Maximalen Flächeninhalt berechnen

Einführung

Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung benötigst du eine Zielfunktion, die du minimieren bzw. maximieren kannst.

Gehe folgendermaßen vor:

Fertige eine Skizze an.

Suche die Größe, die minimal bzw. maximal werden soll. Das ist hier der Flächeninhalt, schreibe die geometrische Formel dieser Fläche auf.

Stelle die Nebenbedingung auf. Überlege dir wie die Variablen der gesuchten Größe zusammenhängen.
Falls ein entscheidender Punkt im Koordinatensystem auf dem Graphen liegt, schreibe ihn mit Hilfe des Funktionsterms des Graphen.

Bilde nun die Zielfunktion, indem du die Nebenbedingung nach einer der Variablen auflöst und in den Term für die extremale Größe einsetzt. Vereinfache diesen Term so weit wie möglich und bestimme den Definitionsbereich der Zielfunktion.

Bestimme die absoluten Extremstellen der Zielfunktion. Vergiss dabei nicht, zu überprüfen, ob diese Kandidaten auch relative Extremstellen sind. Außerdem muss überprüft werden, ob an den Randstellen des Definitionsbereichs noch kleinere/größere Werte für die extremale Größe auftreten.

Stelle nun die Verbindung zur Aufgabenstellung her, indem du die zweite Variable und den Extremwert berechnest.

Beispiel mit Lösungsskizze

Gegeben ist die Funktion $f (x) = -x^2 + 4$ . Das Schaubild der Funktion $f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. In dieser Fläche soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt konstruiert werden. Das Rechteck liegt mit einer Kante auf der $x$ -Achse, mit einer anderen auf der $y$ -Achse.

Skizze

Größe, die maximal werden soll:
$A=a \cdot b$

Nebenbedingung:
$b=f(a)=-a^2+4$

Zielfunktion:
$A(a) =a\cdot f(a)$ = $a\cdot(-a^2 + 4)$ = $-a^3 + 4a$ mit Definitionsbereich $\mathbb{D} = [0,2]$ .

Bestimme die absoluten Extremstellen der Zielfunktion.
$A(a) =-a^3 + 4a$
$A‘(a) =-3a^2 + 4$
$A‘‘(a) =-6a$
$\begin{array}[t]{rll} A‘(a)&=&0 \\[5pt] -3a^2 + 4&=& 0\\[5pt] -3a^2 &=& -4\\[5pt] a^2 &=& \frac{4}{3}\\[5pt] a&=&\pm \dfrac{2}{\sqrt{3}} \end{array}$
Für diese Aufgabe ist nur $a=\frac{2}{\sqrt{3}}$ interessant, da die andere Lösung nicht im Definitionsbereich liegt.
$A‘‘\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ = $-6\dfrac{2}{\sqrt{3}}\lt 0$ es handelt sich also um ein Maximum.
Der maximale Wert ist somit: $A\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 3,08$
Überprüfen der Randstellen:
$A(0) = 0 \lt 3,08$
$A(2) = 0 \lt 3,08$

Für die Seite $b$ gilt dann: $b$ = $-\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 + 4$ = $\dfrac{8}{3} \approx 2,7$ .
Die maximale Fläche beträgt also $3,08$ .

Den maximalen Flächeninhalt bestimmen

Zunächst muss eine Funktionsgleichung aufgestellt werden, mit der wir den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks berechnen können. Hierfür verdeutlichen wir uns die Aufgabe noch einmal mit Hilfe einer Skizze (das eingezeichnete Dreieck ist nicht das ideale, sondern ein beliebiges!). Um dies korrekt tun zu können, benötigen wir die Nullstellen von $f$ :

Graph einer Funktion mit x- und y-Achse, einer Kurve und dem Punkt P(u|f(u)) auf dem Diagramm.

$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&0\\ 4-x^2=&0&\quad\mid\;+x^2\\ 4=&x^2&\quad\mid\;\sqrt{\;}\\ \pm2=&x \end{array}$

Der Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks ist immer $A=\dfrac{1}{2}g\cdot h$ :

$A\left(u\right)=\dfrac{1}{2}u\cdot f\left(u\right)$

Mit dieser Funktionsgleichung, die uns den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von $u$ angibt, können wir nun weiter rechnen und die Werte einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&\dfrac{1}{2}u\cdot\left(4-u^2\right)\\ =&\dfrac{1}{2}\cdot\left(4u-u^3\right)\\ A\left(u\right)=&2u-\dfrac{1}{2}u^3 \end{array}$

