a)

$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Aus dem gegebenen Intervall folgt $a=0$ und $b=4.$ Du hast hierbei die Funktion $f(x)=x^3+2x^2$ gegeben. Somit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\overline{m}=\dfrac{80}{3}$

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b)

$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Es gilt $a=-2$ , $b=2$ und $f(x)=12x^2+x-9$ . Damit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\overline{m}=7$

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c)

$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Du hast die Funktion $f(x)=x^{12}+9x^8$ gegeben. Mit $a=-1$ und $b=1$ folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\overline{m}=\dfrac{14}{13}$

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d)

$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Es gilt $a=-2$ , $b=2$ und $f(x)=12x^3$ . Damit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\overline{m}=0$

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a)

$\blacktriangleright$ Mittelwert angeben

Die Formel für den Mittelwert von einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ lautet:

$\overline{m}=\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$

Mit dem Integral wird somit zuerst der Flächeninhalt der Fläche berechnet, welche die $x$ -Achse und der Graph der gegebenen Funktion einschließen. An dem gegebenen Graphen kann man erkennen, dass die Fläche oberhalb der $x$ -Achse in dem Intervall $[0; \pi]$ genauso groß ist wie die Fläche unterhalb der Achse im Intervall $[\pi; 2\pi].$

Da Flächen unterhalb der $x$ -Achse mit negativem Vorzeichen gezählt werden folgt daraus, dass das Integral über dem Intervall $[0; 2 \pi]$ der dargestellten Funktion gleich Null ist. Somit gilt entsprechend nach der gegebenen Formel $\overline{m}=0.$

b)

$\blacktriangleright$ Mittelwert angeben

Die Formel für den Mittelwert von einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ lautet:

$\overline{m}=\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$

An dem gegebenen Graphen kannst du erkennen, dass die zugehörige Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Somit folgt, dass die Fläche oberhalb der $x$ -Achse in dem Intervall $[0; 1]$ genauso groß ist wie die Fläche unterhalb der Achse im Intervall $[-1; 0].$

Da Flächen unterhalb der $x$ -Achse mit negativem Vorzeichen gezählt werden folgt daraus, dass das Integral über dem Intervall $[-1; 1]$ der dargestellten Funktion gleich Null ist. Somit gilt entsprechend nach der gegebenen Formel $\overline{m}=0.$

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Geschwindigkeit bestimmen

Gesucht ist der durchschnittliche Mittelwert der Funktion $f(x)=-0,009 \cdot x^2 +1,25 \cdot x$ im Intervall $[0; 100].$

Somit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\overline{m}=32,5$

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Die durchschnittliche Geschwindigkeit von Usain Bolt bei seinem Weltrekordlauf betrug somit $32,5\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.$

a)

$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Hierbei gilt $a=1$ , $b=2$ und $f(x)=\dfrac{1}{x}.$ Somit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2-1} \cdot \displaystyle\int_{1}^{2} \left(\dfrac{1}{x} \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ \ln(x) \right]^2_1 \\[5pt] &=& \ln(2) - \ln(1) \\[5pt] &=& \ln(2) \\[5pt] \end{array}$

b)

$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Mit dem angegebenen Intervall folgt $a=-2$ und $b=2$ . Außerdem ist $f(x)=\mathrm{e}^{2x}+\dfrac{1}{2}x^4$ gegeben. Damit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen: