Gleichungen

Eine Gleichung wird durch das $=$ ausgezeichnet, also beispielsweise $x^2 +2 = 0$ . Die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ bezeichnet die Menge aller Lösungen der Gleichung, also die Menge der Werte, die für die Variablen, wie z.B. x,y,z,... eingesetzt werden können, sodass die rechte und linke Seite vom $=$ gleich sind.

Tipps

Beim Lösen von Gleichungen können dir folgende Dinge helfen:

$pq$ -Formel bzw. $abc$ -Formel
Satz vom Nullprodukt
Polynomdivision
Umformungen mit Hilfe von Umkehrfunktionen, wie zum Beispiel $\ln(x)$ und $\mathrm e^x$
binomische Formeln
Substitution

Beispiel

$x^2 -4 = 0$ besitzt die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \{-2,2\}$

$(x+2)\cdot(x-1)=0$

$(x+2)\cdot(x-1)$ ist genau dann Null, wenn entweder $(x+2)=0$ oder $(x-1)=0$ ist.
Im ersten Fall gilt dies für $x=-2$ , im zweiten Fall für $x=1$ .

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\left\{-2;1\right\}$ .

$\begin{array}{rlll} x^2+3&=12 &\small\mid\;-3 \\ x^2&=9 &\small\mid√ \\ x_{1,2}&= \pm 3 \\ \end{array}$

Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\left\{-3;3\right\}$ .

$x^2+x=0$

Die Gleichung $x^2+x=0$ lässt sich durch Ausklammern von x umformen zu

$x(x+1)=0$

Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn entweder $x=0$ oder $x+1=0$ gilt. Also muss $x=0$ oder $x=-1$ sein.

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\left\{-1;0\right\}$ .

$x^2+2x+1=0$

$\blacktriangleright$ 1. Lösungsweg

Nach der ersten binomischen Formel gilt:

$x^2+2x+1=(x+1)^2$

Die Gleichung $(x+1)^2=0$ hat nur die Lösung $x=-1$ , d.h. $\mathbb{L}=\left\{-1\right\}$

$\blacktriangleright$ 2. Lösungsweg

Mit der p-q-Formel kann man direkt die Lösungen der Gleichung berechnen:

$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-1\hspace{.1cm} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Lösungsmenge ist daher $\mathbb{L}=\left\{-1\right\}$ .

$x^3-x=0$

$x^3-x=0$ lässt sich durch Ausklammern von x umformen zu $x(x^2-1)=0$ .

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn entweder $x=0$ oder $x^2-1=0$ ist.

Die Lösungen der Gleichung $x^2-1=0$ müssen noch bestimmt werden:

$\begin{array}{rlll} x^2-1&=0 &\mid +1\\ x^2&=1 &\mid \sqrt{}\\ x&= \pm 1 \end{array}$

Die Lösungsmenge ist daher $\mathbb{L}=\left\{-1;0;1\right\}$ .

$x^2-\dfrac{3}{2}x-1=0$

Man erhält die Lösungen der Gleichung durch Anwenden der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=\dfrac{3}{4}\pm\dfrac{5}{4}\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Also $x_1=2$ und $x_2=-\dfrac{1}{2}$ .

$\mathbb{L}=\left\{-\dfrac{1}{2};2\right\}$ .

$2\cdot(x+1)^2=0$

$2\cdot(x+1)^2$ ist genau dann Null, wenn $(x+1)=0$ . Dies ist für $x=-1$ der Fall.

Die Lösungsmenge ist daher $\mathbb{L}=\left\{-1\right\}$ .

$\begin{array}{rlll} 0,5\cdot x^2&=8&\mid \cdot2\\ x^2&=16&\mid \sqrt{\;\;\;}\\ x_{1,2}&=\pm4 \end{array}$

$\begin{array}{rlll} \dfrac{1}{2}x^2-2&=16 &\mid +2\\ \dfrac{1}{2}x^2&=18 &\mid \cdot2\\ x^2&=36&\mid \sqrt{\;\;\;}\\ x_{1,2}&=\pm6 \end{array}$

Die Lösungsmenge ist daher $\mathbb{L}=\left\{-6;6\right\}$ .

$x^2+2x-8=0$

Zum Lösen der Gleichung verwendet man die p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&= -\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2+8}\\ &= -1 \pm\sqrt{9}\\ &= -1 \pm3\\ \end{array}$

Lösungen der Gleichung sind daher $x_1=2$ und $x_2=-4$ .

$x^3-4x=0$

$x^3-4x=0$ lässt sich durch Ausklammern von x umformen zu $x(x^2-4)=0$ .

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn entweder $x=0$ oder $x^2-4=0$ ist.

Zu bestimmen sind noch die Lösungen der Gleichung $x^2-4=0$ :

$\begin{array}{rlll} x^2-4&=0&\mid +4\\ x^2&=4&\mid \sqrt{\;\;\;}\\ x&=\pm2 \end{array}$

Insgesamt gibt es also drei Lösungen: $\mathbb{L}=\left\{-2;0;2\right\}$ .

$\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-3=0$

Es ist $\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-3$ = $\dfrac{1}{2}(x^2-x-6)$ . Dies wird Null, wenn $x^2-x-6=0$ ist.

Um dies zu lösen, verwendet man die p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&= -\dfrac{-1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+6}&\\ &= \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}&\\ &= \dfrac{1}{2}\pm\dfrac{5}{2}&\\ \end{array}$

Also $x_1=-2$ und $x_2=3$ . $\mathbb{L}=\left\{-2;3\right\}$ .

$x^3-5x^2+4x=0$

x ausklammern:

$x(x^2-5x+4)=0$

Nach dem Nullstellensatz erhält man $x_1=0$ als erste Lösung.

Weitere Lösungen:

$x^2-5x+4=0$

$x_{2,3}=\dfrac{5}{2} \pm \dfrac{3}{2},\quad x_2=4,\;x_3=1$

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$\mathbb{L}=\left\{0;1;4\right\}$ .

$x^4-6x^2+8=0$

Substitution:

$x^2=a$

$a^2-6a+8=0$

Lösen mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} a_{1/2}&=\dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{6}{2}\right)^2-8}\\ &=3 \pm \sqrt{9-8}\\ &=3 \pm 1 \end{array}$ $a_1=4$ ; $a_2=2$

Rücksubstitution:

$\begin{array}{rlll} 1) & a_1&=x^2\\ &4&=x^2\\ &x_1&=2; x_2=-2\\ 2)&a_2&=x^2\\ &2&=x^2\\ &x_3&=\sqrt{2}; x_4=-\sqrt{2} \end{array}$

$\mathbb{L}=\left\{2; -2; \sqrt{2}; -\sqrt{2}\right\}$

$x^4-4x^2+5=5$

Umformen:

$\begin{array}{rlll} x^4-4x^2&=0\\ x^2(x^2-4)&=0 \end{array}$

Diese Gleichung wird Null für $x_1=0$ und wenn $x^2-4=0$ gilt.

$\begin{array}{rlll} x^2-4&=0\\ x^2&=4\\ \end{array}$ $x_2=-2; x_3=2$

$\mathbb{L}=\left\{-2;0;2\right\}$ .

$2x^2+6x+4=0$

Durch $2$ geteilt ergibt sich folgende Gleichung:

$x^2+3x+2=0$

p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} x_{1/2}&=-\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-2}\\ &=-\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4}-\dfrac{8}{4}}\\ &=-\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{1}{2} \end{array}$

$x_1=-1$ ; $x_2=-2$

$\mathbb{L}=\left\{-1;-2\right\}$ .

$x^5+5x^3+4x=0$

Ausklammern:

$x(x^4+5x^2+4)=0$

Nach dem Nullstellensatz erhält man $x_1=0$ als erste Lösung.

(Evtl.) weitere Lösungen:

$x^4+5x^2+4=0$

Substitution:

$x_2=a$

$a^2+5a+4=0$

$\begin{array}{rlll} a_{1/2}&=-\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-4}\\ &=-\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}-\dfrac{16}{4}}\\ &=-\dfrac{5}{2} \pm \dfrac{3}{2} \end{array}$

$a_1=-1;a_2=-4$

Rücksubstitution:

$\begin{array}{rlll} 1)&a_1&=x^2\\ &-1&=x^2 \end{array}$

keine Lösung

$\begin{array}{rlll} 2)&a_2&=x^2\\ &-4&=x^2 \end{array}$

keine Lösung

$\mathbb{L}=\left\{0\right\}$ .

$x^3-9x^2+15x=7$

Aus $(x^3-9x^2+15x-7)$ : $(x-1)$ = $x^2-8x+7$ folgt, dass $x=1$ eine Nullstelle ist.

Weitere Lösungen:

$x_{2,3}=4 \pm 3$

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$x_2=7;x_3=1=x_1$

$\mathbb{L}=\left\{1;7\right\}$ .

$\dfrac{36}{x^4}-\dfrac{13}{x^2}+1=0$

Multiplikation der Gleichung mit $x^4$ und Umstellen der Summanden liefert die Gleichung:

$x^4-13x^2+36=0$

Substitution von $x^2=z$ führt zu:

$z^2-13z+36=0$

Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{-13}{2}\pm\sqrt{\dfrac{169}{4}-36}\\ &=\dfrac{13}{2}\pm\sqrt{\dfrac{169}{4}-\dfrac{144}{4}}\\ &=\dfrac{13}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}\\ &=\dfrac{13}{2}\pm\dfrac{5}{2} \end{array}$

Also $z_{1}=4$ und $z_{2}=9$ .

