Kettenregel
Die Kettenregel kannst du anwenden, um verkettete Funktionen abzuleiten. Sie kann dir zum Beispiel das Ausmultiplizieren ersparen oder es dir ermöglichen verkettete Funktionen abzuleiten, die nicht umgeformt werden können.
müsstest du ohne die Kettenregel zuerst die Klammern mit Hilfe der binomischen Formeln auflösen. Dies kann dir aber die Kettenregel ersparen.
Wie auch bei der Produktregel, kann es dir hier helfen, zuerst
, 
, 
und 
aufzuschreiben:
| = | |||
| = |
Beispiel
Bei der FunktionWie auch bei der Produktregel, kann es dir hier helfen, zuerst
1.
Bilde die erste Ableitung. (Ganzrationale /Wurzel-Funktionen)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
2.
Bilde die erste Ableitung. (Trigonometrische Funktionen)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
3.
Bilde die erste Ableitung. (
- und 
-Funktionen)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.
Bilde die erste Ableitung der Funktion 
.
a)
b)
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1.
Die Funktionen einmal ableiten
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(1+x)^2 \\[4pt]
f‘(x)=&2\cdot(1+x)\cdot 1 \\[4pt]
=&2+2x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/82ed2bbfca19fe6e11c382481ab58b1931497e012f66202bc08ccac4758f78d0?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(3x+1)^4 \\[4pt]
f‘(x)=&4\cdot(3x+1)^3\cdot 3 \\[4pt]
=&12(3x+1)^3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ac8831faa966b057a21785584cdf2093086e16e65974f4b5596c0d3d132014b3?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(-3x-2)^3 \\[4pt]
f‘(x)=&3\cdot (-3x-2)^2 \cdot (-3)\\[4pt]
=&-9(-3x-2)^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b83d1bc47ca08bf1d6b8c908b94b339e81cfa4892df955f054e9d3894944696e?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&-2(2x^2+2)^2\\[4pt]
f‘(x)=&2\cdot(-2(2x^2+2))\cdot 4x\\[4pt]
=&(-16x)\cdot(2x^2+2)\\[4pt]
=&-32x^3-32x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/04f0e17e2def360c0014ffa80096f45ad6f5b53a9af7d498b437b3a27618915d?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(x^3-1)^{-2} \\[4pt]
f‘(x)=&(-2)\cdot(x^3-1)^{-3}\cdot 3x^2 \\[4pt]
=&-\dfrac{6x^2}{(x^3-1)^3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f5a0a04c3371c0e02afd25eb35651361dfbebc2cb08e580a3dbac98697cd8ba7?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=& \dfrac{1}{2}(3x^2+1)^4 \\[4pt]
f‘(x)=& \dfrac{1}{2}\cdot4 (3x^2+1)^3 \cdot 6x \\[4pt]
=& 12x(3x^2+1)^3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e43b5d2cf39c6fa6b6108478bdab94e131dc7493be5e56cbf723337276697200?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=& (x^2+x)^3 \\[4pt]
f‘(x)=& 3\cdot (x^2+x)^2 \cdot (2x+1) \\[4pt]
=& (6x+3)(x^2+x)^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3670f13a22be005f41b7548b819677fd2ddb0e3e6e866d4b5c565f92d22a1571?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=& \dfrac{2}{x+1} \\[4pt]
=&2\cdot(x+1)^{-1} \\[4pt]
f‘(x)=& 2\cdot(-1)\cdot(x+1)^{-2}\cdot1 \\[4pt]
=& \dfrac{-2}{(x+1)^2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f109dbf18676e7bc33aedebf182855eb28e623263af99ec389fc9bd12cc9e461?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(\sqrt{x}+1)^2 \\[4pt]
=&(x^{\frac{1}{2}}+1)^2 \\[4pt]
f‘(x)=&2\cdot(x^{\frac{1}{2}}+1)\cdot\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \\[4pt]
=&\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/54961e4538160f8a186eb979eb80249f63a0dd7606f62db19af152fdf4a56da4?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
d)
e)
Vollständige Lösung anzeigen
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
2.
