Ableitung gegeben: Eigenschaften von Kurven

Mit Hilfe der ersten Ableitung $f‘$ einer Funktion $f$ , kannst du Aussagen über die Eigenschaften des Graphen von $f$ machen.

Steigung

Die Steigung des Graphen der Funktion $f$ im Punkt $x$ entspricht dem Funktionswert der ersten Ableitung im Punkt $x$ .

Extremstellen/Sattelpunkte

Die Nullstellen der ersten Ableitungen sind Extremstellen/Sattelpunkte des Graphen von $f$ .

Wendepunkte

Hat die erste Ableitung eine Extremstelle, so hat die Funktion $f$ an dieser Stelle einen Wendepunkt.

Monotonie

$f$ monoton wachsend: $f‘(x)\geq0$ (streng monoton, wenn $f‘(x)\gt 0$ )
$f$ monoton fallend: $f‘(x)\leq0$ (streng monoton, wenn $f‘(x)\lt 0$ ).

Beispiel

Die Ableitung von $f$ entspricht dem Graphen im folgenden Schaubild:

Schaubild einer mathematischen Funktion f' im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Extremstellen/Sattelpunkte:
- Nullstelle bei $x=-2$ $\rightarrow$ der Graph von $f$ hat an der Stelle $x=-2$ einen Tiefpunkt (Vorzeichenwechsel von minus nach plus)
- Doppelte Nullstelle bei $x=0$ $\rightarrow$ der Graph von $f$ hat einen Sattelpunkt an der Stelle $x=0$ (kein Vorzeichenwechsel)

Wendepunkte:
- Hochpunkt bei $x=-1,4 \rightarrow$ der Graph von $f$ hat an der Stelle $x=-1,4$ einen Wendepunkt
- Tiefpunkt bei $x=0 \rightarrow$ der Graph von $f$ hat an der Stelle $x=0$ einen Wendepunkt

Gegeben ist die Ableitungsfunktion $f‘$ der Funktion $f$ .
Sind die folgenden Aussagen wahr, falsch oder nicht entscheidbar?
Begründe deine Entscheidung.

Graph einer Parabel mit den Achsen x und y, zeigt eine nach oben geöffnete Kurve.

(1)

An der Stelle $x=1$ besitzt $f$ einen Tiefpunkt.

(2)

Die Funktion $f$ besitzt mindestens einen Wendepunkt.

(3)

Für $x\lt 1$ ist $f$ streng monoton fallend.

(4)

Die Funktion $f$ weist drei Nullstellen auf.

Graph einer Funktion mit Achsen und einem Verlauf von Kurven.

(1)

An der Stelle $x=1$ besitzt $f$ einen Wendepunkt.

(2)

$f$ ist für $x>0$ streng monoton steigend.

(3)

Die Steigung von $f$ an der Stelle $x=0$ beträgt $1$ .

(4)

Bei $x \approx 2$ besitzt das Schaubild von $f$ eine Tangente, die parallel oder identisch zu $y=-3$ ist.

Gegeben ist der Graph der ersten Ableitungsfunktion einer Funktion $f$ .
Sind die folgenden Aussagen wahr, falsch oder nicht entscheidbar?
Begründe deine Entscheidung.

Graph einer Funktion im Koordinatensystem mit einer asymptotischen Kurve.

(1)

An der Stelle $x=1$ besitzt $f$ einen Tiefpunkt.

(2)

Die Funktion $f$ besitzt mindestens einen Wendepunkt.

(3)

Für $-4\lt x\lt -1,5$ ist $f$ ist streng monoton fallend.

(4)

Für $x>0$ ist $f$ streng monoton fallend.

(5)

Die Funktion $f$ ist symmetrisch zur y-Achse.

Graf eines mathematischen Koordinatensystems mit einer Kurve, die die Achsen schneidet.

(1) $f$ besitzt keinen Wendepunkt.

(2) An der Stelle $x=0$ besitzt $f$ einen Hochpunkt.

(3) Für $0\lt x\lt 3$ ist $f$ monoton steigend.

(4) $f$ besitzt Nullstellen.

Graph einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Achsen und Gitterlinien.

(1)

$f$ ist für $x\lt -0,5$ streng monoton fallend.

(2)

An der Stelle $x=1$ besitzt $f$ einen Hochpunkt.

(3)

Für $0\lt x\lt 4$ ist $f$ streng monoton fallend.

(4)

$f$ besitzt einen Wendepunkt.

(5)

$f$ ist symmetrisch zum Punkt $P(0|-1)$ .

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen.

(1)

$f$ ist für $x>0$ streng monoton steigend.

(2)

An der Stelle $x=-1$ besitzt $f$ einen Hochpunkt.

