Wurzelfunktionen

Der Defintionsbereich einer Wurzelfunktion gibt dir an, welche Zahlen du in die Funktion einsetzen darfst.

Dafür berechnest du die Nullstellen der Funktion, um die Zahlen zu finden, die nicht in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Du setzt die Funktion also gleich null.

Bei Wurzelfunktionen ist wichtig, dass du beachtest, dass der Wert unter der Wurzel immer größer oder gleich null sein muss, da du keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen darfst. Um dies zu vermeiden, betrachtest du zunächst nur den Ausdruck unter der Wurzel, also den Radikanden und setzt diesen größer gleich null. Anschließend berechnest du die Nullstellen. Die Nullstellen des Radikanden sind gleichzeitig auch die Nullstellen der gesamten Funktion.

Den Definitionsbereich gibst du in folgender Form wider:

$\mathbb{D}={\{x \in \mathbb{R}\setminus x\geq z}\}$

Für z setzt du die Nullstelle ein, die du zuvor berechnet hast.

Der Wertebereich zeigt dir welche y-Werte eine Funktion annehmen kann. Diesen gibst du in folgender Form an:

$\mathbb{W}=[y1;y2]$

$y1$ gibt immer den kleinsten Wert der Wertemenge an, $y2$ den größten Wert. Beachte dabei, dass der kleinste Wert nur dann kleiner als null sein kann, wenn das minus vor der Wurzel der Funktion steht.

Da eine negative Wurzel nicht erlaubt ist, setzen wir den Term unter der Wurzel größer gleich Null:

$\begin{array}[t]{rll} 2x-4\geq & 0 \\ 2x\geq & 4 \\ x\geq & 2 \end{array}$

$\mathbb{D}= \left\{x\in\mathbb{R}\middle|x\geq2\right\}$

Da eine negative Wurzel nicht erlaubt ist, setzen wir den Term unter der Wurzel größer gleich Null:

$\begin{array}[t]{rll} 4-5x\geq & 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\mathbb{D}= \left\{x\in\mathbb{R}\middle|x\leq\dfrac{4}{5}\right\}$

Da eine negative Wurzel nicht erlaubt ist, setzen wir den Term unter der Wurzel größer gleich Null:

$\begin{array}[t]{rll} x^{2}-4\geq & 0 \\ x^{2}\geq & 4 \\ x\geq & 2 \text{ oder } x\leq -2 \end{array}$

$\mathbb{D}= \left\{x\in\mathbb{R}\middle|2\leq x\; oder\; x\leq-2\right\}$

Da eine negative Wurzel nicht erlaubt ist, setzen wir den Term unter der Wurzel größer gleich Null:

$\begin{array}[t]{rll} 9-x^{2}\geq & 0 \\ 9\geq & x^{2} \\ 3\geq & x\text{ oder } -3\leq x \end{array}$

$\mathbb{D}= \left\{x\in\mathbb{R}\middle|-3\leq x \leq3\right\}$

Da eine negative Wurzel nicht erlaubt ist, setzen wir den Term unter der Wurzel größer gleich Null:

$x^{2}-5x+4\geq0$

Nullstellen berechnen:

Um den Term zu faktorisieren, benutzen wir die $pq-$ Formel:

$\begin{array}{>{\raggedleft\arraybackslash}p{1cm}ll} x_{1/2}= & -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}-q} \end{array}$

$\begin{array}{>{\raggedleft\arraybackslash}p{1cm}ll} x_{1/2}= & \dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-4} \\ = & \dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-\dfrac{16}{4}} \end{array}$

$\begin{array}{>{\raggedright\arraybackslash}p{1cm}ll} x_{1/2}= & \dfrac{5}{2}\pm\dfrac{3}{2} \\ x_{1}= & 4 \\ x_{2}= & 1 \end{array}$

Ungleichung in faktorisierter Schreibweise:

$\begin{array}[t]{rll} x^{2}-5x+4\geq & 0 \\ \left(x-4\right)\left(x-1\right)\geq & 0 \end{array}$

Diese Ungleichung ist erfüllt, wenn zwei positive Faktoren (Fall $1$ ) oder zwei negative Faktoren (Fall $2$ ) miteinander multipliziert werden.

Fall 1: $x-4\geq0 \text{ und } x-1\geq0$
Fall 2: $x-4\leq0 \text{ und } x-1\leq0$

$\blacktriangleright$ zu Fall 1:

$x-4\geq0 \text{ und } x-1\geq0$

$x\geq4 \text{ und } x\geq1$

Da für $x\geq1$ die zweite Bedingung $x\geq4$ nicht erfüllt ist, bleibt nur $x\geq4$ übrig.

$\to x\geq4$

$\blacktriangleright$ zu Fall 2:

$x-4\leq0 \text{ und } x-1\leq0$

$x\leq4 \text{ und } x\leq1$

$\to x\leq1$

1. Fall und 2. Fall zusammen: $x\leq1 \text{ oder } x\geq4$

$\mathbb{D}= \left\{x\in\mathbb{R}\middle|x\leq1 \text{ oder } x\geq4\right\}$

Da eine negative Wurzel nicht erlaubt ist, setzen wir den Term unter der Wurzel größer gleich Null:

$x\left(x-1\right)\geq0$

Diese Ungleichung ist erfüllt, wenn zwei positive Faktoren (Fall $1$ ) oder zwei negative Faktoren (Fall $2$ ) miteinander multipliziert werden.

Fall 1: $x\geq0 \text{ und } (x-1)\geq0$
Fall 2: $x\leq0 \text{ und } (x-1)\leq0$

$\blacktriangleright$ zu Fall 1:

$x\geq0 \text{ und } (x-1)\geq0$

$x\geq0 \text{ und } x\geq1$

Da für $x\geq0$ die zweite Bedingung $x\geq1$ nicht erfüllt ist, bleibt nur $x\geq1$ übrig.

$\to x\geq1$

$\blacktriangleright$ zu Fall 2:

$x\leq0 \text{ und } (x-1)\leq0$

$x\leq0 \text{ und } x\leq1$

$\to x\leq0$

1. Fall und 2. Fall zusammen:

$x\leq0 \text{ oder } x\geq1$

$\mathbb{D}= \left\{x\in\mathbb{R}\middle|x\leq0 \text{ oder } x\geq1\right\}$

Da eine negative Wurzel nicht erlaubt ist, setzen wir den Term unter der Wurzel größer gleich Null:

$\begin{array}[t]{rll} -x^{3}+x\geq & 0 \\ -x(x^{2}-1)\geq & 0 \\ -x(x-1)(x+1)\geq & 0 \end{array}$

Diese Ungleichung ist erfüllt, wenn zwei positive Faktoren (Fall $1$ ) oder zwei negative Faktoren (Fall $2$ ) miteinander multipliziert werden.

Fall 1: $-x\geq0 \text{ und } x^{2}-1\geq0$
Fall 2: $-x\leq0 \text{ und } x^{2}-1\leq0$

$\blacktriangleright$ zu Fall 1:

$x\leq0 \text{ und } (x^{2}-1)\geq0$

$x\leq0 \text{ und } (x-1)(x+1)\geq0$

$x\leq0 \text{ und } x\leq-1 \text{ oder } x\geq1$

Da für $x\leq0$ die zweite Bedingung $x\leq-1$ nicht erfüllt ist, bleibt nur $x\leq-1$ übrig. $x\geq1$ ist mit den anderen zwei Bedingungen nicht vereinbar und fällt daher weg.