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Gebrochen-rationale Funktionen ableiten

Beim Ableiten einer gebrochenrationalen Funktion kannst du entweder direkt die Quotientenregel anwenden oder den Bruch vorher so weit wie möglich kürzen um deine Rechnung möglichst übersichtlich zu halten. Zum Kürzen kannst du in vielen Fällen auch die Polynomdivision verwenden.
\(\begin{array}[t]{rll} f(x) =& \dfrac{u(x)}{v(x)} \\[5pt] f‘(x) =& \dfrac{u‘(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v‘(x)}{\left(v(x)\right)^2} \end{array}\)
\(u‘(x)\) und \(v‘(x)\) kannst du nach den gewohnten Ableitungsregeln bilden.

Beispiel

\(f(x) = \dfrac{x^3 +3x }{x^2}\)
Diesen Bruch kannst du kürzen:
\( f(x) = \dfrac{x^2+3}{x}\)
Der Funktionsterm kann nicht weiter vereinfacht werden. Wende nun die Quotientenregel an.
\(\begin{array}[cccc] f‘(x) &=& \dfrac{x^2 -3 }{x^2} \end {array}\)