(3)

$f$ besitzt einen Wendepunkt.

Gegeben ist das Schaubild der Ableitungsfunktion $f‘$ einer Funktion $f$ .
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind.
Begründe jeweils deine Antwort.

(1)

Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=0$ ein lokales Minimum.

(2)

Für $-2\lt x$ ist $f$ streng monoton steigend.

(3)

Die Funktion $f$ hat mindestens eine Wendestelle.

(4)

Das Schaubild von $f$ hat mindestens drei Tangenten, die parallel zur Geraden $y=0,5x-1$ sind.

(5)

$f(-2)>f(0)$

Gegeben ist das Schaubild der Ableitungsfunktion $f‘$ einer Funktion $f$ .
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind. Begründe jeweils deine Antwort.

Grafik zeigt den Verlauf einer Funktion f' mit Achsenbeschriftung.

(1)

$f$ ist streng monoton wachsend für $-1\lt x\lt 1$ .

(2)

Das Schaubild von $f$ hat drei Stellen mit waagrechter Tangente.

(3)

Das Schaubild von $f$ hat mindestens zwei Wendepunkte.

(4)

Es gilt $f(x)>0$ für alle $x\in\left[0;3\right]$ .

(5)

Das Schaubild von $f$ besitzt bei $x=-3$ einen Sattelpunkt.

Gegeben ist das Schaubild der Ableitungsfunktion $f‘$ einer Funktion $f$ .
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind.
Begründe jeweils deine Antwort.

Grafik eines Funktionsgraphen mit Achsenbeschriftung und einem Maxima bei y=6.

(1)

Das Schaubild von $f$ hat bei $x=3$ einen Tiefpunkt.

(2)

Das Schaubild von $f$ hat für $-2\leq x\leq4$ genau zwei Wendepunkte.

(3)

Das Schaubild von $f$ verläuft im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse steiler als die Gerade $y=2x+4$ .

(4)

Das Schaubild von $f$ hat einen Hochpunkt an der Stelle $x=-2$ .

(5)

$f(3)>f(1)$

Gegeben ist die Ableitungsfunktion der Funktion $f$ .
Sind folgende Aussagen wahr, falsch oder nicht entscheidbar?
Begründe deine Entscheidung.

Graf einer Parabel im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

(1)

$f$ besitzt einen Wendepunkt.

(2)

An der Stelle $x=0$ besitzt $f$ einen Tiefpunkt.

(3)

Für $-2\lt x\lt 2$ ist $f$ streng monoton fallend.

(4)

$f$ besitzt Nullstellen.

(5)

An der Stelle $x=-2$ besitzt $f$ einen Hochpunkt.

Graf einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

(1)

$f$ besitzt einen Wendepunkt.

(2)

Für $x\lt 0$ besitzt $f$ keine Nullstelle.

(3)

Für $-1\lt x\lt 1$ ist $f$ streng monoton steigend.

(4)

An der Stelle $x=1$ liegt ein Tiefpunkt vor.

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Graph einer Parabel mit einer gestrichelten Linie, die eine andere Funktion darstellt, auf einem Koordinatensystem.

(1)

Falsche Aussage
Die Ableitungsfunktion hat an dieser Stelle einen Tiefpunkt, die Funktion $f$ weist demnach einen Wendepunkt an dieser Stelle vor.

(2)

Richtige Aussage
Weist $f‘$ an einer Stelle einen Extrempunkt vor, so liegt an dieser Stelle bei $f$ ein Wendepunkt vor.

(3)

Falsche Aussage
Für $0 \lt x \lt 1$ (mindestens) ist die Funktion streng monoton fallend. Für $x < 0$ jedoch streng monoton steigend, da der Graph von $f‘$ in diesem Bereich auch oberhalb der $x$ -Achse verläuft.

(4)

Nicht entscheidbare Aussage
Da $f‘$ eine Funktion zweiten Grades ist, ist $f$ eine Funktion dritten Grades der Form $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ . Diese kann drei Nullstellen aufweisen, was jedoch abhängig ist vom absoluten Glied $d$ (Verschiebung in positive oder negative $y$ -Richtung).

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und Gitterlinien.

(1)

Richtige Aussage
Da das Schaubild von $f‘$ an dieser Stelle einen Hochpunkt aufweist, besitzt $f$ an diese Stelle einen Wendepunkt. (Wendepunkte sind Punkte mit extremaler Steigung)

(2)

Falsche Aussage
Das Schaubild von $f‘$ verläuft bis $x \approx 2$ oberhalb der $x$ -Achse und nur in diesem Bereich liegt für $f$ eine positive Steigung vor (und damit ist $f$ nur in diesem Bereich monoton steigend). Für $x > 2$ gilt jedoch $f‘ < 0$ und damit ist der Graph von $f$ monoton fallend in diesem Bereich.

