Normale

Eine Normale ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt im 90°-Winkel schneidet, also senkrecht auf dem Graphen steht.

Da die Tangente an eine Kurve im Berührpunkt die gleiche Steigung hat wie die Kurve selbst, steht die Normale auch auf der Tangente senkrecht.

Wenn zwei Geraden aufeinander senkrecht stehen, so ergibt das Produkt ihrer Steigungen $-1$ . Umgeformt ergibt das für die Steigung der Normale:

$m_n=-\dfrac{1}{m_t}=-\dfrac{1}{f‘(x_1)}$

Punkt-Steigungs-Form:
$y=m_n \cdot (x-x_1)+y_1 \\ \; =-\frac{1}{f‘(x_1)}\cdot (x-x_1)+y_1$
Wenn der Berührpunkt gegeben ist, kannst du $x_1$ und $y_1$ einsetzen und $f‘(x_1)$ berechnen. Hast du nur die x-Koordinate des Berührpunkts gegeben ( $x_1$ ), so musst du auch $y_1$ berechnen.

Gewöhnliche Geradengleichung:
$y=mx+c=-\frac{1}{f‘(x_1)}x+c$
Wenn der Berührpunkt gegeben ist, kannst du $f‘(x_1)$ berechnen und einsetzen. Du erhältst eine vorläufige Geradengleichung, in die du die Koordinaten des Berührpunktes einsetzen kannst, um $c$ zu berechnen.

Normalengleichung zu $f$ durch Punkt $B$ auf $f$ bestimmen

$\begin{array}[t]{llll} f(-1)&=& -1; \;B(-1\mid-1) \\[5pt] f‘(x)&=& -2x+3 \\[5pt] \end{array}$

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$\begin{array}[t]{lll} f(x)&=& 2x^2-1; \\[5pt] f(1,5)&=& 3,5; \;B(1,5\mid 3,5) \\[5pt] f‘(x)&=& 4x \\[5pt] \end{array}$

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$\begin{array}[t]{lll} f(-4)&=& 8; \;B(-4\mid8)\\[5pt] f‘(x)&=& 2x-1\\[5pt] \end{array}$

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$\begin{array}[t]{llll} f(-3)&=& -19; \;B(-3\mid-19)\\[5pt] f‘(x)&=& 3x^2-2 \\[5pt] \end{array}$

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$\begin{array}[t]{llll} f(-2)&=& 12; \;B(-2\mid12) \\[5pt] f‘(x)&=& -x-4\\[5pt] \end{array}$

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$\begin{array}[t]{llll} f(x)&= \end{array}$

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$\begin{array}[t]{llll} f(1)&=& -\dfrac{1}{2}; \;B(1\mid-\dfrac{1}{2})\\[5pt] f‘(x)&=& 5x+1\\[5pt] \end{array}$

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$\begin{array}[t]{llll} f(x)&=& \dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{1}{4}x^2-2; \\[5pt] f(-2)&=& 7; \;B(-2\mid7)\\[5pt] f‘(x)&=& 2x^3+\dfrac{1}{2}x\\[5pt] \end{array}$

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$\begin{array}[t]{lll} f(1)&=& 6; \;B(1\mid6)\\[5pt] f‘(x)&=& 2x+8\\[5pt] \end{array}$

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$\begin{array}[t]{lll} f(x)&= \end{array}$

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Normalengleichung zur Funktion $h$ bestimmen, die senkrecht zur Geraden $g$ verläuft

$m_g=7$

1. Schritt: Stelle des Schnittpunktes bestimmen

$\begin{array}{rcl} h‘(x)&=&m_g\\[5pt] 3x+1&=&7\\ x&=&2 \end{array}$

2. Schritt: $y$ -Wert des Schnittpunktes bestimmen

$h(2)=6$ ; $B(2\mid6)$

3. Schritt: Steigung der Normalen bestimmen

$m_n=-\dfrac{1}{m_g}=-\dfrac{1}{7}$

4. Schritt: Gleichung aufstellen

$\begin{array}{rcl} n:y&=&m_n(x-2)+h(2)\\ n:y&=&-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{2}{7}+6\\ n:y&=&-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{44}{7}\\ \end{array}$

