Punktprobe Vektoren

Möchtest du testen, ob ein Punkt $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ auf einer gegebenen Geraden $g$ liegt, so kannst du eine Punktprobe durchführen. Dabei setzt du den Ortsvektor des Punktes $P$ mit der Geradengleichung zu $g$ gleich. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem und kannst überprüfen, ob es einen möglichen Parameterwert für $t$ gibt, sodass alle Gleichungen erfüllt werden:

$\overrightarrow{OP}\, \stackrel{!}{=}\, \overrightarrow{u}+ t \cdot \overrightarrow{v}$

Beispiel

Überprüfe, ob der Punkt $P(1 \mid 1 \mid -4)$ auf der Geraden $g: \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\-1\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}$ liegt:
$\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix} \stackrel{!}{=} \begin{pmatrix}3\\3\\-1\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}$

Daraus erhältst du drei Gleichungen, die du nach dem Parameter $t$ auflösen sollst:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&1&=\;...\\ \text{II}\quad&1&=\;...\\ \text{III}\quad&-4&=\;...\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $t=-1$ sind alle drei Gleichungen erfüllt, das heißt, es existiert ein Parameterwert für $t$ und der Punkt $P$ liegt auf der Geraden $g$ .