Monotonie und Grenzwerte

Monotonie

Wenn eine Folge monoton ist, so ist sie entweder monoton steigend oder monoton fallend.

Eine Folge ist dann monoton steigend, wenn jedes Folgenglied größer oder gleich seinem Vorgänger ist, wenn also gilt:

$a_{n+1}-a_n\geq 0$ bzw. $a_{n+1}\geq a_n$

Wenn eine Folge monoton fallend ist, so ist jedes Folgenglied kleiner oder gleich seinem Vorgänger, es gilt:

$a_{n+1}-a_n\leq 0$ bzw. $a_{n+1} \leq a_n$

Ist eine Folge nicht monoton und ihre Glieder sind abwechselnd positiv und negativ, so ist die Folge alternierend.

Beschränktheit

Eine Folge kann nach oben, nach unten oder nach oben und unten beschränkt sein.

Ist eine Folge nach oben beschränkt, so gibt es eine Zahl, die größer als jedes Glied der Folge ist, die also nie überschritten wird.
Eine Folge ist nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die kleiner als jedes Folgenglied ist, die also nie unterschritten wird.

Grenzwerte

Ist eine Folge beschränkt, so kann man nachweisen, dass sie einen Grenzwert hat. Der Grenzwert ist bei monoton steigenden Folgen die kleinste obere Schranke und bei monoton fallenden Folgen die größte untere Schranke.
Den Grenzwert einer Funktion schreibt man folgendermaßen:

$\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}$

Zahlenfolgen, die einen Grenzwert haben, sind konvergent. Hat eine Folge keinen Grenzwert, so ist sie divergent.

Eine konvergente Folge ist beispielsweise die Folge $a_n=\frac{1}{n}$ . Geht n gegen Unendlich, so geht der Wert des Bruchs geht gegen Null. Man schreibt dann:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$

Entscheide, ob die Folgen nach oben bzw. nach unten beschränkt sind und gib gegebenenfalls die kleinste bzw. die größte Grenze an.

$a_n=3-\dfrac{2}{n}$

$a_n=\dfrac{3}{n}$

$a_n=\dfrac{1}{2}n^2-n$

$a_n=3n-9$

Bestimme, ob die angegebenen Folgen monoton steigend oder fallend sind.

$a_n=-n^3+\dfrac{p}{n}$ ; $p\geq1$

$a_n=n^{-1}$

$a_n=x-n$ ; $x\geq1$

$a_n=\left(-1\right)^{n^2}$

Entscheide, ob die Folgen nach oben bzw. nach unten beschränkt sind und gib gegebenenfalls die obere bzw. die untere Grenze an.

$a_n=\sqrt[n]{3}$

$a_n=\dfrac{n+1}{n+2}$

$a_n=n\cdot4^{-n}$

Gib den Grenzwert der Folge $a_n$ an.

$a_n=1+\dfrac{1}{n}$

$a_n=\dfrac{-4}{n^2}$

$a_n=2-\dfrac{1}{n+1}$

$a_n=-2+\left(\dfrac{1}{10}\right)^n$

Entscheide, ob die Folgen monoton wachsend oder fallend sind.

$a_n=4n+1$

$a_n=-\dfrac{3}{n}$

$a_n=n+2^{-n}$

$a_n=4n-n^2$

$a_n=\sqrt[n]{3}$

$a_n=\left(-1\right)^{n+1}$

$a_n=n+\dfrac{1}{n}$

$a_n=n^3-2n$

Gegeben ist eine konvergente Folge $a_n$ . Für welche n liegen alle Glieder der Folge in der jeweils angegebenen Umgebung?

$a_n=\dfrac{1}{n}; \varepsilon=\dfrac{1}{20}$

$a_n=\dfrac{4}{n-2}; \varepsilon=0,01$

$a_n=1+\dfrac{1}{n^2}; \varepsilon=\dfrac{1}{3}$

$a_n=2+\dfrac{2}{n}; \varepsilon=0,2$

Versuche herauszufinden, ob die Folge konvergent ist. Wie heißt dann der Grenzwert?