Rücksubstitution:

$\begin{array}{rlll} 1)&z_{1}&=x^2\\ &4&=x^2\\ \end{array}$

$x_{1}=-2$ und $x_{2}=2$

$\begin{array}{rlll} 2)&z_{2}&=x^2\\ &9&=x^2\\ \end{array}$

$x_{3}=-3$ und $x_{4}=3$

$\mathbb{L}=\left\{-3;-2;2;3\right\}$

$x^3+x^2=20x$

Auflösen nach Null und Ausklammern von x:

$x(x^2+x-20)=0$

$x(x^2+x-20)$ ist Null, wenn $x=0$ oder $x^2+x-20=0$ ist.

$x_{1}=0$ ist also die erste Lösung.

Die Lösungen von $x^2+x-20=0$ berechnet man mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} x_{2,3}&=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+20}\\ &=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{81}{4}}\\ &=-\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{9}{2} \end{array}$

Also $x_2=-5$ und $x_3=4$ .

$\mathbb{L}=\left\{-5;0;4\right\}$ .

$x^4-3x^2+2=0$

Substitution von $x^2=z$ führt zu:

$z^2-3z+2=0$

Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{-3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2}\\ &=\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\ &=\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{1}{2}\\ \end{array}$

Also $z_1=1$ und $z_2=2$ .

Rücksubstitution:

$\begin{array}{rlll} 1)&z_{1}&=x^2\\ &1&=x^2\\ \end{array}$

$x_{1}=-1$ und $x_{2}=1$

$\begin{array}{rlll} 2)&z_{2}&=x^2\\ &2&=x^2\\ \end{array}$

$x_{3}=-\sqrt{2}$ und $x_{4}=\sqrt{2}$

$\mathbb{L}=\left\{-\sqrt{2};-1;1;\sqrt{2}\right\}$ .

$\begin{array}{rlll} x^2(x^4-5x^2+4)&=0 \end{array}$

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$x^2(x^4-5x^2+4)$ ist Null, wenn $x^2=0$ oder $x^4-5x^2+4=0$ ist.

$x^2=0$ bedeutet aber $x=0$ , was nicht sein darf, da sonst im Nenner der ursprünglichen Gleichung eine Null steht. $x=0$ ist deshalb keine Lösung!

Zum Lösen von $x^4-5x^2+4=0$ substituiert man $x^2=z$ :

$z^2-5z+4=0$

Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{-5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-4}\\ &=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}\\ &=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{3}{2} \end{array}$

Also $z_{1}=1$ und $z_{2}=4$ .

Rücksubstitution:

$\begin{array}{rlll} 1)&z_{1}&=x^2\\ &1&=x^2\\ \end{array}$

$x_{1}=-1$ und $x_{2}=1$

$\begin{array}{rlll} 2)&z_{2}&=x^2\\ &4&=x^2\\ \end{array}$

$x_{3}=-2$ und $x_{4}=2$

$\mathbb{L}=\left\{-2;-1;1;2\right\}$ .

$x-1=\dfrac{3x-3}{2x}$

$\begin{array}{rlll} x-1&=0\\ \end{array}$

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Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{-5}{4}\pm\sqrt{\dfrac{25}{16}-\dfrac{3}{2}}\\ &=\dfrac{5}{4}\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}}\\ &=\dfrac{5}{4}\pm\dfrac{1}{4} \end{array}$

Also $x_{1}=1$ und $x_{2}=\dfrac{3}{2}$ .

$\mathbb{L}=\left\{1;\dfrac{3}{2}\right\}$ .

$\dfrac{1}{x^5}-\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{1}{x}=0$

Multiplikation der Gleichung mit $x^5$ und Umstellen der Summanden liefert die Gleichung:

$x^4-2x^2+1=0$

Substitution von $x^2=z$ führt zu:

$z^2-2z+1=0$

Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{-2}{2}\pm\sqrt{\dfrac{4}{4}-1}\\ &=1\pm\sqrt{0}\\ &=1\pm0\ \end{array}$

$z=1$ ist die einzige Lösung.

Rücksubstitution:

$\begin{array}{rlll} 1)&z&=x^2\\ &1&=x^2\\ &x&=\pm1\\ \end{array}$

$\mathbb{L}=\left\{-1;1\right\}$ .

$x^5-2x^3=8x$

$x$ ausklammern:

$x(x^4-2x^2-8)=0$

Dies ist erfüllt, wenn entweder $x=0$ oder $x^4-2x^2-8=0$ ist.

$x_{1}=0$ ist die erste Lösung.