Die Funktionen einmal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\sin(2x+1) \\[4pt]
f‘(x)=&\cos(2x+1)\cdot 2\\[4pt]
=&2\cos(2x+1)
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0ff721053c43b6edbc2033cc1dc6e1af6db53ab80808f789b1f15e321f064565?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\sin(x)^2 \\[4pt]
f‘(x)=& 2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x) \\[4pt]
=&2\sin(x)\cos(x)
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8ba36f881097a7e3066057434a6ffac326d0d91adfc5f351eac225e486eba96b?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\cos(x^2) \\[4pt]
f‘(x)=&-\sin(x^2)\cdot 2x\\[4pt]
=&-2x\sin(x^2)
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/90589fc243bb1a78cd52718bff67ce364ebddd40f6ba153cd247d913f26220c6?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\sin(-3x^2)\\[4pt]
f‘(x)=&\cos(-3x^2)\cdot(-6x)\\[4pt]
=&-6x\cos(-3x^2)
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/541a4d7b459c3728d8e7de7f602f55fde0019bbc82eba8fdae3bcfe30f9408a5?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(\cos x+1)^2\\[4pt]
f‘(x)=&2(\cos x+1)\cdot(-\sin x)\\[4pt]
=&-2\sin x(\cos x+1)
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6a42c7049fc9a79f800677bbb5af98a1eaebb3e636e207a4c103fefe1f0dd2fb?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\dfrac{1}{4}\sin(8x^2)\\[4pt]
f‘(x)=&\dfrac{1}{4}\cos (8x^2)\cdot16x\\[4pt]
=&4x\cos (8x^2)
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e89b6cbf66bc840c6b597b8a65a9fc099c1bc81ad3323b03baa1043a5b6a2949?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\dfrac{1}{2}(-\cos(2x^2))\\[4pt]
f‘(x)=&\dfrac{1}{2}\left(\sin(2x^2)\right)\cdot4x\\[4pt]
=&2x\sin(2x^2)\\[4pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/db3b3cb8fd9d8651e988c1c8e82214837667803bc0b8ab37b3ec342bf5765f5e?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
3.
Die Funktionen einmal ableiten
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\mathrm e^{x^2+x} \\[4pt]
f‘(x)=&\mathrm e^{x^2+x}\cdot(2x+1) \\[4pt]
=&(2x+1)\mathrm e^{x^2+x}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c7d99f11736c3ebe1748783adc6e0fa054f0bc660231ee3999a14cdc49dd54c0?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\left(\mathrm{e}^{2x}+3\right)^2 \\[4pt]
f‘(x)=&2\left(\mathrm{e}^{2x}+3\right)\cdot\mathrm{e}^{2x}\cdot2 \\[4pt]
=&4\left(\mathrm{e}^{2x}+3\right)\cdot\mathrm{e}^{2x} \\[4pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/755f5e5da3d5bc94d3204da5e41f0ae0823eaa1bab7daff116754dd82efdac94?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\ln(x^2+x) \\[4pt]
f‘(x)=&\dfrac{1}{x^2+x}\cdot(2x+1) \\[4pt]
=&\dfrac{2x+1}{x^2+x}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c37d22fe926284bc892171f6db72c699f6655f3b7cef1c27067121046c62e459?color=5a5a5a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\ln(\ln(x))\\[4pt]
f‘(x)=&\dfrac{1}{\ln(x)}\cdot\dfrac{1}{x}\\[4pt]
=&\dfrac{1}{x\ln(x)}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8e9bd6acb9bb8577f25938e74376c731a276889a0c77ba470080b5151f7485d8?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.
Die Funktionen einmal ableiten
a)
Um die Ableitung zu bestimmen wird die Kettenregel angewandt.
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\left(1+\sin(x)\right)^2&\\
f‘(x)=&2\left(1+\sin(x)\right)\cdot\cos(x)&\quad
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/cb17aaa6e842477dcf5767bc10786df98961d29ba30333834fa4cc77a5fabc7f?color=5a5a5a)
b)
Zur Bestimmung der Ableitung der Funktion f wird die Kettenregel verwendet:
Zum einen wird die innere Funktion 
und zum anderen die äußere Funktion 
abgeleitet.
