Faktor- und Summenregel

Potenzregel

Die Potenzregel gibt eine Formel dafür an, wie Potenzfunktionen, also zum Beispiel Polynome wie $f(x) = x^2$ , abgeleitet werden können. Dies geschieht, indem der Exponent als Faktor vorgezogen und anschließend um eins verringert wird. In Formeln bedeutet dies:

$f(x)$ = $x^b \quad \Rightarrow \quad f‘(x)$ = $b\cdot x^{b-1}$

Beispiel

Die Funktion $f(x) = x^3$

$\Rightarrow f‘(x) = 3\cdot x^2$

Beachte, dass $x^0 = 1$ gilt und konstante Funktionen wie $f(x) = 3 = 3\cdot x^0$ deshalb zur Nullfunktion abgeleitet werden: $f‘(x) = 0 \cdot 3\cdot x^{-1} = 0$

Summenregel

Die Summenregel besagt, dass bei Summen von einzelnen Funktionstermen jeder Summand einzeln abgeleitet wird:

	$f(x)$	=	$u(x) + v(x)$
$\Rightarrow$	$f‘(x)$	=	$u‘(x) + v‘(x)$

Beispiel

Die Funktion $f(x) = x^2 + x^4$ muss mit der Summenregel abgeleitet werden:

$\Rightarrow f‘(x) = 2x + 4x^3$

Faktorregel

Die Faktorregel besagt, dass die Koeffizienten, also die Faktoren vor der Unbekannten, erhalten bleiben:

	$f(x)$	=	$a\cdot u(x)$
$\Rightarrow$	$g‘(x)$	=	$a\cdot u‘(x)\quad (a \in \mathbb{R})$

Beispiel

Die Funktion $f(x) = 3x^2$ muss mit der Faktorregel abgeleitet werden:

$\Rightarrow f‘(x) = 3\cdot\left(2x\right)$ $= 6x$

Leite folgende Funktionen einmal ab.

$f(x)=x$

$f(x)=x^2$

$f(x)=2x$

$f(x)=2$

$f(x)=2x^3$

$f(x)=-3x^2$

$f(x)=-bx^2$

$f(a)=ax^2$

$f(x)=ax^2+c$

$f(x)=x^{-1}$

$f(x)=-2x^{-3}$

$f(x)=-\dfrac{1}{8}x^{-4}$

$f(x)=x^3+x^{-2}$

$f(x)=-\dfrac{1}{2}x^{4}+\dfrac{1}{4}x^{8}$

Leite folgende Funktionen zweimal ab.

$f(x)=x^4$

$f(x)=\dfrac{1}{6}x^3$

$f(x)=ax$

$f(x)=2x^{-1}$

$f(x)=-x^{-3}$

$f(x)=-3x^{-\frac{1}{2}}$

Bilde die erste und zweite Ableitung.

$f(x)=x^4-x^3+2x$

$f(x)=-x^3+2x^2-4$

$f(x)=\dfrac{1}{2}x^3-x^2+\dfrac{2}{3}$

$f(x)=\dfrac{1}{4}x^3+\dfrac{1}{2}x^2-2$

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Einmal ableiten.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& x \\ f‘(x)=& 1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& x^2 \\ f‘(x)=& 2\cdot x \\ =& 2x \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& 2x \\ f‘(x)=& 2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& 2 \\ f‘(x)=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& 2x^3 \\ f‘(x)=& 3\cdot 2x^2 \\ =& 6x^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& -3x^2 \\ f‘(x)=& 2\cdot (-3x) \\ =& -6x \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& -bx^2 \\ f‘(x)=& 2\cdot (-bx) \\ =& -2bx \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(a)=& ax^2 \\ f‘(a)=& x^2 \\ \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& ax^2+c \\ f‘(x)=& 2\cdot ax \\ =& 2ax \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& x^{-1} \\ f‘(x)=& (-1)\cdot x^{-2} \\ =& -x^{-2} \\ \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& -2x^{-3} \\ f‘(x)=& (-3)\cdot (-2x^{-4}) \\ =& 6x^{-4} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& -\dfrac{1}{8}x^{-4} \\ f‘(x)=& (-4)\cdot -\dfrac{1}{8} x^{-5} \\ =& \dfrac{1}{2}x^{-5} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& x^3+x^{-2} \\ f‘(x)=& 3\cdot x^2+(-2)\cdot x^{-3} \\ =& 3x^2-2x^{-3} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& -\dfrac{1}{2}x^{4}+\dfrac{1}{4}x^{8} \\ f‘(x)=& -2x^3+2x^{7} \\ \end{array}$

Zweimal ableiten.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& x^4 \\ f‘(x)=& 4\cdot x^3 \\ =& 4x^3 \\ f‘‘(x)=& 3\cdot 4x^2 \\ =& 12x^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& \dfrac{1}{6}x^3 \\ f‘(x)=& 3\cdot \dfrac{1}{6}x^2 \\ =& \dfrac{1}{2}x^2 \\ f‘‘(x)=& 2\cdot \dfrac{1}{2}x \\ =& x \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& ax \\ f‘(x)=& a \\ f‘‘(x)=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& 2x^{-1} \\ f‘(x)=& (-1)\cdot 2x^{-2} \\ =& -2x^{-2} \\ f‘‘(x)=& (-2)\cdot (-2x^{-3}) \\ =& 4x^{-3} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& -x^{-3} \\ f‘(x)=& (-3)\cdot (-x^{-4}) \\ =& 3x^{-4} \\ f‘‘(x)=& (-4)\cdot 3x^{-5} \\ =& -12x^{-5} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& -3x^{-\frac{1}{2}} \\ f‘(x)=& \left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(-3x^{-\frac{3}{2}}\right)\\ =& \dfrac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\ f‘‘(x)=& \left(-\dfrac{3}{2}\right)\cdot \dfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}} \\ =& -\dfrac{9}{4}x^{-\frac{5}{2}} \end{array}$

Erste und zweite Ableitung bilden.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&x^4-x^3+2x\\\ f‘(x)=&4x^3-3x^2+2\\\ f‘‘(x)=&12x^2-6x \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&-x^3+2x^2-4\\\ f‘(x)=&-3x^2+4x\\\ f‘‘(x)=&-6x+4 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&\dfrac{1}{2}x^3-x^2+\dfrac{2}{3}\\\ f‘(x)=&\dfrac{3}{2}x^2-2x\\\ f‘‘(x)=&3x-2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=&\dfrac{1}{4}x^3+\dfrac{1}{2}x^2-2\\\ f‘(x)=&\dfrac{3}{4}x^2+x\\ f‘‘(x)=&\dfrac{3}{2}x+1 \end{array}$

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