Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen besitzen ganzrationale Funktionen im Zähler sowie im Nenner, sind also Funktionen der Form:

$f(x) = \dfrac{a_n\cdot x^n + ... }{b_m \cdot x^m + ... }$

Vollständige Lösung anzeigen

Um solche Funktionen zu zeichnen, gehe wie folgt vor:

bestimme die Nullstellen des Zählers und Nenners

falls eine Nullstelle $x_0$ des Zählers und Nenners zusammenfällt, gibt es zwei Möglichkeiten

$x_0$ ist eine hebbare Definitionslücke, d.h. die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert, aber die Funktion kann an dieser Stelle einfach weitergezeichnet werden

der untere Term der Funktion konvergiert bei $x_0$ schneller gegen $0$ . Zeichne an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote ein

die restlichen Nullstellen des unteren Term sind ebenfalls senkrechte Asymptoten. Zeichne diese ebenso ein

zwischen diesen Asymptoten gibt es mindestens ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt. Finde das heraus indem du mithilfe der Quotientenregel die Nullstellen der ersten Ableitung betrachtest und mit der zweiten Ableitung, über Maximum, Minimum oder Sattelpunkt entscheidest

finde heraus, wie sich die Funktion links und rechts von den Asymptoten verhält, indem du die Funktion von links und rechts gegen die Asymptote annäherst

zeichne die Teilgraphen zwischen den Asymptoten ein

um den Bereich vor der ersten und letzten Asymptote zu bestimmen, bestimme die waagrechte Asymptote, indem du die Funktion $f(x)$ gegen $\infty$ bzw. $-\infty$ laufen lässt

$f(x)=\dfrac{1}{x-1}+2$

Skizze

Grafik eines Funktionsgraphen mit Achsen und asymptotischen Linien.

Asymptoten bestimmen

Senkrechte Asymptote - Nennernullstelle
$x-1=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x=1$

Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet $x=1$ .

Waagerechte Asymptote - Grenzwert bestimmen
$\lim\limits_{x\to\infty}\underbrace{\dfrac{1}{\underbrace{x-1}_{\to\infty}}}_{\to0}+2=0+2=2$

Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet $y=2$ .

$f(x)=\dfrac{1}{x+2}-1$

Skizze

Grafik einer Funktion mit asymptotischen Linien in einem Koordinatensystem.

Asymptoten bestimmen

Senkrechte Asymptote - Nennernullstelle
$x+2=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x=-2$

Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet $x=-2$ .

Waagerechte Asymptote - Grenzwert bestimmen
$\lim\limits_{x\to\infty}\underbrace{{\dfrac{1}{\underbrace{x+2}_{\to\infty}}}}_{\to0}-1=0-1=-1$

Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet $y=-1$ .

$f(x)=-\dfrac{1}{(x+1)^2}-2$

Skizze

Graph einer Funktion mit asymptotischem Verhalten, Achsen und wichtigen Punkten.

Asymptoten bestimmen

Senkrechte Asymptote - Nennernullstelle

$x=-1$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet $x=-1$ .

Waagerechte Asymptote - Grenzwert bestimmen
$\lim\limits_{x\to\infty}-\underbrace{\dfrac{1}{{\underbrace{(x+1)}_{\to\infty}}^2}}_{\to0}-2=0-2=-2$

$\lim\limits_{x\to\infty}-\underbrace{\dfrac{1}{{\underbrace{(x+1)}_{\to\infty}}^2}}_{\to0}-2=-2$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet $y=-2$ .

$f(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^2}$

Skizze

Grafik einer Funktion mit Achsenbeschriftung, die einen Verlauf um x=2 zeigt.

Asymptoten bestimmen

Senkrechte Asymptote - Nennernullstelle
$(x-2)^2=0$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet $x=2$ .

Waagerechte Asymptote - Grenzwert bestimmen
$\lim\limits_{x\to\infty}-\underbrace{\dfrac{1}{{\underbrace{(x-2)}_{\to\infty}}^2}}_{\to0}=0$

Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet $y=0$ .

$f(x)=\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x-(-1)}$

Skizze

Graph einer Funktion im Koordinatensystem mit Kurvenverlauf.

Schaubild herleiten

Schaubild von $y=\frac{1}{x}$ um 1 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“) verschoben.

$f(x)=-\dfrac{1}{x-2}+1$

Skizze

Graph einer Funktion mit asymptotischen Verhalten um x=3 und Verlauf in den Quadranten.

Schaubild herleiten

Schaubild von $y=\frac{1}{x}$ an der $x$ -Achse gespiegelt, um 2 LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“) verschoben und anschließend um 1 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“) verschoben.

$f(x)=\dfrac{1}{(x-(-1))^2}-2$

Vollständige Lösung anzeigen

Skizze

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit asymptotischem Verhalten. Achsen beschriftet mit x und y.

Schaubild herleiten

Schaubild von $y=\frac{1}{x^2}$ um 1 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“) und um 2 LE in negative $y$ -Richtung („nach unten“) verschoben.

$f(x)=-\dfrac{1}{(x-3)^2}+3$

Skizze

Graph einer Funktion f mit asymptotischem Verhalten, y-Achse von -3 bis 4, x-Achse von -1 bis 5.

Schaubild herleiten

Schaubild von $y=\frac{1}{x^2}$ an der $x$ -Achse gespiegelt, um 3 LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“) und anschließend um 3 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“) verschoben.

$f(x)=\dfrac{1}{x}$

Verschiebung um 2 LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“) und um 1 LE in positive $y$ -Richtung („ nach oben“).

$f_{\text{neu}}(x)=\dfrac{1}{x-2}+1$

$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$

Verschiebung um 3 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“) und um 2 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“).

$f_{\text{neu}}(x)=\dfrac{1}{(x+3)^2}+2$

$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$

Verschiebung um 1 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“) und anschließende Spiegelung an der $y$ -Achse.

$f_{\text{neu}}(x)=\dfrac{1}{x^2}$

$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$

Verschiebung um 2 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“) und anschließende Spiegelung an der $x$ -Achse.

$f_{\text{neu}}(x)=-\left(\dfrac{1}{x+1}+2\right)$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?