Um den maximalen Flächeninhalt zu berechnen, wird nun der Hochpunkt dieser Umfangsfunktion bestimmt:

$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&2u-\dfrac{1}{2}u^3\\ A‘\left(u\right)=&2-\dfrac{3}{2}u^2\\ A‘‘\left(u\right)=&-3u \end{array}$

Maximalstellen bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} A‘\left(u\right)=&0\\ 2-\dfrac{3}{2}u^2=&0&\quad\mid\;+\dfrac{3}{2}u^2\\ 2=&\dfrac{3}{2}u^2&\quad\mid\;\cdot\dfrac{2}{3}\\ \dfrac{4}{3}=&u^2&\quad\mid\;\sqrt{\;}\\ \pm\sqrt{\dfrac{4}{3}}=&u_{1,2} \end{array}$

Da das Dreieck nur im ersten Quadranten einbeschrieben werden soll, hat für uns nur der Wert $x=\dfrac{4}{3}$ Bedeutung, der andere Wert liegt nicht mehr in diesem Quadranten.

Überprüfen der hinreichenden Bedingung:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=&-3\sqrt{\dfrac{4}{3}}&<0 \end{array}$

Für $u=\sqrt{\dfrac{4}{3}}$ wird der Flächeninhalt des Dreiecks also maximal. Den Flächeninhalt selbst liefert uns die Flächenfunktion:

$\begin{array}[t]{rll} A\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=&2\cdot\sqrt{\dfrac{4}{3}}-\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)^3\\ =&2\sqrt{\dfrac{4}{3}}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\sqrt{\dfrac{4}{3}}\\ =&2\sqrt{\dfrac{4}{3}}-\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{4}{3}}\\ A\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=&\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{array}$

Der maximale Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{4}{3}}$ FE.
Die $y$ -Koordinate von $P$ lautet:

$\begin{array}[t]{rll} f\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=&4-\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)^2\\ =&4-\dfrac{4}{3}\\ f\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=&\dfrac{8}{3} \end{array}$

Daraus folgt der Punkt $P\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\mid\dfrac{8}{3}\right)$ .

Den maximalen Flächeninhalt bestimmen

Zunächst muss eine Funktionsgleichung der Funktion bestimmt werden, mit der wir den Flächeninhalt eines solchen Rechtecks berechnen können. Hierfür verdeutlichen wir uns die Aufgabe noch einmal mit Hilfe einer Skizze (das eingezeichnete Rechteck ist nicht das ideale, sondern ein beliebiges!). Um dies korrekt tun zu können, benötigen wir die Nullstellen von $f$ :

Diagramm einer Funktion mit den Kurven P(u|f(u)) und Q(6-u|f(6-u)) auf einem Koordinatensystem.

$x\left(-\dfrac{1}{3}x+2\right)=0$

Vollständige Lösung anzeigen

Ein Produkt ist 0, wenn einer seiner Faktoren 0 wird (Satz vom Nullprodukt):

$\begin{array}[t]{rll} x_1=&0\\ -\dfrac{1}{3}x+2=&0&\quad\mid\;-2\\ -\dfrac{1}{3}x=&-2&\quad\mid\;\cdot\left(-3\right)\\ x_2=&6 \end{array}$

Da der betrachtete Graphausschnitt achsensymmetrisch zur Gerade $x = 3$ ist, haben die beiden $x$ -Koordinaten von $P$ und $Q$ jeweils den gleichen Abstand $u$ von der jeweiligen Nullstelle. Somit beträgt die Länge der Grundseite des Rechtecks $a=6-2\cdot u$ .
Der Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks ist immer $A=a\cdot b$ :

$A\left(u\right)=\left(6-2u\right)\cdot f\left(u\right)$

Mit dieser Funktionsgleichung, die uns den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von $u$ angibt, können wir nun weiter rechnen und die Werte einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&\left(6-2u\right)\left(-\dfrac{1}{3}u^2+2u\right)\\ =&-2u^2+12u+\dfrac{2}{3}u^3-4u^2\\ A\left(u\right)=&\dfrac{2}{3}u^3-6u^2+12u \end{array}$

Um den maximalen Flächeninhalt zu berechnen, wird nun die Maximalstelle dieser Flächenfunktion bestimmt:

$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&\dfrac{2}{3}u^3-6u^2+12u\\ A‘\left(u\right)=&2u^2-12u+12\\ A‘‘\left(u\right)=&4u-12 \end{array}$

Maximalstelle bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} A‘\left(u\right)=&0\\ 2u^2-12u+12=&0&\quad\mid\;:2\\ u^2-6u+6=&0 \end{array}$

