Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen sind veränderte $\mathrm e$ -Funktionen:

$f(x)$ = $a\cdot \mathrm e^{b\cdot x +c} +d$

Um eine solche Funktionsgleichung aufzustellen, musst du also $a$ , $b$ , $c$ und $d$ bestimmen.

Dazu benötigst du entsprechend der Anzahl der Unbekannten vier Bedingungen. Mögliche Bedingungen sind beispielsweise:

Koordinaten von Punkten auf dem Graphen: Eingesetzt in die obige allgemeine Funktionsgleichung ergibt sich pro Punkt eine Gleichung

Lage der waagerechten Asymptote: Die waagerechte Asymptote ist gleich dem Parameter $d$ .

Steigungswerte an bestimmten Stellen: Bilde die erste Ableitung der allgemeinen Funktion und setze dort ein.

Insgesamt ergibt sich aus solchen Bedingungen ein Gleichungssystem, welches du nach den dir bekannten Methoden lösen kannst.

$f(x)=a\cdot\mathrm e^{x} + b$

Da die Funktion $y=0$ als waagerechte Asymptote hat gilt: $b=0$

Da die Funktion die $y$ -Achse im Punkt P $P\left(0\mid 2\right)$ schneidet gilt:

\begin{array}[t]{rll} a\cdot\mathrm e^0= & 2 & \quad\scriptsize\mid\; \mathrm e^0=1 \\ a\cdot1= & 2 \\ a= & 2 \end{array}

Daraus folgt: $f(x)=2\cdot\mathrm e^x$

Es handelt sich um eine e-Funktion, welche um den Faktor $2$ gestreckt ist.

$f(x)=a\cdot\mathrm e^{x} + b$

Da die Funktion $y=1$ als waagerechte Asymptote hat gilt: $b=1$

Da die Funktion die $y$ -Achse im Punkt P $P\left(0\mid 1,5\right)$ schneidet gilt:

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot\mathrm e^0 +1= & 1,5 & \quad\scriptsize\mid\; \mathrm e^0=1 \\ a\cdot1= & \dfrac{1}{2} \\ a= & \dfrac{1}{2} \end{array}$

Daraus folgt: $f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm e^x+1$

Es handelt sich um eine e-Funktion, welche um den Faktor $\frac{1}{2}$ gestaucht und um $1$ Einheit nach oben verschoben ist.

Der allgemeine Ansatz der $\mathrm{e}$ -Funktionen ist

$f(x)=a\cdot\mathrm{e}^{kx}$ .

Ihre Ableitung ist

$f‘(x)=k\cdot a\cdot\mathrm{e}^{kx}$ .

Zunächst bestimmen wir $a$ . Aus $f(0)=1$ folgt $a\cdot\mathrm{e}^{k\cdot0}=1$

$\Longrightarrow$ $a=1$ .

Setzt man nun $a=1$ in die zweite Aussage über die Ableitung ein, so erhält man $k$ .

$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} f‘(0)&=&3\\ k\cdot1\cdot\mathrm{e}^{k\cdot0}&=&3& \\ k&=&3& \\ \end{array}$

Damit ist $f(x)=\mathrm{e}^{3x}$ .

Zunächst bestimmen wir $a$ . Aus $f(0)=4$ folgt $a\cdot\mathrm{e}^{k\cdot0}=4$

$\Longrightarrow$ $a=4$ .

Setzt man nun $a=4$ in die zweite Aussage über die Ableitung ein, so erhält man $k$ .

$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} f‘(0)&=8\\ k\cdot4\cdot\mathrm{e}^{k\cdot0}&=&8& \\ 4k&=&8& \scriptsize\mid\;:4 \\ k&=&2& \\ \end{array}$

Damit ist $f(x)=4\cdot\mathrm{e}^{2x}$ .

Zunächst bestimmen wir wieder $a$ . Wir wissen, dass der Anfangsbestand ( $x=0$ ) 100 Bakterien sind. Demnach gilt $f(0)=100$ .

Es folgt $a\cdot\mathrm{e}^{k\cdot0}=100$

$\Longrightarrow$ $a=100$ .

Setzt man nun $a=100$ in die zweite Aussage über die Ableitung ein, so erhält man $k$ .

$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} f‘(0)&=&2\\ k\cdot100\cdot\mathrm{e}^{k\cdot0}&=&2& \\ 100k&=&2 &\scriptsize\mid\;:100 \\ k&=&0,02& \\ \end{array}$

Damit ist $f(x)=100\cdot\mathrm{e}^{0,02x}$ .

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