Gerade - Ebene

Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Ebene $E:\vec{x}$ und der Geraden $g:\vec{x}$ kannst du mit der Sinus-Formel berechnen:

$\sin\alpha= \dfrac{\left|\vec{n}\cdot\vec{u}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{u}\right|}$

Bei dem Vektor $\vec{n}$ handelt es sich um einen Normalvektor einer Ebene und bei $\vec{u}$ um einen Richtungsvektor einer Geraden.

Zunächst benötigst du einen Normalvektor der Ebenen, also einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

Steht die Ebene in der Normalenform oder Koordinatenform, kannst du den Normalvektor direkt aus der Funktion ablesen. Sonst berechnest du ihn aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

Anschließend kannst du mit der oberen Formel den Schnittwinkel bestimmen.

Beispiel

Winkel zwischen der Ebene

$E: \overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)=0$

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und der Geraden $g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ berechnen.

Du kannst nun den Normalvektor aus der Ebenengleichung herauslesen:

$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$

Anschließend kannst du den Normalvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden in die Sinus-Formel einsetzen und erhälst den Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Geraden.

$\begin{array}[t]{rl} \sin\alpha=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 2\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 2\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{2+4+2}{\sqrt{4+4+4}\cdot\sqrt{1+4+1}} \\[5pt] =&\dfrac{8}{\sqrt{72}} \\[5pt] \approx&0,94 \end{array}$

$\sin^{-1}\left(0,94\right)\approx70,53^{\circ}$

1. Schritt: Normalenvektor bestimmen - Kreuzprodukt der Spannvektoren

$\overrightarrow{n}_E=\left(\begin{array}{r} -10\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)$

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2. Schritt: Schnittwinkel berechnen (mit $\sin\alpha \Rightarrow$ siehe Skript)

$\begin{array}[t]{rl} \sin\alpha=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} -10\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} -10\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{-10+2+12}{\sqrt{100+4+16}\cdot\sqrt{1+1+9}} \\[5pt] =&\dfrac{4}{\sqrt{1320}} \\[5pt] \approx&0,11 \end{array}$

$\sin^{-1}\left(0,11\right)\approx6,32^{\circ}$

1. Schritt: Normalenvektor bestimmen - aus Ebenengleichung ablesen

$\overrightarrow{n}_E=\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)$

2. Schritt: Schnittwinkel berechnen

$\begin{array}[t]{rl} \sin\alpha=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{\left|-8+2-3\right|}{\sqrt{4+1+9}\cdot\sqrt{16+4+1}} \\[5pt] =&\dfrac{9}{\sqrt{294}} \\[5pt] \approx&0,52 \end{array}$

$\sin^{-1}\left(0,52\right)\approx31,33^{\circ}$

1. Schritt: Normalenvektor bestimmen - aus Ebenengleichung ablesen

$\overrightarrow{n}_E=\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)$

2. Schritt: Schnittwinkel berechnen

$\begin{array}[t]{rl} \sin\alpha=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{\left|4+1\right|}{\sqrt{4+1}\cdot\sqrt{4+4+1}} \\[5pt] =&\dfrac{5}{\sqrt{45}} \\[5pt] \approx&0,75 \end{array}$

$\sin^{-1}\left(0,75\right)\approx48,59^{\circ}$

1. Schritt: Normalenvektor bestimmen - aus Aufgabe ablesen

$\overrightarrow{n}_E=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$

2. Schritt: Schnittwinkel berechnen

$\begin{array}[t]{rl} \sin\alpha=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{\left|0\right|}{\sqrt{1}\cdot\sqrt{1+9}} \\[5pt] =&0 \end{array}$

$\sin^{-1}\left(0\right)=0^{\circ}$ , Gerade und Ebene verlaufen parallel, oder die Gerade liegt in der Ebene.

Parameter $k$ bestimmen

$\sin(60°)=\dfrac{1}{2}\sqrt3$

Diesen Wert kann man der Formelsammlung entnehmen.

Der Normalenvektor der Ebene ist

$\overrightarrow{n}_E=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$ .

Somit ergibt sich:

k= 2

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Die Gerade $g_2:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 3\\ 2\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)$ schneidet die Ebene $E$ unter einem Winkel von $60°$ .

$\blacktriangleright$ $E$ und $x_1$ -Achse

Der Normalenvektor von $E$ lautet

$\overrightarrow{n}_E=\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)$ ,

der Richtungsvektor der $x_1$ -Achse lautet

$\overrightarrow{v}_{x_1}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$

Somit ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rl} \sin\alpha=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{2}{\sqrt{4+4+1}\cdot\sqrt{1}} \\[5pt] =&\dfrac{2}{3} \end{array}$

$\sin^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx41,81°$

$\blacktriangleright$ $E$ und $x_2$ -Achse

Der Richtungsvektor der $x_2$ -Achse lautet

$\overrightarrow{v}_{x_2}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)$

Damit ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rl} \sin\beta=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{2}{\sqrt{4+4+1}\cdot\sqrt{1}} \\[5pt] =&\dfrac{2}{3} \end{array}$

$\sin^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx41,81°$

$\blacktriangleright$ $E$ und $x_3$ -Achse

Der Richtungsvektor der $x_3$ -Achse lautet

$\overrightarrow{v}_{x_3}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)$

Damit ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rl} \sin\gamma=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{\left|-1\right|}{\sqrt{4+4+1}\cdot\sqrt{1}} \\[5pt] =&\dfrac{1}{3} \end{array}$

$\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx19,47°$

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