$m_g=3$

1. Schritt: Stelle des Schnittpunktes bestimmen

$\begin{array}{rcl} h‘(x)&=&m_g\\ 4x+5&=&3\\ x&=&-\dfrac{1}{2}\\ \end{array}$

2. Schritt: $y$ -Wert des Schnittpunktes bestimmen

$h\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-5$ ; $B\left(-\dfrac{1}{2}\right)$

3. Schritt: Steigung der Normalen bestimmen

$m_n=-\dfrac{1}{m_g}=-\dfrac{1}{3}$

4. Schritt: Gleichung aufstellen

$\begin{array}{rcl} n:y&=&m_n\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+h\left(\dfrac{1}{2}\right)\\ n:y&=&-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{6}-5\\ n:y&=&-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{31}{6}\\ \end{array}$

$m_g=-\dfrac{1}{2}$

1. Schritt: Stelle des Schnittpunktes bestimmen

$\begin{array}{rcl} h‘(x)&=&m_g\\ \dfrac{3}{2}x-3,5&=&-\dfrac{1}{2}\\ x&=&2\\ \end{array}$

2. Schritt: $y$ -Wert des Schnittpunktes bestimmen

$h(2)=2$ ; $B(2\mid 2)$

3. Schritt: Steigung der Normalen bestimmen

$m_n=-\dfrac{1}{m_g}=2$

4. Schritt: Gleichung aufstellen

$\begin{array}{rcl} n:y&=&m_n(x-2)+h(2)\\ n:y&=&2x-4+2\\ n:y&=&2x-2\\ \end{array}$

$m_g=1,5=\dfrac{3}{2}$

1. Schritt: Stelle des Schnittpunktes bestimmen

$\begin{array}{rcl} h‘(x)&=&m_g\\ 2x-1&=&\dfrac{3}{2}\\ x&=&\dfrac{5}{4}\\ \end{array}$

2. Schritt: $y$ -Wert des Schnittpunktes bestimmen

$h=\dfrac{5}{4}=\dfrac{21}{16} \\ B\left(\dfrac{5}{4}\mid \dfrac{21}{16}\right)$

3. Schritt: Steigung der Normalen bestimmen

$m_n=-\dfrac{1}{m_g}=-\dfrac{2}{3}$

4. Schritt: Gleichung aufstellen

$\begin{array}{rcl} n:y&=&m_n\left(x-\dfrac{5}{4}\right)+h\left(\dfrac{5}{4}\right)\\ n:y&=&-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{6}+\dfrac{21}{16}\\ n:y&=&-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{103}{48}\\ \end{array}$

$m_g=\dfrac{1}{4}$

1. Schritt: Stelle des Schnittpunktes bestimmen

$\begin{array}{rclrclrc} h‘(x)&=&m_g\\ \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{7}{4}&=&\dfrac{1}{4}\\ \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x-2&=&0\\ x^2-3x-4&=&0\\[5pt] \end{array}$

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2. Schritt: $y$ -Wert des Schnittpunktes bestimmen

$\begin{array}{rc} 1. h(4)&=&-\dfrac{97}{12}; B_1\left(4\mid -\dfrac{97}{12}\right)\\ 2. h(-1)&=&\dfrac{13}{12}; B_2\left(-1\mid \dfrac{13}{12}\right)\\ \end{array}$

3. Schritt: Steigung der Normalen bestimmen

$m_n=-\dfrac{1}{m_g}=-4$

4. Schritt: Gleichung aufstellen

$\begin{array}{rclrclrc} n_1:y&=&m_n(x-4)+h(4)\\ n_1:y&=&-4x+16-\dfrac{97}{12}\\ n_1:y&=&-4x+\dfrac{95}{12}\\ n_2:y&=&m_n(x+1)+h(-1)\\ n_2:y&=&-4x-4+\dfrac{13}{12}\\ n_2:y&=&-4x-\dfrac{35}{12}\\ \end{array}$

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