$a_n=-6+\left(n-1\right)\cdot2$

$a_n=\dfrac{1}{10^{n-2}}+4$

$a_n=-2n^2+12n-18$

$a_n=-3\cdot\dfrac{1}{n^2-4}$

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$a_n=3-\dfrac{2}{n}$ Von $3$ werden Zahlen abgezogen. Somit könnte $3$ eine obere Grenze sein.

Für $n=1$ wird die $2$ von $3$ abgezogen; für jedes $n>1$ wird der Bruch $\frac{2}{n}$ kleiner, d.h. es werden immer kleinere Zahlen von $3$ abgezogen. Somit könnte $1$ die untere Schranke sein.

Behauptung: obere Schranke bei $\boldsymbol{S_o=3}$ , untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=1}$

Zu zeigen: $3\geq a_n$

$\begin{array}{rlll} 3&\geq a_n\\[5pt] 3&\geq 3-\dfrac{2}{n}&\scriptsize{\mid\;-3}\\[5pt] 0&\geq-\dfrac{2}{n}&\scriptsize{\mid\;\cdot n}\\[5pt] 0&\geq-2 \end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, $S_o=3$ ist eine obere Schranke.

Zu zeigen: $1\leq a_n$

$\begin{array}{rlll} 1&\leq a_n\\[5pt] 1&\leq 3-\dfrac{2}{n}&\scriptsize{\mid\;-3}\\[5pt] -2&\leq -\dfrac{2}{n} \end{array}$

Das ist ebenfalls eine wahre Aussage:

Für $n=1$ heißt die Gleichung $-2=-2$ .

Für $n>1$ wird die rechte Seite immer größer: $-\dfrac{2}{2}<-\dfrac{2}{3}<-\dfrac{2}{4}<-\dfrac{2}{5}$ ...

$-2$ ist also immer kleiner als $-\dfrac{2}{n}$ , deshalb ist $S_u=1$ eine untere Schranke von $a_n$ .

$a_n$ ist nach oben und nach unten beschränkt.

$a_n=\dfrac{3}{n}$ $3$ wird durch immer größer werdende Zahlen geteilt, die Folgeglieder werden also immer kleiner. Somit könnte $3$ eine obere Grenze sein.

Der Bruch $\frac{3}{n}$ wird zwar immer kleiner und nähert sich der 0, diese wird er jedoch nie erreichen. Somit könnte $0$ eine untere Grenze sein.

Behauptung: obere Schranke bei $\boldsymbol{S_o=3}$ , untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=0}$

Zu zeigen: $3\geq a_n$

$\begin{array}{rlll} 3&\geq a_n\\[5pt] 3&\geq \dfrac{3}{n}&\scriptsize{\mid\;\cdot n}\\[5pt] 3n&\geq 3&\scriptsize{\mid\;:3}\\[5pt] n&\geq 1 \end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, $S_o=3$ ist eine obere Schranke.

Zu zeigen: $0\leq a_n$

$\begin{array}{rlll} 0&\leq a_n\\[5pt] 0&\leq \dfrac{3}{n}&\scriptsize{\mid\;\cdot n}\\[5pt] 0&\leq 3 \end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, deshalb ist $S_u=0$ eine untere Schranke von $a_n$ .

$a_n$ ist nach oben und nach unten beschränkt.

$a_n=\dfrac{1}{2}n^2-n$ Die Folgeglieder von $a_n$ werden immer größer und laufen gegen unendlich. Nach oben ist diese Folge also nicht beschränkt.

Der kleinste Wert, den sie annehmen kann, ist allerdings fest:
Für $n=1$ ist der Funktionswert der Folge $a_1=-\frac{1}{2}$ . Somit könnte $-\frac{1}{2}$ die untere Grenze sein.

