=3$

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=\dfrac{3}{(x-1)^2}$

Ansatz:

$f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c(x)$

Polstelle bei $x=0 \Longrightarrow b=0$

schiefe Asymptote mit

$y=\frac{1}{2}x+2 \Longrightarrow c(x)=\frac{1}{2}x+2$ .

Aus dem Schaubild liest man z.B.

$f(2)=2$

ab. Einsetzen liefert:

$2=\dfrac{a}{2+0}+\dfrac{1}{2}\cdot2+2=\dfrac{a}{2}+3$
$\Longrightarrow a=-2$

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{2}x+2$

Ansatz:

$f(x)=\dfrac{a}{(x+b_1)(x+b_2)}+c(x)$

(zwei Polstellen)

1. Polstelle bei $x=-1 \Longrightarrow b_1=1$

2. Polstelle bei $x=2 \Longrightarrow b_2=-2$

schiefe Asymptote mit

$y=x \Longrightarrow c(x)=x$ .

Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(0)=-\frac{1}{4}$ ab. Einsetzen liefert:

$-\dfrac{1}{4}=\dfrac{a}{(0+1)(0-2)}+0=-\dfrac{a}{2}$
$\Longrightarrow a=\dfrac{1}{2}$

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=\dfrac{1}{2(x+1)(x-2)}+x$

Ansatz:

$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^2}+c(x)$

(kein VZW)

Polstelle bei $x=-1 \Longrightarrow b=1$

schiefe Asymptote mit

$y=-\frac{1}{2}x \Longrightarrow c(x)=-\frac{1}{2}x$ .

Aus dem Schaubild liest man z.B.

$f(0)=\frac{3}{2}$

ab. Einsetzen liefert:

$\dfrac{3}{2}=\dfrac{a}{(0+1)^2}-\dfrac{1}{2}\cdot0=a$
$\Longrightarrow a=\dfrac{3}{2}$

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=\dfrac{3}{2(x+1)^2}-\dfrac{1}{2}x$

Ansatz:

$f(x)=\dfrac{a}{(x+b_1)(x+b_2)}+c(x)$

(zwei Polstellen)

1. Polstelle bei $x=-1 \Longrightarrow b_1=1$

2. Polstelle bei $x=\frac{1}{2} \Longrightarrow b_2=-\frac{1}{2}$

waagrechte Asymptote bei

$y=0 \Longrightarrow c(x)=0$ .

Aus dem Schaubild liest man z.B.

$f(0)=4$

ab. Einsetzen liefert:

$4=\dfrac{a}{(0+1)(0-\frac{1}{2})}=\dfrac{a}{-\frac{1}{2}}=-2a$
$\Longrightarrow a=-2$

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=-\dfrac{2}{(x+1)(x-\frac{1}{2})}$

Funktionsgleichungen zuordnen

$f(x)=x\cdot\mathrm{e}^{(x^2)}$ $\longrightarrow$ (5)

Begründung:

$f(x)=x\cdot\mathrm{e}^{(x^2)}\rightarrow\pm\infty\;(x\rightarrow\pm\infty)$ .

$f(x)=(x-1)\cdot\mathrm{e}^{x}$ $\longrightarrow{}$ (4)

Begründung:

$f(x)=(x-1)\cdot\mathrm{e}^{x}$ hat als einzige der sechs Funktionen eine Nullstelle bei $x=1$ .

$f(x)=2\cdot\mathrm{e}^{-x}-x$ $\longrightarrow{}$ (6)

Begründung:

$f(x)=2\cdot\mathrm{e}^{-x}-x$
$\rightarrow\mp\infty\;(x\rightarrow\pm\infty)$ .

$f(x)=5x\cdot\mathrm{e}^{-(x+1)}$ $\longrightarrow{}$ (3)

Begründung:

$f(x)=5x\cdot\mathrm{e}^{-(x+1)}$
$\rightarrow-\infty\;(x\rightarrow-\infty)$

und (5) ist bereits zugeordnet.

$f(x)=-5x\cdot\mathrm{e}^{x}$ $\longrightarrow{}$ (2)

Begründung:

$f(x)=-5x\cdot\mathrm{e}^{x}\rightarrow-\infty\;(x\rightarrow\infty)$ und $f(x)=-5x\cdot\mathrm{e}^{x}$ hat eine Nullstelle bei $x=0$ .

$f(x)=(x+2)^2\cdot\mathrm{e}^{-2x}$ $\longrightarrow{}$ (1)

Begründung:

$f(x)=(x+2)^2\cdot\mathrm{e}^{-2x}$

hat als einzige der sechs Funktionen eine Nullstelle bei $x=-2$ .

Funktionsgleichungen bestimmen

Für diesen Typ von Aufgaben gibt es einen generellen Ansatz:

$f(x)=a\cdot\sin{(bx+c)}+d$ ( $a>0$ ).

Dabei beschreibt

a die Streckung in $y$ -Richtung,

b die Streckung in $x$ -Richtung

$p=$ Abstand zwischen zwei Extrema,

$b=\frac{\pi}{p}$ ,

c die Verschiebung in $x$ -Richtung,

d die Verschiebung in $y$ -Richtung.

Für den Fall $a<0$ beschreibt $\mid a \mid$ die Streckung in $y$ -Richtung und die gesamte Funktion ist mit $c=\pi$ in $x$ -Richtung verschoben.