(3)

Richtige Aussage
$f‘$ gibt die Steigung von $f$ an ( $f‘$ gibt die Steigung der Tangenten an den Graphen von $f$ an jeder beliebigen Stelle $x$ an). An der Stelle $x=0$ hat $f‘$ den $y$ -Wert $1$ . Damit beträgt die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ gleich 1.

(4)

Richtige Aussage
Die Steigung an der Stelle $x \approx 2$ ist für $f$ gleich Null. Die Steigung der Geraden $y=-3$ ist ebenfalls $0$ . Demnach sind Tangente und Gerade parallel oder identisch.

(1)

Falsch, da für $x \lt 1$ eine pos. Steigung und für $x>1$ eine neg. Steigung vorliegt (VZW von $+$ nach $-$ ). Es handelt sich also um einen Hochpunkt.

(2)

Falsch bzw. nicht entscheidbar, der Graph von $f‘$ besitzt keine Extrempunkte, also sind die notwendige und hinreichende Bedingung für ein Extremum von $f‘$ nicht erfüllt, diese sind aber auch genau die Bedingungen für eine Wendestelle von $f$ . Somit ist nicht gewährleistet, dass der Graph von $f$ einen Wendepunkt besitzt.

(3)

Richtig, es liegt in diesem Intervall an jeder Stelle eine negative Steigung vor, da der Graph von $f‘$ im kompletten Bereich unterhalb der $x$ -Achse verläuft.

(4)

Falsch für $0\lt x\lt 1$ liegt eine positive Steigung vor. Erst ab $x>1$ ist der Graph von $f$ streng monoton fallend.

(5)

Falsch, zwischen $-1$ und $0$ bzw. $0$ und $1$ liegt immer eine positive Steigung vor, das bedeutet, dass keine Symmetrie zur $y$ -Achse vorliegen kann.

(1)

Richtig, die Ableitungsfunktion hat keinen Extrempunkt, also kann kein Wendepunkt bei $f$ vorliegen.

(2)

Falsch, da $x\lt 0$ eine neg. Steigung und für $x>0$ eine pos. Steigung vorliegt (VZW von $-$ nach $+$ ). Es handelt sich also um einen Tiefpunkt.

(3)

Richtig, denn in diesem Intervall verläuft der Graph von $f‘$ oberhalb der $x$ -Achse.

(4)

Unentscheidbar, denn die Ableitungsfunktion gibt nicht die Lage der Funktion an, lediglich die Steigung.

(1)

Richtig, denn für diesen Bereich weist $f$ immer eine negative Steigung auf.

(2)

Richtig, für $0\lt x\lt 1$ liegt bei $f$ eine positive Steigung, für $x>1$ eine negative Steigung vor (VZW von $+$ nach $-$ ).

(3)

Falsch, bei $x=1$ ändert sich die Steigung von positiv nach negativ.

(4)

Falsch, der Graph von $f‘$ besitzt keinen Extrempunkt, also besitzt der Graph von $f$ keinen Wendepunkt.

(5)

Falsch, denn $f‘$ gibt keine Aussage über die Lage von $f$ und da bei $x=1$ ein Vorzeichenwechsel stattfindet und für $x\lt 0$ der Graph von $f$ streng monoton fällt, kann keine Symmetrie zu $P(0|-1)$ vorliegen.

(1)

Richtig, da in diesem Intervall die Steigung von $f$ immer positiv ( $>0$ ) ist.

(2)

Falsch, für $x\lt -1$ liegt eine negative, für $-1\lt x\lt 0$ eine positive Steigung vor (VZW von $-$ nach $+$ ). $f$ hat damit an der Stelle $x=-1$ einen Tiefpunkt.

(3)

Richtig, bei $x=1$ hat $f$ eine Wendestelle, da der Graph von $\(f$ an dieser Stelle einen Tiefpunkt hat.

(1)

Falsch. An der Stelle $x=0$ liegt zwar eine Nullstelle von $f‘$ und damit eine potentielle Extremstelle von $f$ , allerdings handelt es sich bei $x=0$ um einen Sattelpunkt, denn der Graph der Funktion bleibt für $x\lt 0$ und $x\gt 0$ im positiven Bereich, es findet also kein Vorzeichenwechsel statt.

(2)

Falsch. Für $-2 \lt x$ ist der Graph von $f$ nur monoton steigend, da bei $x = 0$ die Steigung gleich Null ist.

(3)

Richtig. Wendestellen sind Punkte mit extremaler Steigung. Da $f‘$ zwei Extremstellen besitzt, besitzt $f$ zwei Wendestellen.

