Punkt - Ebene

Um den Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Ebene $E$ zu berechnen, musst du als erstes die Hessesche Normalform der Ebene $E$ bilden.

1. Schritt: HNF bilden

Die HNF der Ebene $E: n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3=c$ mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ lautet:

HNF: $\dfrac{n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c} {\left|\vec{n}\right|}$ = $0$

2. Schritt: Punkt in HNF einsetzen

Die Koordinaten des Punktes $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ setzt du in die linke Seite der HNF ein. Da ein Abstand aber nicht negativ sein kann, musst du den Betrag nehmen:

$d=\dfrac{\left|n_1\cdot p_1+n_2\cdot p_2+n_3\cdot p_3-c\right|}{\left|\vec{n}\right|}$

Beispiel

$E: 2x_1-x_2-2x_3=5$ , $P(3 \mid 2 \mid -5)$

1. Schritt: Normalenvektor berechnen

$\left|\vec{n}\right|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} =$ $\sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$

2. Schritt: HNF bilden

HNF: $\dfrac{2x_1-x_2-2x_3-5}{3} = 0$

3. Schritt: Punkt einsetzen

$d=\dfrac{\left|2\cdot 3-1\cdot 2-2\cdot (-5)-5\right|}{3} =$ $\dfrac{9}{3} = 3$

Der Abstand zwischen der Ebene $E$ und dem Punkt $P$ beträgt $3$ LE.

$E:\;2x_1+2x_2+x_3=1$ ; $\quad$ $P(4\mid 2\mid 1)$

1. Schritt: Länge von $\overrightarrow{n}$ bestimmen

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

$\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$

2. Schritt: Ebene umformen

$E:\;2x_1+2x_2+x_3=1$

$\Leftrightarrow 2x_1+2x_2+x_3-1=0$

3. Schritt: $HNF$ aufstellen

$\dfrac{2x_1+2x_2+x_3-1}{3}=0$

4. Schritt: $P$ in $HNF$ einsetzen

$d=\left|\dfrac{2\cdot4+2\cdot2+1\cdot1-1}{3}\right|=$ $\dfrac{12}{3}=4$

$E:\;4x_1+4x_2+2x_3=2$ ; $\quad$ $P(1\mid 4\mid 9)$

1. Schritt: Länge von $\overrightarrow{n}$ bestimmen

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

$\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6$

2. Schritt: Ebene umformen

$E:\;4x_1+4x_2+2x_3=2$

$\Leftrightarrow 4x_1+4x_2+2x_3-2=0$

3. Schritt: $HNF$ aufstellen

$\dfrac{4x_1+4x_2+2x_3-2}{6}=0$

4. Schritt: $P$ in $HNF$ einsetzen

$d=\left|\dfrac{4\cdot1+4\cdot4+2\cdot9-2}{6}\right|=$ $\dfrac{36}{6}=6$

$E:\;3x_1-2x_2=6x_3$ ; $\quad$ $P(5\mid 1\mid 2)$

1. Schritt: Ebene umformen

$E:\;3x_1-2x_2=6x_3$

$\Leftrightarrow 3x_1-2x_2-6x_3=0$

2. Schritt: Länge von $\overrightarrow{n}$ bestimmen

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ -2 \\ -6 \\ \end{array}} \right)$

$\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{3^2+(-2)^2+(-6)^2}=$ $\sqrt{49}=7$

3. Schritt: $HNF$ aufstellen

$\dfrac{3x_1-2x_2-6x_3}{7}=0$

4. Schritt: $P$ in $HNF$ einsetzen

$d=\left|\dfrac{3\cdot5-2\cdot1-6\cdot2}{7}\right|=\dfrac{1}{7}$

$E:\;x_1-x_2+x_3=6$ ; $\quad$ $P(6\mid 6\mid 9)$

1. Schritt: Länge von $\overrightarrow{n}$ bestimmen

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

$\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{3}$

2. Schritt: Ebene umformen

$E:\;x_1-x_2+x_3=6$

$\Leftrightarrow x_1-x_2+x_3=6$

3. Schritt: $HNF$ aufstellen

$\dfrac{x_1-x_2+x_3-6}{\sqrt{3}}=0$

4. Schriit: $P$ in $HNF$ einsetzen

$d=\left|\dfrac{1\cdot6-1\cdot6+1\cdot9-6}{\sqrt{3}}\right|=$ $\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

$E:\;2x_1+x_2+1=-x_3$ ; $\quad$ $P(7\mid 1\mid 2)$

1. Schritt: Ebene umformen

$E:\;2x_1+x_2+1=-x_3$

$\Leftrightarrow 2x_1+x_2+x_3+1=0$

2. Schritt: Länge von $\overrightarrow{n}$ bestimmen

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

$\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}$

3. Schritt: $HNF$ aufstellen

$\dfrac{2x_1+x_2+x_3+1}{\sqrt{6}}=0$

4. Schritt: $P$ in $HNF$ einsetzen

$d=\left|\dfrac{2\cdot7+1\cdot1+1\cdot2+1}{\sqrt{6}}\right|=$ $\dfrac{18}{\sqrt{6}}=\dfrac{6\cdot3}{\sqrt{6}}=3\sqrt{6}$

$E:\;6x_1+6x_2-3x_3=-5$ ; $\quad$ $P(2\mid 1\mid 5)$

1. Schritt: Länge von $\overrightarrow{n}$ bestimmen

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ 6 \\ -3 \\ \end{array}} \right)$

$\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{6^2+6^2+(-3)^2}=$

$\sqrt{81}=9$

2. Schritt: Ebene umformen

$E:\;6x_1+6x_2-3x_3=-5$

$\Leftrightarrow 6x_1+6x_2-3x_3+5=0$

3. Schritt: $HNF$ aufstellen

$\dfrac{6x_1+6x_2-3x_3+5}{9}=0$

4. Schritt: $P$ in $HNF$ einsetzen

$d=\left|\dfrac{6\cdot2+6\cdot1-3\cdot5+5}{9}\right|$

$=\dfrac{8}{9}$

$E:\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} -3 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+t\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$ $\quad$ $P(1\mid 6\mid 1)$

Ebene in Koordinatenform
umrechnen:

1. Schritt: Kreuzprodukt

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -3 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)\times\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}}\right)=$

Punkt - Ebene

Beispiel

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