Behauptung: untere Grenze bei $\boldsymbol{S_u=-\frac{1}{2}}$

Zu zeigen: $-\dfrac{1}{2}\leq a_n$

$\begin{array}{rlll} -\dfrac{1}{2}&\leq a_n\\[5pt] -\dfrac{1}{2}&\leq \dfrac{1}{2}n^2-n&\scriptsize{\mid\;+n}\\[5pt] -\dfrac{1}{2}+n&\leq \dfrac{1}{2}n^2&\scriptsize{\mid\;\cdot 2}\\[5pt] -1+2n&\leq n^2 \end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, deshalb ist $S_u=-\dfrac{1}{2}$ eine untere Schranke von $a_n$ .

$a_n$ ist nach unten beschränkt.

$a_n=3n-9$ Für $n=1$ nimmt die Folge den Wert $a_1=-6$ an, dann steigt der Wert von Folgeglied zu Folgeglied. Für $n\to\infty$ läuft die Folge gegen unendlich.

Somit gibt es keine obere Schranke, allerdings könnte $-6$ die untere Schranke der Folge sein.

Behauptung: untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=-6}$

Zu zeigen: $-6\leq a_n$

$\begin{array}{rlll} -6&\leq a_n\\[5pt] -6&\leq 3n-9&\scriptsize{\mid\;+9}\\[5pt] 3&\leq 3n&\scriptsize{\mid\;:3}\\[5pt] 1&\leq n \end{array}$

Dies ist eine wahre Aussage, deshalb ist $S_u=-6$ eine untere Schranke von $a_n$ .

$a_n$ ist nach unten beschränkt.

$a_n=-n^3+\dfrac{p}{n}$ ; $p\geq1$

Behauptung: monoton fallend

Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n\leq 0$

${a_{n+1}-a_n=\dfrac{n^2(-3n^2...)+p}{n^2+n}}$

Vollständige Lösung anzeigen

Wir betrachten nun den Zähler: $n^2$ bleibt immer positiv. Die Klammer jedoch wird immer negativ sein, da die Variable nur negativ auftritt. Daher ist der Zähler immer negativ.

Der Nenner bleibt immer positiv. Somit ist der Bruch insgesamt negativ.

Diese Folge ist monoton fallend.

$a_n=n^{-1}$

Behauptung: monoton fallend

Zu zeigen: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq 1$

$\begin{array}{rlll} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}&=\dfrac{\left(n+1\right)^{-1}}{n^{-1}}&\scriptsize{\mid\;n^{-1}=\dfrac{1}{n}}\\[5pt] &=\dfrac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}\\[5pt] &=\dfrac{1}{n+1}\cdot n\\[5pt] &=\dfrac{n}{n+1} \end{array}$

Wenn eine Zahl durch eine größere Zahl geteilt wird, wie es hier der Fall ist, dann ist der Quotient immer kleiner als 1.

Diese Folge ist monoton fallend.

$a_n=x-n$ ; $x\geq1$

Behauptung: monoton fallend

Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n\leq 0$

$a_{n+1}-a_1=-1$

Vollständige Lösung anzeigen

Diese Folge ist monoton fallend.

$a_n=\left(-1\right)^{n^2}$

Behauptung: weder noch

Von Folgeglied zu Folgeglied ändert sich das Vorzeichen, abhängig davon, ob der Exponent eine gerade oder eine ungerade Zahl ist.

Auch, wenn der Exponent $n^2$ ist, treten gerade und ungerade Zahlen in regelmäßigen Abständen auf: $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , ...

Die Folgeglieder heißen also nur $-1$ und $1$ und wechseln sich ab. Die Folge ist somit weder monoton steigend, noch fallend, sondern alternierend.

$a_n=\sqrt[n]{3}$

Von Folgeglied zu Folgeglied werden die Werte immer kleiner, sie erreichen jedoch niemals die 0. Somit könnte $0$ eine untere Schranke sein.

Für $n=1$ ergibt sich das Folgeglied $a_1=3$ . Da die nachfolgenden Glieder alle kleiner sind, könnte $3$ eine obere Schranke sein.

