Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen besitzen ganzrationale Funktionen im Zähler sowie im Nenner, sind also Funktionen der Form:

$f(x) = \dfrac{a_n\cdot x^n + ...}{b_m \cdot x^m +...}$

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Um eine Funktionsgleichung aufzustellen, ist oft folgender Ansatz nützlich, wenn der Graph eine waagerechte Asymptote besitzt:

$f(x)=g(x)+\dfrac{h(x)}{(x-p_1)^m\cdot(x-p_2)^n}$

wobei der Grad von $h$ kleiner als $m+n$ sein muss.

• Bei einfachen Funktionen ist $h(x)=c$ (also eine Zahl).

• $g(x)$ ist die Gleichung der waagerechten / schiefen Asymptote oder Näherungskurve.

• $p_1$ und $p_2$ sind die Polstellen (Nullstellen des Nenners).

Wähle für den Ansatz also $g$ entsprechend der waagerechten Asymptote, die dir in der Aufgabenstellung gegeben ist, $h(x) = c$ , $p_1$ und $p_2$ entsprechend der Polstellen aus der Aufgabenstellung und $m$ , $n$ möglichst klein. Beachte dabei folgendes:

• Ist $p_1$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, dann ist $m$ ungerade.

• Ist $p_1$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, dann ist $m$ gerade.

Gleiches gilt für $p_2$ und $n$ .

Bestimme zum Schluss $c$ durch eine Punktprobe.

Bestimme die Funktionsgleichung und fertige eine Skizze an.

Das Schaubild einer gebrochen-rationalen Funktion hat eine Polstelle ohne VZW (Vorzeichenwechsel) bei $x=-2$ .

Die Gerade $y=2$ ist die waagerechte Asymptote.

Der Punkt $P(-4\mid2,75)$ liegt auf der Kurve.

Das Schaubild einer gebrochen-rationalen Funktion hat eine Polstelle mit VZW (Vorzeichenwechsel) bei $x=1$ .

Die Gerade $y=2x$ ist die schiefe Asymptote.

Der Punkt $P(3\mid6,5)$ liegt auf der Kurve.

Das Schaubild einer gebrochen-rationalen Funktion hat zwei Polstellen: Die eine ohne VZW (Vorzeichenwechsel) bei $x=1$ , die andere mit VZW bei $x=-1$ .

Die Gerade $y=x+1$ ist die waagerechte Asymptote.

Der Punkt $P(3\mid3,875)$ liegt auf der Kurve.

Das Schaubild einer gebrochen-rationalen Funktion hat eine Polstelle ohne VZW (Vorzeichenwechsel) bei $x=-2$ .

Die Gerade $y=3x-1$ ist die waagerechte Asymptote.

Der Punkt $P(0\mid-0,25)$ liegt auf der Kurve.

Gib jeweils einen möglichen Funktionsterm zur abgebildeten Funktion an.

Graph einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit den Achsen x und y.

- Senkrechte Asymptote bei $x=0$

- Waagerechte Asymptote bei $y=1$

- $P\left(-\dfrac{1}{2}\middle| -1\right)$

Graph einer Funktion mit Achsen, der eine Kurve und eine Gerade zeigt.

- Senkrechte Asymptote bei $x=-1$

- Schiefe Asymptote bei $y=x-1$

- $P\left(1\middle| \dfrac{1}{2}\right)$

Grafik eines Funktionsgraphen mit einer Kurve und einer gestrichelten Linie im Koordinatensystem.

- Senkrechte Asymptote bei $x=0$

- Schiefe Asymptote bei $y=x+2$

- $P\left(1\mid 4\right)$

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsen und einer Kurve.

- Senkrechte Asymptote bei $x=0$

- Schiefe Asymptote bei $y=2x$

- $P\left(1\mid 3\right)$

Gib jeweils einen möglichen Funktionsterm zur abgebildeten Funktion an.

Graf einer Funktion im Koordinatensystem mit positiven und negativen Werten.

- Senkrechte Asymptote bei $x=0$

- waagerechte Asymptote bei $y=0$

- $P\left(1\mid 1\right)$

Graph einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

- Senkrechte Asymptote bei $x=0$

- waagerechte Asymptote bei $y=0$

- $P\left(1\mid 1\right)$

Grafik eines mathematischen Koordinatensystems mit einer kurvenförmigen Funktion.

