Umrechnen von Ebenengleichungen

Parameterform in Normalenform

Gegeben:

$E$ : $\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$

Gesucht:

$E$ : $\overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)$ = $0$

Dafür wird benötigt:

Stützvektor $\overrightarrow{p}$ : Verwende den Stützvektor $\overrightarrow{u}$
Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kann durch zwei Methoden ermittelt werden:
- Skalarprodukt: Löse die Gleichungen $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{v}$ = $0$ und $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{w} = 0$
- Kreuzprodukt: Berechne
  $\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}$ .

Parameterform in Koordinatenform

Gegeben:

$E$ : $\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$

Gesucht:

$E$ : $n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3$ = $d$

Dafür wird benötigt:

Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kann durch zwei Methoden ermittelt werden:
- Skalarprodukt: Löse die Gleichungen $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{v}$ = $0$ und $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{w} = 0$
- Kreuzprodukt: Berechne
  $\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}$ .
Parameter $d$ : Setze die Koordinaten eines Punktes aus der Ebene und den Normalenvektor in die neue Ebenengleichung ein und löse nach $d$ auf.

Beispiel

Gegeben: $\quad E$ : $\overrightarrow{x}$ = $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
Anhand des Stützvektors kannst du die Koordinaten eines Punktes $P$ in der Ebene ablesen: $P(1 \mid 0 \mid 0)$ . Mit dem Kreuzprodukt ergibt sich:

$\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}$

Vollständige Lösung anzeigen

Einsetzen in die allgemeine Normalenform liefert das Ergebnis:

$E$ : $\overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)$ = $\begin{pmatrix} 1\\-9\\5 \end{pmatrix} \circ \left( \overrightarrow{x} - \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \right)$

Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform liefert das Ergebnis:

$d$ = $1\cdot 1 -9\cdot 0 +5\cdot 0$ = $1 \quad \Rightarrow$ $E$ : $1\cdot x_1 -9\cdot x_2 +5\cdot x_3 =1$

Normalenform in Parameterform

Gegeben:

$E$ : $\overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)$ = $0$

Gesucht:

$E$ : $\overrightarrow{x}= \overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$

Dafür wird benötigt

Stützvektor $\overrightarrow{u}$ : Verwende die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{p}$ , d.h.: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{p}$
Für die Spannvektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ gibt es zwei Möglichkeiten:
- Finde Vektoren, sodass die Gleichungen $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{v}$ = $0$ und $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{w} = 0$ gelöst werden.
- Bestimme die Koordinaten zweier weiterer Punkte (zusätzlich zum Stützpunkt $P$ ), die auf der Ebene liegen und verwende dann zwei der Verbindungsvektoren dieser drei Punkte als Spannvektoren

Normalenform in Koordinatenform

Gegeben:

$E$ : $\overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)$ = $0$

Gesucht:

$E$ : $n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3$ = $d$

Multipliziere dazu die Gleichung in Normalenform aus und bringe dann den Parameter $d$ auf die richtige Seite der Gleichung.

Beispiel

Gegeben: $\quad E$ : $\pmatrix{ -8\\8\\0} \circ \left( \overrightarrow{x} - \pmatrix{0\\4\\4} \right)$ = $0$

$-8x_1 +8x_2 = 32$

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In Koordinatenform lautet die Ebenengleichung also:

$E: \quad -8x_1 +8x_2 = 32$

Koordinatenform in Parameterform

Gegeben:

$E$ : $n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3$ = $d$

Gesucht:

$E$ : $\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$

Dafür wird benötigt:

Stützvektor $\overrightarrow{u}$ : Bestimme mit Hilfe der Koordinatengleichung die Koordinaten eines Punkts, der in der Ebene liegt.
Spannvektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ : Bestimme mit Hilfe der Koordinatengleichung zwei weitere Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen und wähle zwei der Verbindungsvektoren zwischen den drei Punkten als Spannvektoren.