Behauptung: obere Schranke bei $\boldsymbol{S_o=3}$ , untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=0}$

Zu zeigen: $3\geq a_n$

Das ist eine wahre Aussage.

Vollständige Lösung anzeigen

$S_o=3$ ist eine obere Schranke.

Zu zeigen: $0\leq a_n$

$\begin{array}{rlll} 0&\leq a_n\\[5pt] 0&\leq \sqrt[n]{3}&\scriptsize{\mid\;\left(\;\right)^n}\\[5pt] 0&\leq 3 \end{array}$

Dies ist eine wahre Aussage, deshalb ist $S_u=0$ eine untere Schranke von $a_n$ .

$a_n$ ist nach oben und nach unten beschränkt.

$a_n=\dfrac{n+1}{n+2}$

Da die Exponenten der Variable im Zähler und im Nenner gleich sind, bestimmt man den Grenzwert der Folge, indem man die Koeffizienten vor der Variablen durcheinander teilt. In diesem Falle ergibt sich der Grenzwert von $1$ .

Für $n=1$ nimmt die Folge den Wert $\frac{2}{3}$ an.

Somit könnte $1$ die obere Schranke und $\frac{2}{3}$ die untere Schranke sein.

Behauptung: obere Schranke bei $\boldsymbol{S_o=1}$ , untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=\frac{2}{3}}$

Zu zeigen: $1\geq a_n$

$\begin{array}{rlll} 1&\geq a_n\\[5pt] 1&\geq \dfrac{n+1}{n+2}&\mid\;\cdot\left(n+2\right)\\[5pt] n+2&\geq n+1&\scriptsize{\mid -n}\\[5pt] 2&\geq 1 \end{array}$

Das ist eine wahre Aussage, $S_o=1$ ist eine obere Schranke.

Zu zeigen: $\dfrac{2}{3}\leq a_n$

Das ist eine wahre Aussage.

Vollständige Lösung anzeigen

$S_u=\dfrac{2}{3}$ ist eine untere Schranke von $a_n$ .

$a_n$ ist nach oben und nach unten beschränkt.

$a_n=n\cdot4^{-n}$

Zunächst wollen wir die Folge umschreiben, damit sie leichter zu lesen ist:

$a_n=n\cdot\dfrac{1}{4^n}$

Für $n=1$ nimmt die Folge also den Wert $a_1=\frac{1}{4}$ an.

Für $n\to\infty$ läuft die Folge gegen 0. Der Nenner des Bruchs wächst sehr viel schneller als das $n$ an sich. Somit wid $n$ durch immer größere Zahlen geteilt.

Somit könnte $\frac{1}{4}$ eine obere Schranke und $0$ eine untere Schranke sein.

Behauptung: obere Schranke bei $\boldsymbol{S_o=\frac{1}{4}}$ , untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=0}$

Zu zeigen: $\dfrac{1}{4}\geq a_n$

$\begin{array}{rlll} \dfrac{1}{4}&\geq a_n\\[5pt] \dfrac{1}{4}&\geq n\cdot\dfrac{1}{4^n}&\scriptsize{\mid\;\cdot\left(4^n\right)}\\[5pt] \dfrac{4^n}{4}&\geq n&\scriptsize{\mid\;\dfrac{1}{4}=4^{-1}}\\[5pt] 4^n\cdot4^{-1}&\geq n\\[5pt] 4^{n-1}&\geq n \end{array}$

Das ist eine wahre Aussage.

Für $n=1$ stimmt die Gleichung, weil $4^0=1$ ergibt.

Für alle $n>1$ stimmt sie auch, weil $4^{n-1}$ sehr viel schneller wächst als $n$ selbst und somit immer größer ist.

Deshalb ist $S_o=\frac{1}{4}$ eine obere Schranke von $a_n$ .

