Lerninhalte in Mathe

Abi-Aufgaben

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Logarithmische Funktionen

Die Ableitung der Logarithmusfunktion zur Basis $\mathrm e$ , $\quad f(x)=\ln(x)$ lautet:

$f‘(x) = \dfrac{1}{x}$ .

Mit den anderen Ableitungsregeln (Ketten-, Produkt- und Quotienten-Regel) kannst du jede Logarithmusfunktion ableiten.

Beispiel

$f(x)= \ln(2x^2+5)$ $\Rightarrow$ Kettenregel

$h(x)=2x^2+5$ $\Rightarrow$ $h‘(x)= 4x$

$g(x)=\ln(x)$ $\Rightarrow$ $g‘(x)= \dfrac{1}{x}$

$\Rightarrow$ $f‘(x)=4x \cdot \dfrac{1}{2x^2+5} = \dfrac{4x}{2x^2+5}$

Die Funktionen zweimal ableiten

$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&-\dfrac{1}{x^2} \end{array}$

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$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&2\ln{\left(x\right)}\\[4pt] f‘\left(x\right)=&2\cdot\dfrac{1}{x}\\[4pt] =&\dfrac{2}{x}\\[4pt] f‘‘\left(x\right)=&2\cdot\left(-1\right)\cdot x^{-2}\\[4pt] =&-2x^{-2}\\[4pt] =&\dfrac{-2}{x^2} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&\dfrac{-1}{x^2} \end{array}$

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$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&2\ln{\left(4x^2\right)}\\[4pt] f‘\left(x\right)=&2\cdot\dfrac{1}{4x^2}\cdot4\cdot2x\\[4pt] =&16x\cdot\dfrac{1}{4x^2}\\[4pt] =&4\cdot\dfrac{1}{x}\\[4pt] f‘‘\left(x\right)=&4\cdot\left(-1\right)\cdot x^{-2}\\[4pt] =&-4x^{-2}\\[4pt] =&\dfrac{-4}{x^2} \end{array}$

$f‘‘=-\dfrac{1}{2x}$

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$f‘‘=2\mathrm e^x\left[\dfrac{2x-1}{x^2}+\ln{\left(x\right)}\right]$

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$f‘‘=-12\left(2\ln{\left(x\right)}+3\right)$

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$f‘‘(x)=0$

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Die Funktionen einmal ableiten

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&\ln(4+2x^2)&\quad\\[4pt] f‘(x)=&\dfrac{1}{4+2x^2}\cdot4x& \\[4pt] =& \dfrac{4x}{4+2x^2} & \\[4pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&\ln(x+3x^2)&\quad\\[4pt] f‘(x)=&\dfrac{1}{x+3x^2}\cdot(1+6x)& \\[4pt] =& \dfrac{1+6x}{x+3x^2} & \\[4pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&\ln\left(\dfrac{1}{2}x^2+8\right)&\quad\\[4pt] f‘(x)=&\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}x^2+8}\cdot 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x& \\[4pt] =& \dfrac{x}{\frac{1}{2}x^2+8} & \\[4pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&3\ln\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}x^2\right)&\quad\\[4pt] f‘(x)=&\dfrac{3\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}x\right)}{\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}x^2}& \\[4pt] =&\dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}x}{\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}x^2}& \\[4pt] \end{array}$