(1) Verschiebung in $y$ -Richtung:

$d=-1$ .

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $(\pi|0)$ , allerdings ist die Funktion um 1 nach unten verschoben. Daher ist $a=0-(-1)=1$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Extrema liegen um $2\pi$ auseinander, daher ist $b=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

keine, $c=0$ .

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=\sin{\left(\dfrac{1}{2}x\right)}-1$ .

(2) Verschiebung in $y$ -Richtung:

keine, $d=0$ .

Streckung in $y$ -Richtung:

Tiefpunkt liegt bei $(pi\mid -2)$ , daher ist

$a=2$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Extrema liegen um $2\pi$ auseinander, daher ist

$b=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

Da an der Stelle $x=\pi$ ein Tiefpunkt vorliegt, ist die Funktion um $c=\pi$ in $x$ -Richtung verschoben.

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=2\sin{\left(\dfrac{1}{2}x+\pi\right)}$ .

(3) Verschiebung in $y$ -Richtung:

$d=\frac{1}{2}$ .

Streckung in $y$ -Richtung:

Der Funktionswert des Maximums ist $y=\frac{5}{2}$ . Da die Funktion aber um $\frac{1}{2}$ nach oben verschoben ist, gilt

$a=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Extrema liegen um $\pi$ auseinander,

daher ist $b=\dfrac{\pi}{\pi}=1$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

keine, $c=0$ .

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=2\sin{(x)}+\dfrac{1}{2}$ .

(4) Verschiebung in $y$ -Richtung:

keine, $d=0$ .

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $(0|1)$ , daher ist $a=1$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Extrema liegen um $\pi$ auseinander,

daher ist $b=\dfrac{\pi}{\pi}=1$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

Da an der Stelle $x=0$ ein Hochpunkt vorliegt ist die Funktion um $c=\frac{\pi}{2}$ in $x$ -Richtung verschoben.

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}$ .

Für diesen Typ von Aufgaben gibt es einen generellen Ansatz:

$f(x)=a\cdot\cos{(bx+c)}+d$ ( $a>0$ ).

Dabei beschreibt

a die Streckung in $y$ -Richtung,

b die Streckung in $x$ -Richtung

$p=$ Abstand zwischen zwei Extrema,

$b=\frac{\pi}{p}$ ,

c die Verschiebung in $x$ -Richtung,

d die Verschiebung in $y$ -Richtung.

Für den Fall $a<0$ beschreibt $|a|$ die Streckung in $y$ -Richtung und die gesamte Funktion ist mit $c=\pi$ in $x$ -Richtung verschoben.

(1) Verschiebung in $y$ -Richtung: $d=-\frac{1}{2}$ .

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $(0|\frac{1}{2})$ , da die Funktion jedoch um $\frac{1}{2}$ nach unten verschoben ist, ist $a=\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=1$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Extrema liegen um $\frac{\pi}{2}$ auseinander,

daher ist $b=\dfrac{\pi}{\frac{\pi}{2}}=2$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

keine, $c=0$ .

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=\cos{(2x)}-\dfrac{1}{2}$ .

(2) Verschiebung in $y$ -Richtung:

keine, $d=0$ .

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $(\frac{\pi}{2}\mid 1)$ , daher ist $a=1$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Extrema liegen um $\pi$ auseinander,

daher ist $b=\dfrac{\pi}{\pi}=1$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

$c=\frac{3}{2}\pi$ .

Die Funktionsgleichung lautet damit: $f(x)=\cos{\left(x+\dfrac{3}{2}\pi\right)}$ .

(3) Verschiebung in $y$ -Richtung:

$d=1$ .

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $(0\mid 2)$ , da die Funktion jedoch um 1 nach oben verschoben ist erhält man:

$a=2-1=1$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Extrema liegen um $\frac{\pi}{2}$ auseinander,

daher ist $b=\dfrac{\pi}{\frac{\pi}{2}}=2$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

keine, $c=0$ .

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=\cos{(2x)}+1$ .

(4) Verschiebung in $y$ -Richtung:

$d=\frac{1}{2}$ .

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $(0|\frac{5}{2})$ , da die Funktion jedoch um $\frac{1}{2}$ nach oben verschoben ist erhält man:

$a=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Extrema liegen um $\pi$ auseinander,

daher ist $b=\frac{\pi}{\pi}=1$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

keine, $c=0$ .

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=2\cos{(x)}+\dfrac{1}{2}$ .

Funktionsgleichungen zuordnen

$f(x)=x\cdot\ln{(x)}$ $\longrightarrow{}$ (3)

Begründung:

$f(x)=x\cdot\ln{(x)}\rightarrow0\;(x\rightarrow0)$

$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}{(x)}$ $\longrightarrow{}$ (1)

Begründung:

$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}{(x)}=\dfrac{1}{\ln{(\frac{1}{2})}}\cdot\ln{(x)}$
$\rightarrow\infty\;(x\rightarrow0)$

$f(x)=\ln{(x+2)}$ $\longrightarrow{}$ (4)

Begründung:

$f(x)=\ln{(x+2)}$ hat als einzige der vier Funktionen eine Nullstelle bei $x=-1$ .

$f(x)=\ln{(3x)}$ $\longrightarrow{}$ (2)

Begründung:

$f(x)=\ln{(3x)}\rightarrow-\infty\;(x\rightarrow0)$

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