Ortskurven

Bei einer Ortskurve handelt es sich um eine Kurve, die alle Punkte einer Funktionsschar beinhaltet, die eine bestimmte Gemeinsamkeit haben. Meist werden die Extrempunkte oder Wendepunkte der Graphen einer Funktionsschar untersucht.

Wenn du eine Gleichung der Ortskurve bestimmen möchtest, brauchst du die Koordinaten der Extrempunkte bzw. Wendepunkte der jeweiligen Kurvenschar.

Beispiel

$f_a(x)= \left(x-\frac{a}{3}\right)^2 +a$

Jeder Graph dieser Funktion besitzt einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T_a\left(\frac{a}{3}\mid a\right).$

Bestimme eine Funktionsgleichung für die Ortskurve der Tiefpunkte:

Zunächst stellst du eine Gleichung für die $x$ - und $y$ -Werte in Abhängigkeit des jeweiligen Parameters auf und löst die erste Gleichung nach dem Parameter $a$ auf:

(1) $x=\frac{a}{3}$ => $a=3x$

(2) $y=a$

Setze $a=3x$ nun in Gleichung (2) ein. Dadurch fällt der Parameter $a$ weg und du erhältst eine Gleichung der Ortskurve:

$\begin{array}{rll} y&=&3x\\ \end{array}$

Die Ortskurve hat die Gleichung $y=3x$ .

Wenn du die Wendepunkte gegeben hast, kannst du genauso vorgehen.

Zur Veranschaulichung sind die Graphen und die zugehörigen Tiefpunkte für a=3, a=6 und a=9 in der folgenden Abbildung dargestellt. Die Ortskurve der Tiefpunkte ist in blau eingezeichnet.

Graph mit Parabeln und einer blauen Linie, die durch bestimmte Punkte verläuft. Koordinatensystem mit Achsen.

Abb. 1: Skizze

Gegeben sind Extrempunkte von Kurvenscharen.
Bestimme jeweils die Gleichung der Ortskurve, auf der alle Extrempunkte der jeweiligen Kurvenschar liegen.

Hochpunkt aufteilen:

(1) $x=\dfrac{1}{2}t$

(2) $y=2t^3$

(1) nach $t$ auflösen:

$\begin{array}{rll} x&=&\dfrac{1}{2}\cdot t\\[5pt] t&=&2x\\ \end{array}$

Setze $t$ in Gleichung (2) ein:

$\begin{array}{rll} y&=&2\cdot(2x)^3\\ y&=&16x^3\\ \end{array}$

Die Ortskurve hat die Gleichung $y=16x^3$ .

Tiefpunkt aufteilen:

(1) $x=2t$

(2) $y=\dfrac{1}{2t^2}$

(1) nach $t$ auflösen:

$\begin{array}{rll} x&=&2t\\[5pt] t&=&\dfrac{1}{2}x\\ \end{array}$

Setze $t$ in Gleichung (2) ein:

$\begin{array}{rll} y&=&\dfrac{1}{2\cdot\left(\frac{1}{2}x\right)^2}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{\frac{1}{2}x^2}\\[5pt] &=&\dfrac{2}{x^2}\\[5pt] \end{array}$

Die Ortskurve hat die Gleichung $y=\dfrac{2}{x^2}$ .

Hochpunkt aufteilen:

(1) $x=\dfrac{1}{t}$

(2) $y=\sqrt{\dfrac{1}{t^3}}$

(1) nach $t$ auflösen:

$\begin{array}{rll} x&=&\dfrac{1}{t}\\[5pt] t&=&\dfrac{1}{x}\\ \end{array}$

Setze $t$ in Gleichung (2) ein:

$\begin{array}{rll} y&=&\sqrt{\dfrac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^3}}\\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{1}{\frac{1}{x^3}}}\\[5pt] &=&\sqrt{x^3}\\[5pt] \end{array}$

Die Ortskurve hat die Gleichung $y=\sqrt{x^3}$ .

Hochpunkt aufteilen:

(1) $x=\sqrt{t}$

(2) $y=\dfrac{1}{4}t^4$

(1) nach $t$ auflösen:

$\begin{array}{rll} x&=&\sqrt{t}\\[5pt] t&=&x^2\\ \end{array}$

Setze $t$ in Gleichung (2) ein:

$\begin{array}{rll} y&=&\dfrac{1}{4}\left(x^2\right)^4\\[5pt] y&=&\dfrac{1}{4}x^8\\ \end{array}$

Die Ortskurve hat die Gleichung $y=\dfrac{1}{4}x^8$ .

Tiefpunkt aufteilen:

(1) $x=\ln{(t)}$

(2) $y=\dfrac{t^2}{2}$

(1) nach $t$ auflösen:

$\begin{array}{rll} x&=&\ln{(t)}\\[5pt] t&=&\mathrm e^x\\ \end{array}$

Setze $t$ in Gleichung (2) ein:

$\begin{array}{rll} y&=&\dfrac{(\mathrm e^x)^2}{2}\\[5pt] y&=&\dfrac{\mathrm e^{2x}}{2}\\ \end{array}$

Die Ortskurve hat die Gleichung $\dfrac{\mathrm e^{2x}}{2}$ .

Hochpunkt aufteilen:

(1) $x=\mathrm e^t$

(2) $y=t^2$

(1) nach $t$ auflösen:

$\begin{array}{rll} x&=&\mathrm e^t\\[5pt] t&=&\ln{(x)}\\ \end{array}$

Setze $t$ in Gleichung (2) ein:

$\begin{array}{rll} y&=&\left(\ln{(x)}\right)^2\\ \end{array}$

Die Ortskurve hat die Gleichung $\left(\ln{(x)}\right)^2$ .

Um die Gleichung der Ortskurve auf der alle Hochpunkte der Schaubilder von $f_t$ liegen zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:

Bilde die Ableitungen $f_t‘$ und $f_t‘‘$
Bestimme die allgemeinen Koordinaten des Hochpunktes $H_t$
Bestimme die Ortskurve

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\begin{array}{rll} f_t‘(x)=&x^2-t^2 \\ f_t‘‘(x)=&2x\\ \end{array}$

2. Schritt: Hochpunkt bestimmen

Notwendige Bedingung:

$\begin{array}{rll} f_t‘(x)=&0 \\[5pt] x^2-t^2=&0 \\[5pt] x^2=&t^2\\[5pt] \end{array}$

$x_1=t;x_2=-t$

Hinreichende Bedingung:

$\begin{array}{rll} f_t‘‘(t)&=&2t&\\\scriptsize{>0 \Rightarrow \text{lokales Minimum}} \\[5pt] f_t‘‘(-t)&=&-2t&\\\scriptsize{<0 \Rightarrow \text{lokales Maximum}}\\ \end{array}$

$y$ -Koordinate bestimmen:

$\begin{array}{rll} f_t(-t)&=&\dfrac{1}{3} \cdot (-t)^3-t^2 \cdot (-t)+2 \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{3}t^3+t^3+2 \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}t^3+2\\ \end{array}$