(4)

Richtig. Drei Tangenten, die parallel zur Geraden $y=0,5x-1$ sind bedeutet, dass der Graph von $f$ drei Tangenten besitzt, die eine Steigung von $m=0,5$ haben.
Schaut man sich das Schaubild von $f‘$ an und so stellt man fest, dass es drei Punkte gibt, die die $y$ -Koordinate $0,5$ besitzen. Die Tangenten an den Graphen von $f$ an die Stellen ( $x$ -Koordinaten) dieser Punkte haben damit die Steigung $m=0,5$ .

(5)

Falsch. Für $x\gt -2$ ist $f$ monoton steigend ( $y$ -Werte von $f‘$ sind im positiven Bereich). Damit gilt umgekehrt $f(0)\gt f(-2)$ .

(1)

Falsch. Für $x\lt 0$ sind die $y$ -Werte des Graphen von $f‘$ negativ, d.h. er verläuft unterhalb der $x$ -Achse. Somit ist der Graph von $f$ für $x\lt 0$ monoton fallend. Für $x\gt 0$ sind die $y$ -Werte des Graphen von $f‘$ positiv. Somit ist der Graph von $f$ für $x\gt 0$ monoton steigend.

(2)

Richtig. $f‘$ hat drei Nullstellen und damit drei Stellen mit der Steigung $m=0$ . Die bedeutet drei waagrechte Tangenten.

(3)

Richtig. Da der Graph von $f‘$ drei Extrempunkte besitzt und Wendestellen Punkte mit extremer Steigung sind, besitzt $f$ mindestens zwei Wendestellen.

(4)

Unentscheidbar. Der Graph von $f‘$ ist zwar für $x\in\left[0;3\right]$ monoton steigend, allerdings sagt diese Information nichts über die tatsächliche Lage des Graphen von $f$ aus. Man kann daher keine Aussage treffen, ob $f(x)\gt 0$ in diesem Intervall größer als $0$ ist.

(5)

Richtig. Bei $x=-3$ berührt der Graph von $f‘$ die $x$ -Achse. Es findet kein Vorzeichenwechsel statt. Die Steigung von $f$ bleibt negativ. Es handelt sich somit um einen Sattelpunkt.

(1)

Falsch. Bei $x=3$ berührt der Graph von $f‘$ die $x$ -Achse. Es findet bei $x=3$ kein Vorzeichenwechsel statt. Es handelt sich also um einen Stattelpunkt.

(2)

Richtig. Für $-2\leq x\leq4$ besitzt $f‘$ genau zwei Extremstellen. Wendestellen sind Punkte mit extremer Steigung.

(3)

Richtig. Schaut man sich den $y$ -Wert des Graphen von $f‘$ an der Stelle $x=0$ (Ursprung) an, so liest man aus dem Schaubild $y=4$ ab. Dies bedeutet, dass die Tangente an $f$ an der Stelle $x=0$ die Steigung $4$ hat. Somit ist die Tangente dort steiler als die Gerade $y=2x+4$ .

(4)

Falsch. An der Stelle $x=-2$ findet ein Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ statt. Somit liegt an der Stelle ein Tiefpunkt vor.

(5)

Richtig. Für $x\gt 1$ steigt der Graph von $f$ monoton ( $y$ -Werte von $f‘$ sind positiv). Somit ist $f(3)\gt f(1)$ .

(1)

Richtig, der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=0$ einen Wendepunkt, da der Graph von $f‘$ einen Extrempunkt an dieser Stelle aufweist.

(2)

Falsch, da an der Stelle $x=0$ bei dem Graphen von $f‘$ ein Tiefpunkt vorliegt, liegt beim Graphen von $f$ an dieser Stelle ein Wendepunkt vor.

(3)

Richtig, in diesem Bereich liegt bei $f$ an jeder Stelle eine negative Steigung vor.

(4)

Richtig, da $f‘$ eine Funktion 2. Grades ist, ist $f$ eine Funktion 3. Grades. Diese besitzt mindestens eine Nullstelle.

(5)

Richtig, für $x\lt -2$ liegt eine positive, für $-2\lt x\lt 0$ eine negative Steigung vor (VZW von $+$ nach $-$ ).

(1)

Falsch, der Graph von $f‘$ besitzt keinen Extrempunkt, also besitzt der Graph von $f$ keinen Wendepunkt.

(2)

Unentscheidbar, $f‘$ lediglich die Steigung von $f$ an, nicht aber die Lage des Graphen von $f$ an.

(3)

Falsch, der Graph von $f$ wäre streng monoton fallend, da immer eine negative Steigung in diesem Intervall vorliegt.

(4)

Richtig, für $x\lt 1$ liegt eine negative, für $x\gt 1$ eine positive Steigung vor (VZW von $-$ nach $+$ ).

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