Zu zeigen: $0\leq a_n$

$\begin{array}{rlll} 0&\leq a_n\\[5pt] 0&\leq n\cdot\dfrac{1}{4^n}&\scriptsize{\mid\;\cdot4^n}\\[5pt] 0&\leq n \end{array}$

Dies ist eine wahre Aussage, deshalb ist $S_u=0$ eine untere Schranke von $a_n$ .

$a_n$ ist nach oben und nach unten beschränkt.

$a_n=1+\dfrac{1}{n}$ Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

Die $1$ vor dem Bruch ist nicht betroffen, sie bleibt immer gleich. Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$

Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $1$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $1$ .
Wir können also schreiben:

$\lim\limits_{n\to\infty}{1+\dfrac{1}{n}}=1$

Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $1$ .

$a_n=\dfrac{-4}{n^2}$ Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $-4$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch, und somit auch die Folge, läuft also gegen 0:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{-4}{n}}=0$

Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $0$ .

$a_n=2-\dfrac{1}{n+1}$ Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

Die $2$ vor dem Bruch ist nicht betroffen, sie bleibt immer gleich. Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n+1}}=0$

Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $2$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $2$ .
Wir können also schreiben:

$\lim\limits_{n\to\infty}{2-\dfrac{1}{n+1}}=2$

Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $2$ .

$a_n=-2+\left(\dfrac{1}{10}\right)^n$ Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

Die $-2$ vor dem potenzierten Bruch ist nicht betroffen, sie bleibt immer gleich.
Was den Bruch mit der Hochzahl $n$ angeht, so wird dieser für $n\to\infty$ unendlich mal mit sich selbst multipliziert. Der Zähler bleibt dabei immer gleich $\left(1\cdot1=1\right)$ .

Der Nenner jedoch wird immer größer, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\left(\dfrac{1}{10}\right)^n}=0$

Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $-2$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $-2$ .
Wir können also schreiben:

$\lim\limits_{n\to\infty}{-2+\left(\dfrac{1}{10}\right)^n}=-2$

Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $-2$ .

$a_n=4n+1$

Behauptung: monoton steigend

Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n\geq 0$

$\begin{array}{rlll} 4>0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$a_n=-\dfrac{3}{n}$

Behauptung: monoton steigend

Zu zeigen: $a_{n+1}\geq a_n$

$\begin{array}{rlll} a_{n+1}& \geq a_n\\[5pt] -\dfrac{3}{n+1}& \geq -\dfrac{3}{n}&\scriptsize{\mid\; :(-3)}\\[5pt] \dfrac{1}{n+1}& \leq \dfrac{1}{n} \end{array}$

Beachte, dass sich das Ungleichzeichen in der 2. Zeile umdreht, da wir durch $-3$ teilen.

$\frac{1}{n+1}\leq \frac{1}{n}$ ist eine wahre Aussage, also stimmt unsere Annahme und die Folge ist monoton steigend.

Diese Folge ist monoton steigend.

$a_n=n+2^{-n}$

Behauptung: monoton steigend

Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n\geq 0$

$a_{n+1}-a_n=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^n}+1$

Vollständige Lösung anzeigen

Den kleinsten Wert, den $n$ annehmen kann, ist $n=1$ . Für $n=1$ wäre die obige Gleichung immer noch positiv.

Für alle weiteren Werte von $n$ ( $n=2$ , $n=3$ ,...) wird der Teil $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^n}$ immer kleiner, weil der Nenner immer größer wird.
Somit kann dieser Term nicht 0 werden und ist immer positiv.

Diese Folge ist monoton steigend.

$a_n=4n-n^2$

Behauptung: monoton fallend

Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n\leq 0$

$a_{n+1}-a_n=-2n+3$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $n=1$ : $> 0$ : monoton steigend.

Für $n > 1$ : $< 0$ : monoton fallend.

$a_n=\sqrt[n]{3}$

Behauptung: monoton fallend

Zu zeigen: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leq 1$

$\begin{array}{rlll} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}&=\dfrac{\sqrt[n+1]{3}}{\sqrt[n]{3}}\\[5pt] &=\dfrac{3^{\frac{1}{n+1}}}{3^{\frac{1}{n}}} \end{array}$

$3^{\frac{1}{n+1}}$ wird immer kleiner sein als $3^{\frac{1}{n}}$ , weil bei letzterem die Hochzahl größer ist.