Beispiel

Gegeben:

$\quad E$ : $\overrightarrow{x}$ = $1 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3$ = $4$ Für Stütz- und Spannvektoren benötigen wir insgesamt drei Punkte, die in der Ebene liegen, zum Beispiel:

$A( 1 \mid 1 \mid 0)\quad$

$B( 0 \mid 0 \mid 2)\quad$

$C( -1 \mid 1 \mid 1)$

Dann können wir die Gleichung in Parameterform folgendermaßen aufstellen:

$E: \overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}$

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Koordinatenform in Normalenform

Gegeben:

$E$ : $n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3$ = $d$

Gesucht:

$E$ : $\overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)$ = $0$

Dafür wird benötigt:

Stützvektor $\overrightarrow{p}$ : Bestimme mit Hilfe der Koordinatengleichung die Koordinaten eines Punkts, der in der Ebene liegt.
Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ : Lies die Koordinaten des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ an der gegebenen Koordinatengleichung ab.

Beispiel

Gegeben: $\quad E$ : $\overrightarrow{x}$ = $1 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 = 4$
Für den Punkt $P$ können wir beispielsweise wählen: $P( 1 \mid 1 \mid 0)$
Den Normalenvektor lesen wir aus der Gleichung in Koordinatenform ab:

$E: \overrightarrow{x}$ = $\color{#87C800}{1} \cdot x_1 + \color{#87C800}{3} \cdot x_2 + \color{#87C800}{2} \cdot x_3$ = $4$ also $\overrightarrow{n}$ = $\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix}$
Dann können wir die Gleichung in Normalenform folgendermaßen aufstellen:

$E: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0$

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Parameterform $\longrightarrow$ Koordinatenform

$E:\;\overrightarrow{x}=$

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$E:\;\overrightarrow{x}=$

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$E:\;\overrightarrow{x}=$

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$E:\;\overrightarrow{x}=$

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Parameterform $\longrightarrow$ Normalenform

Gib die Gleichung der Ebene in Normalenform an.

$E:\;\overrightarrow{x}=$

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$E:\;\overrightarrow{x}=$

Vollständige Lösung anzeigen

Koordinatenform $\longrightarrow$ Parameterform

Gib die Gleichung der Ebene in Parameterform an.

$E:\;x_1+2x_2-x_3=4$

$E:\;2x_1-x_2+x_3=-2$

$E:\;-3x_1+x_2-2x_3=1$

$E:\;x_1-4x_2-2x_3=2$

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Zunächst bestimmt man einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ . Mithilfe von $\overrightarrow{n}$ und einem Punkt stellt man dann eine Koordinatengleichung auf.

$E:\;\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}\right) + s\left(\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}\right) + t\left(\begin{array}{*{20}r} - 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}\right)$

Normalenvektor bestimmen mit dem Kreuzprodukt:

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{n}=&\left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array} \right) &\mathrel{\widehat{=}}&\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \end{array}$

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Beim Normalenvektor kommt es wie auch bei Richtungsvektoren nur auf die Richtung und nicht auf seine Länge an. Wir haben also die Möglichkeit, die Koordinaten des Normalenvektors zu „kürzen“, wie in diesem Fall: damit erhalten wir einen möglichen Normalenvektor, mit dem sich später leichter rechnen lässt.

$E:\;x_1-2x_2+x_3=d$

Ortsvektor $\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$ in $E$ einsetzen:

$1-4+0=d=-3$

$\Rightarrow\;E:\;x_1-2x_2+x_3=-3$

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 4 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 0 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor bestimmen mit dem Kreuzprodukt:

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3-0 \\ 4+3 \\ 0-2 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 7 \\ -2 \\ \end{array}} \right)$

$E:\;3x_1+7x_2-2x_3=d$

Ortsvektor in $E$ einsetzen:

$-3+28-2=d=23$

$\Rightarrow\;E:\;3x_1+7x_2-2x_3=23$

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor bestimmen mit dem Kreuzprodukt:

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0-4 \\ 8-1 \\ 1-0 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} -4 \\ 7 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

$E:\;-4x_1+7x_2+x_3=d$

Ortsvektor in $E$ einsetzen:

$0+14+3=d=17$

$\Rightarrow\;E:\;-4x_1+7x_2+x_3=17$

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor bestimmen mit dem Kreuzprodukt:

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -2-3 \\ 6-2 \\ 1+2 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} -5 \\ 4 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$

$E:\;-5x_1+4x_2+3x_3=d$

Ortsvektor in $E$ einsetzen:

$-5+0-3=d=-8$

$\Rightarrow\;E:\;-5x_1+4x_2+3x_3=-8$

Zuerst bestimmt man einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ , dann die Normalenform der Ebene.

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ -4 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 3} \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor bestimmen mit dem Kreuzprodukt:

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1-0 \\ 6-0 \\ 0-3 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 6 \\ -3 \\ \end{array}} \right)$

$\Rightarrow\;E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ { - 4} \\ \end{array}} \right)} \right] \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 6 \\ { - 3} \\ \end{array}} \right) = 0$

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor bestimmen mit dem Kreuzprodukt:

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -4-2 \\ 4-4 \\ 1+2 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} -6 \\ 0 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$

$\Rightarrow\;E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ { 4} \\ \end{array}} \right)} \right] \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} -6 \\ 0 \\ { 3} \\ \end{array}} \right) = 0$

Bei dieser Aufgabe gibt es verschiedene Lösungen, die davon abhängen, wie man den $x$ -Vektor erstellt.

$E:\;x_1+2x_2-x_3=4$

Nach $x_1$ auflösen:

$x_1=4-2x_2+x_3$

$x$ -Vektor erstellen:

$\begin{array}{rlrrrrr} x_1=&4&+&(-2)x_2&+&x_3 \\[5pt] x_2=&0&+&x_2&+&0x_3 \\[5pt] x_3=&0&+&0x_2&+&x_3 \end{array}$

Nun kann man die Parameterform direkt ablesen:

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Alternativ kann man auch drei Punkte bestimmen und die Parametergleichung wie gewohnt aufstellen.

$E:\;2x_1-x_2+x_3=-2$

Nach $x_3$ auflösen:

$x_3=-2-2x_1+x_2$

$x$ -Vektor erstellen:

$\begin{array}{lrrrrr} x_1=&0&+&x_1&+&0x_2 \\[5pt] x_2=&0&+&0x_1&+&x_2\\[5pt] x_3=&-2&+&(-2)x_1&+&x_2 \end{array}$

Nun kann man die Parameterform direkt ablesen:

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ -2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ -2 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 0} \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Alternativ kann man auch drei Punkte bestimmen und die Parametergleichung wie gewohnt aufstellen.

$E:\;-3x_1+x_2-2x_3=1$

Nach $x_2$ auflösen:

$x_2=1+3x_1+2x_3$

$x$ -Vektor erstellen:

$\begin{array}{llrrrr} x_1=&0&+&x_1&+&0x_3 \\[5pt] x_2=&1&+&3x_1&+&2x_3\\[5pt] x_3=&0&+&0x_1&+&x_3 \end{array}$

Nun kann man die Parameterform direkt ablesen:

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 0} \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Alternativ kann man auch drei Punkte bestimmen und die Parametergleichung wie gewohnt aufstellen.

$E:\;x_1-4x_2-2x_3=2$

Nach $x_1$ auflösen:

$x_1=2+4x_2+2x_3$

$x$ -Vektor erstellen:

$\begin{array}{llrrrr} x_1=&2&+&4x_2&+&2x_3 \\[5pt] x_2=&0&+&x_2&+&0x_3\\[5pt] x_3=&0&+&0x_2&+&x_3 \end{array}$

Nun kann man die Parameterform direkt ablesen:

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Alternativ kann man auch drei Punkte bestimmen und die Parametergleichung wie gewohnt aufstellen.

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