Zum Lösen von $x^4-2x^2-8=0$ substituiert man $x^2=z$ :

$z^2-2z-8=0$

Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{-2}{2}\pm\sqrt{\dfrac{4}{4}+8}\\ &=1\pm\sqrt{9}\\ &=1\pm3\\ \end{array}$

Also $z_{1}=-2$ und $z_{2}=4$ .

Rücksubstitution:

$\begin{array}{rlll} 1)&z_{1}&=x^2\\ &-2&=x^2\\ \end{array}$

Dies liefert keine Lösung, da $\sqrt{-2}$ nicht existiert.

$\begin{array}{rlll} 2)&z_{2}&=x^2\\ &4&=x^2\\ \end{array}$

$x_{2}=-2$ und $x_{3}=2$

$\mathbb{L}=\left\{-2;0;2\right\}$

$x^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}-80x^{-\frac{1}{2}}=0$

Multiplikation mit $x^{\frac{1}{2}}$ :

$x^2+2x-80=0$

Die Lösungen berechnet man mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\dfrac{4}{4}+80}\\ &=-1\pm\sqrt{81}\\ &=-1\pm9 \end{array}$

Also $x_{1}=-10$ und $x_{2}=8$ .

$x_1=-10$ ist jedoch keine Lösung der ursprünglichen Gleichung, da $x_{1}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-10}$ nicht definiert ist.

$\mathbb{L}=\left\{8\right\}$

$x^7+x^6=12x^5$

Auflösen nach 0 und Ausklammern von $x^5$ :

$x^5(x^2+x-12)=0$

Die Gleichung ist erfüllt, wenn entweder $x^5=0$ , also $x_{1}=0$ , oder $x^2+x-12=0$ ist.

Lösungen der zweiten Gleichung werden mit der p-q-Formel berechnet:

$\begin{array}{rlll} x_{2,3}&=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+12}\\ &=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{49}{4}}\\ &=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{7}{2} \end{array}$

Also $x_{2}=-4$ und $x_{3}=3$ .

$\mathbb{L}=\left\{-4;0;3\right\}$

$x-\dfrac{5}{36x}-\dfrac{2}{3}=0$

Multiplikation der Gleichung mit $x$ und Umstellen der Summanden:

$x^2-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{36}=0$

Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{-2}{6}\pm\sqrt{\dfrac{4}{36}+\dfrac{5}{36}}\\ &=\dfrac{2}{6}\pm\sqrt{\dfrac{9}{36}}\\ &=\dfrac{2}{6}\pm\dfrac{3}{6}\\ \end{array}$

Also $x_{1}=-\dfrac{1}{6}$ und $x_{2}=\dfrac{5}{6}$ .

$\mathbb{L}=\left\{-\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right\}$

$\begin{array}{rlll} x^2+4x-5&=0 \end{array}$

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Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\dfrac{16}{4}+5}\\ &=-2\pm\sqrt{9}\\ &=-2\pm3 \end{array}$

Also $x_{1}=-5$ und $x_{2}=1$ .

$\mathbb{L}=\left\{-5;1\right\}$

$\begin{array}{rlll} x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{3}{2}&=0\\ \end{array}$

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Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{-5}{4}\pm\sqrt{\dfrac{25}{16}-\dfrac{3}{2}}\\ &=\dfrac{5}{4}\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}}\\ &=\dfrac{5}{4}\pm\dfrac{1}{4}\\ \end{array}$

Also $x_{1}=1$ und $x_{2}=\dfrac{3}{2}$ .

$x_2$ ist jedoch keine Lösung, da die Gleichung bei $x_2$ eine Nennernullstelle hat und deshalb dort nicht definiert ist.

$\mathbb{L}=\left\{1\right\}$

$\begin{array}{rlll} x^2-7x-18&=0\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{-7}{2}\pm\sqrt{\dfrac{49}{4}+18}\\ &=\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\dfrac{121}{4}}\\ &=\dfrac{7}{2}\pm\dfrac{11}{2} \end{array}$

Also $x_{1}=-2$ und $x_{2}=9$ .

$\mathbb{L}=\left\{-2;9\right\}$

$\begin{array}{rlll} x^3+\dfrac{7}{4}x&=\dfrac{1}{2x}&\mid -\dfrac{1}{2x}\\ x^3+\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2x}&=0&\mid \cdot x\\ x^4+\dfrac{7}{4}x^2-\dfrac{1}{2}&=0\\ \end{array}$

Zum Lösen der Gleichung substituiert man $x^2=z$ :

$z^2+\dfrac{7}{4}z-\dfrac{1}{2}=0$

Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{7}{8}\pm\sqrt{\dfrac{49}{64}+\dfrac{1}{2}}\\ &=-\dfrac{7}{8}\pm\sqrt{\dfrac{81}{64}}\\ &=-\dfrac{7}{8}\pm\dfrac{9}{8}\\ \end{array}$