Somit ist der oben bestimmte Quotient immer kleiner als $1$ , weil eine Zahl durch eine andere, größere Zahl geteilt wird.

Diese Folge ist monoton fallend.

$a_n=\left(-1\right)^{n+1}$

Behauptung: weder noch

Die Funktionswerte dieser Folge sind nur $-1$ und $1$ , je nachdem, ob $n+1$ gerade oder ungerade ist.

Somit ist die Folge weder monoton steigend noch fallend, sondern alternierend.

$a_n=n+\dfrac{1}{n}$

Behauptung: monoton steigend

Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n\geq 0$

$a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}+1$

Vollständige Lösung anzeigen

Beide Summanden sind immer größer als 0.

Diese Folge ist monoton steigend.

$a_n=n^3-2n$

Behauptung: monoton steigend

Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n\geq 0$

$a_{n+1}-a_n=3n^2+3n-1$

Vollständige Lösung anzeigen

Der kleinste Wert, der für $n$ eingesetzt werden kann, ist $n=1$ . Selbst für $n=1$ ist diese Gleichung größer 0, für alle anderen $n$ ( $n=2$ , $n=3$ ,...) auch.

Diese Folge ist monoton steigend.

$a_n=\dfrac{1}{n};\;\varepsilon=\dfrac{1}{20}$

Grenzwert bestimmen:

Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch, und somit auch die Folge, läuft also gegen 0:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$

Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $0$ .

Folgenglieder im Bereich $\varepsilon=\dfrac{1}{20}$ bestimmen:

Wir haben herausgefunden, dass der Grenzwert der Folge $a_n$ bei $0$ liegt. Der Bereich $\varepsilon=\dfrac{1}{20}$ beginnt also bei $\dfrac{1}{20}$ :

$\begin{array}{rlll} \dfrac{1}{20}&=\dfrac{1}{n}&\scriptsize{\mid\;\cdot n}\\[5pt] \dfrac{n}{20}&=1&\scriptsize{\mid\;\cdot20}\\[5pt] n&=20 \end{array}$

Das 20. Folgeglied liegt also direkt auf der Grenze zu $\varepsilon$ , d.h. alle Folgeglieder ab $n=21$ liegen im Bereich $\varepsilon=\dfrac{1}{20}$ .

$a_n=\dfrac{4}{n-2};\;\varepsilon=0,01$

Grenzwert bestimmen:

Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $4$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch, und somit auch die Folge, läuft also gegen 0:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{4}{n-2}}=0$

Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $0$ .

Folgenglieder im Bereich $\varepsilon=0,01$ bestimmen:

Wir haben herausgefunden, dass der Grenzwert der Folge $a_n$ bei $0$ liegt. Der Bereich $\varepsilon=0,01$ beginnt also bei $0,01$ :

$n=402$

Vollständige Lösung anzeigen

Das 402. Folgeglied liegt also direkt auf der Grenze zu $\varepsilon$ , d.h. alle Folgeglieder ab $n=403$ liegen im Bereich $\varepsilon=0,01$ .

$a_n=1+\dfrac{1}{n^2};\;\varepsilon=\dfrac{1}{3}$

Grenzwert bestimmen:

Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n^2}}=0$

Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $1$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $1$ .
Wir können also schreiben:

$\lim\limits_{n\to\infty}{1+\dfrac{1}{n^2}}=1$

Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $1$ .