$p$ - $q$ -Formel anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} u_{1,2}=&3\pm\sqrt{9-6}\\ u_{1,2}=&3\pm\sqrt{3} \end{array}$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung:

$f‘‘\left(3-\sqrt{3}\right)=4\sqrt{3}>0$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $u=3-\sqrt{3}$ wird der Flächeninhalt des Rechtecks also maximal. Den Flächeninhalt selbst liefert uns die Flächenfunktion:

$A\left(3-\sqrt{3}\right)\approx6,93$

Vollständige Lösung anzeigen

Der maximale Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $6,93$ LE.
Die $y$ -Koordinate von $P$ lautet:

$f\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\right)=2$

Vollständige Lösung anzeigen

Daraus folgt der Punkt $P\left(3-\sqrt{3}\mid2\right)$ .
$Q$ muss aus Symmetriegründen die gleiche $y$ -Koordinate haben. Seine $x$ -Koordinate ist $6-u$ :

$\begin{array}[t]{rll} 6-u=&6-\left(3-\sqrt{3}\right)\\ =&6-3+\sqrt{3}\\ =&3+\sqrt{3} \end{array}$

Daraus folgt der Punkt: $Q\left(3+\sqrt{3}\mid2\right)$ .

Den maximalen Flächeninhalt bestimmen

Zunächst muss eine Funktionsgleichung bestimmt werden, mit der wir den Flächeninhalt eines solchen Trapezes berechnen können. Hierfür verdeutlichen wir uns die Aufgabe noch einmal mit Hilfe einer Skizze (das eingezeichnete Trapez ist nicht das ideale, sondern ein beliebiges!). Um dies korrekt tun zu können, benötigen wir die Nullstellen von $f$ :

Diagramm einer Funktion mit einer parabolischen Kurve im Koordinatensystem.

$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&0\\ 1-x^2=&0&\quad\mid\;+x^2\\ 1=&x^2&\quad\mid\;\sqrt{\;}\\ \pm1=&x_{1,2} \end{array}$

Die Grundseite ist fix zwischen den beiden Nullstellen von $f$ eingeschlossen und hat daher die Länge $a=2$ .
Da die Kurve achsensymmetrisch ist, haben die beiden $x$ -Koordinaten von $P$ und $Q$ jeweils den gleichen Abstand $u$ von der jeweiligen Nullstelle. Somit beträgt die Länge der oberen Kante des Trapezes $c=2\cdot u$ .
Der Flächeninhalt $A$ eines Trapezes ist immer $A=\dfrac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h$ :

$A\left(u\right)=\dfrac{1}{2}\left(2+2u\right)\cdot f\left(u\right)$

Mit dieser Funktionsgleichung, die uns den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $u$ angibt, können wir nun weiter rechnen und die Werte einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&\dfrac{1}{2}\left(2+2u\right)\left(1-u^2\right)\\ =&\left(1-u\right)\left(1-u^2\right)\\ =&1+u-u^2-u^3\\ \end{array}$

Um den maximalen Flächeninhalt zu berechnen, wird nun der Extremstelle dieser Umfangsfunktion bestimmt

$\begin{array}[t]{rll} A\left(u\right)=&-u^3-u^2+u+1\\ A‘\left(u\right)=&-3u^2-2u+1\\ A‘‘\left(u\right)=&-6u-2 \end{array}$

Extremstelle berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A‘\left(u\right)=&0\\ -3u^2-2u+1=&0&\quad\mid\;:(-3)\\ u^2+\dfrac{2}{3} \cdot u-\dfrac{1}{3}=&0 \end{array}$

$p$ - $q$ -Formel anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} u_{1,2}=&-\dfrac{1}{3}\pm\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}}\\ =&-\dfrac{1}{3}\pm\sqrt{\dfrac{4}{9}}\\ u_{1,2}=&-\dfrac{1}{3}\pm\dfrac{2}{3}\\ \end{array}$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘\left(\dfrac{1}{3}\right)=&-6\left(\dfrac{1}{3}\right)-2\\ =&-4 &\lt 0\\ f‘‘\left(-1\right)=&-6\left(-1\right)-2\\ =&+4 &\gt 0\\ \end{array}$

Für $u=\dfrac{1}{3}$ wird der Flächeninhalt des Rechtecks also maximal. Den Flächeninhalt selbst liefert uns die Flächenfunktion:

$A=\left(\dfrac{32}{27}\right)$

Vollständige Lösung anzeigen

Der maximale Flächeninhalt des Trapezes beträgt $\dfrac{32}{27}$ FE.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?