Spurgerade

Die Spurgeraden einer Ebene $E$ sind die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen. Diese Schnittgeraden entsprechen den Verbindungsgeraden der Spurpunkte.

Für die Schnittgerade $g_{12}$ mit der $x_1x_2$ -Ebene gilt $x_3=0$ .

Für die Schnittgerade $g_{13}$ mit der $x_1x_3$ -Ebene gilt $x_2=0$ .

Für die Schnittgerade $g_{23}$ mit der $x_2x_3$ -Ebene gilt $x_1=0$ .

Grafische Darstellung eines dreidimensionalen Koordinatensystems mit Punkten und Linien.

Beispiel 1

Bestimme die Spurgeraden der Ebene $E$ .

$E: 4x_1 + 2x_2 + 5x_3 =20$

Die Schnittgerade mit der $x_1x_2$ -Ebene berechnest du, indem du $x_3=0$ in die Ebenengleichung einsetzt:

$4x_1 + 2x_2=20$

Setze $x_1 = r$ in die Gleichung ein und löse nach $x_2$ auf, dann kannst du die Geradengleichung in Parameterform aufstellen.

$\begin{array}[t]{rll} 4r + 2x_2&=&20 \quad \scriptsize \mid\; -4r\\[5pt] 2x_2&=&20-4r\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x_2&=&10-2r \end{array}$

Die Spurgerade für die $x_1x_2$ -Ebene lautet:

$g_{12}: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$ .

Die Schnittgerade mit der $x_1x_3$ -Ebene berechnest du, indem du $x_2=0$ in die Ebenengleichung einsetzt:

$4x_1 + 5 x_3=20$

Setze $x_1 = s$ in die Gleichung ein und löse nach $x_3$ auf, dann kannst du die Geradengleichung in Parameterform aufstellen.

$\begin{array}[t]{rll} 4s + 5x_3&=&20 \quad \scriptsize \mid\; -4s\\[5pt] 5x_3&=&20-4s\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] x_3&=&4-\frac{4}{5}s \end{array}$

Die Spurgerade für die $x_1x_3$ -Ebene lautet:

$g_{13}: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\-\frac{4}{5}\end{pmatrix}$ .

Die Schnittgerade mit der $x_2x_3$ -Ebene berechnest du, indem du $x_1=0$ in die Ebenengleichung einsetzt:

$2x_2 + 5 x_3=20$

Setze $x_3 = t$ in die Gleichung ein und löse nach $x_2$ auf, dann kannst du die Geradengleichung in Parameterform aufstellen.

$\begin{array}[t]{rll} 2x_2 +5t&=&20 \quad \scriptsize \mid\; -5t\\[5pt] 2 x_2&=&20-5t\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x_2&=&10-2,5t \end{array}$

Die Spurgerade für die $x_2x_3$ -Ebene lautet:

$g_{23}: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}0\\-2,5\\1\end{pmatrix}$ .

Beispiel 2

Eine Ebene $F$ hat folgende Spurpunkte:

$S_1(-8\mid 0 \mid0)$ , $S_2(0\mid 3 \mid0)$ und $S_3(0\mid 0 \mid 5)$ .

Bestimme die Spurgeraden der Ebene $F$ .

Die Spurgeraden sind gerade die Verbingungsgeraden der Spurpunkte.

Die Spurgerade für die $x_1x_2$ -Ebene lautet:

$\begin{array}[t]{rll} g_{12}: \vec{x}&=& \overrightarrow{OS_1} + r\cdot \overrightarrow{S_1S_2} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-8\\0\\0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0-(-8)\\3-0\\0-0\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-8\\0\\0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}8\\3\\0\end{pmatrix} \end{array}$

Die Spurgerade für die $x_1x_3$ -Ebene lautet:

$\begin{array}[t]{rll} g_{13}: \vec{x}&=& \overrightarrow{OS_1} + r\cdot \overrightarrow{S_1S_3} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-8\\0\\0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0-(-8)\\0-0\\5-0\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-8\\0\\0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}8\\0\\5\end{pmatrix} \end{array}$

Die Spurgerade für die $x_2x_3$ -Ebene lautet:

$\begin{array}[t]{rll} g_{23}: \vec{x}&=& \overrightarrow{OS_2} + r\cdot \overrightarrow{S_2S_3} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0-0\\0-3\\5-0\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\-3\\5\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$