Funktionen mit Parametern

Einführung

Wenn du eine Funktion mit einem Parameter gegeben hast, kannst du die Kurvendiskussion so durchführen, wie wenn du die Funktion ohne Parameter gegeben hättest. Du kannst die Funktion auf folgenden Eigenschaften untersuchen:

Definitionsbereich
Nullstellen
Schnittpunkte mit der $y$ -Achse
Grenzwerte
Extrema
Wendepunkte
Symmetrie

Am einfachsten ist es, wenn du bei den Rechnungen den Parameter wie eine Zahl behandelst.

Beispiel

$f(x) = 2x^2-k$

1. Schritt: Definitionsbereich

Die Funktion hat keine Definitionslücken.

Es gilt: $D_f=\mathbb{R}$

2. Schritt: Nullstellen

$\begin{array}[t]{rll} 2x^2-k&=& 0 &\quad \scriptsize \mid +k\; \\[5pt] 2x^2&=& k &\quad \scriptsize \mid :2\; \\[5pt] x^2&=& \frac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid \sqrt\; \\[5pt] x_{1,2}&=&\pm\sqrt\frac{k}{2} \end{array}$

Beachte, dass die Wurzel für $k\lt 0$ negativ wird. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert. Der Graph der Funktion hat für $k\lt 0$ somit keine Nullstellen.

Für $k\gt 0$ schneidet der Graph der Funktion die $x$ -Achse in den Punkten $N_1\left(-\sqrt\frac{k}{2}\mid0\right)$ und $N_2\left(\sqrt\frac{k}{2}\mid0\right)$ .

3. Schritt: Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2x^2-k\\[5pt] f(0)&=& 2\cdot0-k \\[5pt] f(0)&=& -k \end{array}$

Der Graph der Funktion schneidet die $y$ -Achse im Punkt $P(0\mid-k)$ .

4. Schritt: Grenzwert

Den Grenzwert einer Funktion berechnest du mit dem Limes. Untersuche die Funktion $f$ für $x\to\pm\infty$ .

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)&=& \lim\limits_{x\to\pm\infty}2x^2-k\\[5pt] &=&\infty \end{array}$

5. Schritt: Extrema

Hier kannst du auch so vorgehen, wie wenn du eine Funktion ohne Parameter gegeben hättest.

$f‘(x)= 4x$

Notwendiges Kriterium:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& 0 \\[5pt] 4x&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$

Hinreichendes Kriterium:

$f‘‘(x)=4\gt 0$

Die Funktion hat im Punkt $(0 \mid -k)$ ein Minimum.

6. Schritt: Wendepunkt

Die zweite Ableitung der Funktion lautet: $f‘‘(x)=4$

Somit hat der Graph der Funktion keinen Wendepunkt.

7. Schritt: Symmetrie

Prüfe, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist.

$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& 2\cdot(-x)^2-k \\[5pt] &=& 2x^2-k\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$

Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur $y$ -Achse.