Trigonometrische Funktionen

Wenn du den Graphen einer trigonometrischen Funktion (wir betrachten hier nur den Sinus, Kosinus und Tangens und lassen die Umkehrfunktionen aus) zeichnen willst, beachte folgende Punkte:

Die Sinusfunktion $f(x) = \sin(x)$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert. Der zugehörige Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktion hat die Periode $2\pi$ , d.h.:
$2\pi$ , d.h. $\sin(x)$ $= \sin(x + 2\pi)$ $= \sin(x - 2\pi)$
Der Wertebereich ist das Intervall $[-1, 1]$ .

Die Kosinusfunktion $g(x) = \cos(x)$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert. Der zugehörige Graph ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Die Funktion hat ebenso die Periode $2\pi$ und den Wertebereich $[-1, 1]$ . Der Kosinus ist nichts anderes als eine Verschiebung des Sinus um $\frac{\pi}{2}$ nach links, d.h. $\cos(x)= \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$

Die Tangensfunktion ist definiert als $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ , d.h. die Funktion ist bei den Nullstellen der Kosinusfunktion nicht definiert. Zeichne an diesen Stellen senkrechte Asymptoten ein. Die Nullstellen der Tangensfunktion sind gerade die Nullstellen der Sinusfunktion. Die Periode ist $\pi$ .

Graph von Sinus, Kosinus und Tangens mit Achsen und Gitterlinien.

Der Graph einer trigonometrischen Funktion wird entlang der $y$ -Achse verschoben, indem eine Konstante $c$ zu der Funktion addiert bzw. subtrahiert wird, z.B. $\sin(x) \pm c$ . Der Graph der Funktion wird nach rechts verschoben durch die Subtraktion einer Konstanten $c$ in der Klammer, nach links durch die Addition der Konstanten: $\cos(x \pm c)$

Ist die Funktion mit einem Faktor $n \gt 1$ multipliziert, streckst du den Graph entlang der $y$ -Achse, ist der Faktor $n \lt 1$ , stauchst du den Graph entlang der $y$ -Achse: $n \cdot \sin(x)$

Die Periode der Funktion wird vergrößert, indem eine Konstante $n \lt 1$ in der Klammer multipliziert wird, verkleinert, wenn $n \gt 1$ ist: $\cos(n \cdot x)$

Der Graph wird an der $x$ -Achse gespiegelt, wenn die Funktion ein negatives Vorzeichen besitzt: $-\sin(x)$ . Du spiegelst die Funktion an der $y$ -Achse, wenn in der Klammer ein negatives Vorzeichen steht $\sin(-x)$ .

Skizziere die Schaubilder folgender Funktionen und gib die Periode an.

$f(x)=\sin\left(2x\right)+1$

$f(x)=\frac{1}{2}\cos\left(x\right)$

$f(x)=-\sin\left(x\right)-1$

$f(x)=\cos\left(\pi x\right)+2$

$f(x)=-\frac{1}{4}\cos\left(x\right)$

$f(x)=2\sin\left(2x\right)-3$

Skizziere das Schaubild der Funktion und beschreibe, wie es aus dem Schaubild der Sinus- bzw. der Kosinus-Funktion hervorgeht.

$f(x)=\cos\left(x+1\right)-1$

$f(x)=\sin\left(2x\right)$

$f(x)=-\cos\left(x\right)-2$

$f(x)=2\sin\left(-x\right)+2$

$f(x)=\frac{1}{4}\cos\left(x-2\right)+2$

$f(x)=-\sin\left(x+1\right)+\frac{1}{2}$

Verschiebe das Schaubild der angegebenen Funktion wie gefordert und gib die Funktionsgleichung der neuen Funktion an.

$f(x)=\cos\left(x\right)$

Verschiebung um 1 LE in positive x-Richtung („nach rechts“) und um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“)

$f(x)=\sin\left(2x\right)$

Verschiebung um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 1 LE in positive y-Richtung („nach oben“)

$f(x)=2\cos\left(x+1\right)$

Verschiebung um 1 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 4 LE in negative y-Richtung („nach unten“)

$f(x)=\sin\left(x-1\right)+2$

Verschiebung um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und Verdopplung der Amplitudenhöhe

$f(x)=\frac{1}{2}\cos\left(2x\right)$

Verschiebung um 2 LE in positive x-Richtung („nach rechts“) und anschließende Verdopplung der Periodenlänge

$f(x)=-\sin\left(\pi x\right)-1$

Verschiebung um $\pi$ LE in positive y-Richtung („nach oben“) und um $\frac{1}{2}$ LE in negative x-Richtung („nach links“)

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$f(x)=\sin\left(2x\right)+1$

Periode bestimmen

Um die Periode zu berechnen, benutze die Formel $p=\frac{2\pi}{b}$ , wobei $b$ aus der allgemeinen Form einer trigonometrischen Funktion $f(x)=a\cdot\mathrm {sin}(bx+c)+d$ stammt.

Hier: $p=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Skizze

Graph einer sinusförmigen Funktion mit Achsenbeschriftungen und Gitterlinien.

$f(x)=\frac{1}{2}\cos\left(x\right)$

Periode bestimmen

$p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$

Skizze

Graph einer sinusförmigen Funktion mit Achsenbeschriftungen.

$f(x)=-\sin\left(x\right)-1$

Periode bestimmen

$p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$

Skizze

Graph einer sinusförmigen Funktion mit Achsenbeschriftungen für x und y.

$f(x)=\cos\left(\pi x\right)+2$

Periode bestimmen

$p=\frac{2\pi}{\pi}=2$

Skizze

Graph einer sinusförmigen Funktion mit Achsen und Gitterlinien.