Folgenglieder im Bereich $\varepsilon=\dfrac{1}{3}$ bestimmen:

Wir haben herausgefunden, dass der Grenzwert der Folge $a_n$ bei $1$ liegt. Da sich die Folge aus dem positiven Bereich an den Grenzwert annähert, beginnt $\varepsilon=\dfrac{1}{3}$ also bei $\dfrac{4}{3}$ .
$(Grenzwert=1+\varepsilon=\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3})$

$\begin{array}{rlll} \dfrac{4}{3}&=1+\dfrac{1}{n^2}&\scriptsize{\mid\;\cdot n^2}\\[5pt] \dfrac{4n^2}{3}&=n^2+1&\scriptsize{\mid\;\cdot3}\\[5pt] 4n^2&=3n^2+3&\scriptsize{\mid\;-3n^2}\\[5pt] n^2&=3&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\;}}\\[5pt] n&=\pm\sqrt{3}\\[5pt] n&\approx \pm1,73 \end{array}$

Die negative Lösung ist für uns nicht interessant, weil Folgen nur über einen Definitionsbereich $\mathbb{D}=\mathbb{N}$ verfügen.
Somit geht aus der Lösung hervor, dass alle Folgeglieder ab $n=2$ im Bereich $\varepsilon=\dfrac{1}{3}$ liegen.

$a_n=2+\dfrac{2}{n};\;\varepsilon=0,2$

Grenzwert bestimmen:

Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

Die $2$ vor dem Bruch ist nicht betroffen, sie bleibt immer gleich. Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $2$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{2}{n}}=0$

Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $2$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $2$ .
Wir können also schreiben:

$\lim\limits_{n\to\infty}{2+\dfrac{2}{n}}=2$

Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $2$ .

Folgenglieder im Bereich $\varepsilon=0,2$ bestimmen:

Wir haben herausgefunden, dass der Grenzwert der Folge $a_n$ bei $2$ liegt. Da sich die Folge aus dem positiven Bereich an den Grenzwert annähert beginnt $\varepsilon=0,2$ also bei $2,2$ :

$\begin{array}{rlll} 2,2&=2+\dfrac{2}{n}&\scriptsize{\mid\;\cdot n}\\[5pt] 2,2n&=2n+2&\scriptsize{\mid\;-2n}\\[5pt] 0,2n&=2&\scriptsize{\mid\;:0,2}\\[5pt] n&=10 \end{array}$

Aus der Lösung geht hervor, dass alle Folgeglieder ab $n=11$ im Bereich $\varepsilon=0,2$ liegen.

$a_n=-6+\left(n-1\right)\cdot2$

Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

$n$ selbst geht gegen unendlich. Die Zahlen, die von $n$ abgezogen bzw. zu $n$ addiert werden, spielen in der Unendlichkeit keine Rolle mehr; die Funktionswerte laufen gegen unendlich. Wir können also schreiben:

$\lim\limits_{n\to\infty}{-6+\left(n-1\right)\cdot2}=\infty$

Diese Folge besitzt keinen Grenzwert, ist also nicht konvergent, sondern divergent.

$a_n=\dfrac{1}{10^{n-2}}+4$

Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

Die $4$ hinter dem Bruch ist nicht betroffen, sie bleibt immer gleich.
Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{10^{n-1}}}=0$

Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $4$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $4$ .
Wir können also schreiben:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{10^{n-2}}}=4$

Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $4$ , sie ist also konvergent.

$a_n=-2n^2+12n-18$

Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

$n$ selbst geht gegen unendlich. Da $n^2$ aber schneller wächst als $n$ , laufen die Funktionswerte wegen $-2n^2$ gegen minus unendlich. Wir können also schreiben:

$\lim\limits_{n\to\infty}{-2n^2+12n-18}=-\infty$

Diese Folge besitzt keinen Grenzwert, ist also nicht konvergent, sondern divergent.

$a_n=-3\cdot\dfrac{1}{n^2-4}$

Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:

Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:

$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{10^{n-1}}}=0$

Die $-3$ wird mit dem Bruch multipliziert. Wenn eine Zahl mit einer sehr kleinen Zahl multipliziert wird, ist auch das Produkt dieser Zahlen sehr klein. Wir können also schreiben:

$\lim\limits_{n\to\infty}{3\cdot\dfrac{1}{n^2-4}}=0$

Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $0$ , sie ist also konvergent.

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