- Senkrechte Asymptote bei $x=-1$

- waagerechte Asymptote bei $y=1$

- $P\left(-2\mid 2\right)$

Grafik eines Koordinatensystems mit einer gekrümmten Funktion. Achsen sind beschriftet.

- Senkrechte Asymptote bei $x=-1$

- waagerechte Asymptote bei $y=0$

- $P\left(-2\mid -1\right)$

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Eine gebrochenrationale Funktionen mit waagrechter / schiefer Asymptote (bzw. Nährungskurve) hat folgenden mögliche Form:

$f(x)$ = $g(x)+\dfrac{h(x)}{(x-p_1)^m\cdot(x-p_2)^n}$ , wobei der Grad von $h$ kleiner als $m+n$ sein muss.

Bei einfachen Funktionen ist

$h(x)=c$

(also eine Zahl).

$g(x)$ ist die Gleichung der waagrechten / schiefen Asymptote oder Nährungskurve.

$p_1$ und $p_2$ sind die Polstellen (Nullstellen des Nenners).

$c$ wird mit Hilfe eines gegeben Punktes bestimmt, indem man diesen einfach in den gemachten Ansatz einsetzt.

$P(-4\mid2,75)$ , $x=-2$ ohne VZW.

$f(x)=g(x)+\dfrac{c}{(x-d_1)^a(x-d_2)^b}$

$y=2$ ( $\rightarrow g(x)$ )

$\rightarrow f(x)=2+\dfrac{c}{(x+2)^2}$

$f(-4)=2,75$ :

$\begin{array}{rll} 2,75=&2+\dfrac{c}{(-4+2)^2}\\ 2,75=&2+\dfrac{c}{(-2)^2} &\quad \scriptsize\mid\,-2 \\ 0,75=&\dfrac{c}{4} &\quad \scriptsize\mid\,\cdot4\\ c=&3 \\ \end{array}$

$\Rightarrow\, f(x)$ = $2+\dfrac{3}{(x+2)^2}$

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit y- und x-Achse.

$P(3\mid6,5)$ , $x=1$ mit VZW.

$f(x)=g(x)+\dfrac{c}{(x-d_1)^a(x-d_2)^b}$

$y=2x$ ( $\rightarrow g(x)$ )

$\rightarrow f(x)=2x+\dfrac{c}{(x-1)^1}$

$f(3)=6,5$ :

$\begin{array}{rll} 6,5=&2\cdot3+\dfrac{c}{(3-1)^1} \\ 6,5=&6+\dfrac{c}{(2)^1} &\quad \scriptsize\mid\, -6 \\ 0,5=&\dfrac{c}{2} &\quad \scriptsize\mid\,\cdot2 \\ c=&1 \end{array}$

$\Rightarrow\,f(x)$ = $2x+\dfrac{1}{(x-1)^1}$

Graf einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

$P(3\mid3,875)$ , $x_1=1$ ohne VZW, $x_2=-1$ mit VZW.

$f(x)=g(x)+\dfrac{c}{(xd_1)^a(x-d_2)^b}$

$y=x+1$ ( $\rightarrow g(x)$ )

$\rightarrow f(x)$ = $x+1+\dfrac{c}{(x-1)^2(x+1)^1}$

$f(3)=3,875$ :

$c=-2$

Vollständige Lösung anzeigen

$\Rightarrow\,f(x)$ = $x+1-\dfrac{2}{(x-1)^2(x+1)^1}$

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit x- und y-Achse.

$P(0\mid-0,25)$ , $x=-2$ ohne VZW.

$f(x)$ = $g(x)+\dfrac{c}{(x-d_1)^a(x-d_2)^b}$

$y$ = $3x-1$ ( $\rightarrow g(x)$ )

$\rightarrow f(x)$ = $3x-1+\dfrac{c}{(x+2)^2}$

$f(0)=-0,25$ :

$\begin{array}{rll} -0,25=&3\cdot0-1+\dfrac{c}{(0+2)^2} \\ -0,25=&-1+\dfrac{c}{(2)^2} \quad \mid\, +1 \\ 0,75=&\dfrac{c}{4} \quad \mid\,\cdot4 \\ c=&3 \end{array}$