$f(x)=-\frac{1}{4}\cos\left(x\right)$

Periode bestimmen

$p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$

Skizze

Graph einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse, gekennzeichnet mit Pi-Werten.

$f(x)=2\sin\left(2x\right)-3$

Periode bestimmen

$p=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Skizze

$f(x)=\cos\left(x+1\right)-1$

Skizze

Graph einer Sinusfunktion mit den Achsen x und y. Werte von -2 bis 1 sind dargestellt.

Entstehung des Schaubilds

a	Keine Streckung in $y$ -Richtung
$b=1$	Periode $p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
$c=1$	Verschiebung um $1$ LE in negative $x$ -Richtung („nach links“)
$d=-1$	Verschiebung um 1 LE in negative $y$ -Richtung („nach unten“)

$f(x)=\sin\left(2x\right)$

Skizze

Graph einer Sinusfunktion mit Achsenbeschriftungen und Gitterlinien.

Entstehung des Schaubilds

$b = 2$ Änderung der Periode zu $p=\frac{2\pi}{2}=\pi$

$f(x)=-\cos\left(x\right)-2$

Skizze

Graph einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt Wellenbewegung.

Entstehung des Schaubilds

$a=-1$	Spiegelung an der $x$ -Achse, keine Streckung
$b=1$	Periode $p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
$d=-2$	Verschiebung um 2 LE in negative $y$ -Richtung („nach unten“)

$f(x)=2\sin\left(-x\right)+2$

Skizze

Entstehung des Schaubilds

$a=2$	Streckung um Faktor $2$ in $y$ -Richtung
$b=-1$	Periode $p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$ , und durch negative Vorzeichen Spiegelung an der $y$ -Achse, da $-\sin(x)=\sin(-x)$
$d=2$	Verschiebung um $2$ LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“)

$f(x)=\frac{1}{4}\cos\left(x-2\right)+2$

Skizze

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsenbezeichnungen und einem geschwungenen Verlauf.

Entstehung des Schaubilds

$a=\frac{1}{4}$	Streckung um Faktor $\frac{1}{4}$ in $y$ -Richtung
$b=1$	Periode $p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
$c=-2$	Verschiebung um $2$ LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“)
$d=2$	Verschiebung um $2$ LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“)

$f(x)=-\sin\left(x+1\right)+\frac{1}{2}$

Skizze

Graf einer Sinusfunktion mit Achsenbeschriftungen und Gitternetz.

Entstehung des Schaubilds

$a=-1$	Spiegelung an der $x$ -Achse
$b=1$	Periode $p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
$c=-2$	Verschiebung um $1$ LE in negative $x$ -Richtung („nach links“)
$d=\frac{1}{2}$	Verschiebung um $\frac{1}{2}$ LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“)

$f(x)=\cos\left(x\right)$

Verschiebung um 1 LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“) und um 2 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“).

Funktionsterm

$\Rightarrow c=-1$ , $d=2$ $\Rightarrow$ Neue Funktionsgleichung: $f(x)=\cos(x-1)+2$

Skizze

Graph eines sinusförmigen Signals mit X- und Y-Achse, zeigt die Schwingungen zwischen -1 und 3.

$f(x)=\sin\left(2x\right)$

Verschiebung um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 1 LE in positive y-Richtung („nach oben“).

Funktionsterm

$\Rightarrow c=3$ , $d=1$ $\Rightarrow$ Neue Funktionsgleichung: $f(x)=\sin(2(x+3))+1$

Skizze

$f(x)=2\cos\left(x+1\right)$

Verschiebung um 1 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 4 LE in negative y-Richtung („nach unten“).

Funktionsterm

$\Rightarrow c_{alt}=1$ $\Rightarrow c_{neu}=1+1=2$ , $d=-4$ $\Rightarrow$ Neue Funktionsgleichung: $f(x)=2\cos(x+2)-4$

Skizze

Graph mit zwei Funktionen, einer gestrichelten und einer durchgezogenen Linie, dargestellt im Koordinatensystem.

$f(x)=\sin\left(x-1\right)+2$

Verschiebung um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und Verdopplung der Amplitudenhöhe.

Funktionsterm

$\Rightarrow d_{alt}=2\Rightarrow d_{neu}=2+2=4$ , $a=2$ $\Rightarrow$ Neue Funktionsgleichung: $f(x)=2\sin\left(x-1\right)+4$

Skizze

Graph mit zwei Funktionen in schwarz auf einem Koordinatensystem. X-Achse: -1,5π bis 1,5π, Y-Achse: 0 bis 6.

$f(x)=\frac{1}{2}\cos\left(2x\right)$

Verschiebung um 2 LE in positive x-Richtung („nach rechts“) und anschließende Verdopplung der Periodenlänge.

Funktionsterm

$\Rightarrow c=-2$ , $b_{alt}$ ...

Vollständige Lösung anzeigen

Neue Funktionsgleichung: $f(x)=\frac{1}{2}\cos\left(x-2\right)$

Skizze

Graph einer Sinuskurve mit Achsenbeschriftungen und Gitterlinien.

$f(x)=-\sin\left(\pi x\right)-1$

Verschiebung um $\pi$ LE in positive y-Richtung („nach oben“) und um $\frac{1}{2}$ LE in negative x-Richtung („nach links“).

Funktionsterm

$\Rightarrow c=\frac{1}{2}$ , $d_{alt}=-1$ $\Rightarrow d_{neu}=-1+\pi$

Neue Funktionsgleichung: $f(x)=-\sin\left(\pi\cdot(x+\frac{1}{2})\right)-1+\pi$

Skizze

Graph von sinus- und cosinusförmigen Funktionen auf einem Koordinatensystem.

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