Keplersche Fassregel

Die Keplersche Fassregel, auch Simpsonregel genannt, ist ein Verfahren, mit Hilfe dessen du das Integral über eine Funktion auf dem Intervall $\left[a,b\right]$ näherungsweise bestimmen kannst. Dies kannst du zum Beispiel dann benutzen, wenn du von der Funktion $f$ keine Stammfunktion bilden kannst.

Zur Annäherung des Integrals mit Hilfe der Kepler‘schen Fassregel, benötigst du lediglich die Gleichung der Funktion $f$ , sowie die Funktionswerte der Funktion $f$ an den Stellen $a$ , $b$ und $\dfrac{a+b}{2}$ . Für das Integral über die Funktion $f$ ergibt sich nun:

$\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x$ $\approx$ $\dfrac{b-a}{6}\cdot \left(f(a) \\ + 4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$

Beispiel:

Gesucht sei das Integral über die Funktion $f(x)= e^{-x^2}$ auf dem Intervall $[0,2]$ . Zu $e^{-x^2}$ kannst du keine Stammfunktion angeben, weshalb du zur näherungsweisen Berechnung von $\int_{0}^{2}e^{-x^2}\,\text{d}x$ die Kepler‘sche Fassregel anwenden kannst:

Berechne die Funktionswerte an den Stellen $a$ , $b$ und $\frac{a+b}{2}$

Setze die berechneten Funktionswerte in die Simpsonformel ein und berechne das Ergebnis

1. Schritt:

Das Intervall $\left[a,b\right]$ ist in unserem Beispiel $\left[0,2\right]$ . Folglich musst du nun die Funktionswerte an den Stellen $x=0$ , $x=2$ , und $x=\dfrac{0+2}{2}=1$ berechnen:

$f(0)=e^{-0^2}=1$

$f(2)=e^{-2^2}=e^{-4}$

$f(1)=e^{-1^2}=e^{-1}$

2. Schritt:

Einsetzen in die Simpsonformel liefert dir nun:

$\dfrac{b-a}{6}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$ $=\dfrac{1}{3}\cdot \left(1+4\cdot e^{-1} + e^{-4}\right)$

Somit ist $\dfrac{1}{3}\cdot \left(1+4\cdot e^{-1} + e^{-4}\right)$ eine näherungsweise Darstellung des Integrals $\int_{0}^{2}e^{-x^2}\,\text{d}x$

$f\left(x\right)=-x^2+3$ , $a=-1$ , $b=1$

Die Keplersche Fassregel lautet:

$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\;...$

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Am besten berechnest du zuerst separat $f(a)$ , $f(b)$ und $f(\frac{a+b}{2})$ .

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Damit ergibt sich:

$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{-1}^{1}{f\left(x\right)}dx& &=5,\overline{33} \end{array}$

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$f\left(x\right)=x^3-4x+3$ , $a=-1$ , $b=0$

Die Keplersche Fassregel lautet:

$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\;...$

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Am besten berechnest du zuerst separat $f(a)$ , $f(b)$ und $f(\frac{a+b}{2})$ .

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$f\left(x\right)=4\sin{\left(\dfrac{1}{2}x\right)}$ , $a=2$ , $b=5$

Die Keplersche Fassregel lautet:

$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\;...$

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Am besten berechnest du zuerst separat $f(a)$ , $f(b)$ und $f(\frac{a+b}{2})$ .

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$f\left(x\right)=-3\cos{\left(x\right)}+\pi$ , $a=\dfrac{\pi}{2}$ , $b=\pi$

Die Keplersche Fassregel lautet:

$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\;...$

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$f\left(x\right)=\dfrac{x+4}{x^2}$ , $a=1$ , $b=2$

Die Keplersche Fassregel lautet:

$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=$

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Am besten berechnest du zuerst separat $f(a)$ , $f(b)$ und $f(\frac{a+b}{2})$ .

$\begin{array}{rlllllll} f\left(a\right)&=\dfrac{1+4}{1^2}\\[3pt] &=5 \end{array}$

$\begin{array}{rlllllll} f\left(b\right)&=\dfrac{2+4}{2^2}\\[3pt] &=\dfrac{6}{4}\\[3pt] &=1,5 \end{array}$

$\begin{array}{rlllllll} f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)&=\dfrac{\frac{1+2}{2}+4}{\left(\frac{1+2}{2}\right)^2}\\[5pt] &=\dfrac{1,5+4}{\left(1,5\right)^2}\\[5pt] &=\dfrac{5,5}{2,25}\\[5pt] &=2,\overline{44} \end{array}$

Damit ergibt sich:

$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{1}^{2}{f\left(x\right)}dx&= \end{array}$

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$f\left(x\right)=x+\mathrm e^{x}$ , $a=0$ , $b=2$

Die Keplersche Fassregel lautet:

$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=$

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Am besten berechnest du zuerst separat $f(a)$ , $f(b)$ und $f(\frac{a+b}{2})$ .

$\begin{array}{rlllllll} f\left(a\right)&=0+\mathrm e^0\\[3pt] &=1 \end{array}$

$\begin{array}{rlllllll} f\left(b\right)&=2+\mathrm e^2\\[3pt] & \approx 9,389 \end{array}$

$\begin{array}{rlllllll} f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)&=\dfrac{0+2}{2}+\mathrm e^{\frac{0+2}{2}}\\[5pt] &=1+\mathrm e^1\\[5pt] &\approx 3,718 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{0}^{2}{f\left(x\right)}dx&= \end{array}$

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