Umrechnen von Ebenengleichungen

Parameterform in Koordinatenform

Gegeben:

$E$ : $\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$

Gesucht:

$E$ : $n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3$ = $d$

Dafür wird benötigt:

Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kann durch zwei Methoden ermittelt werden:
- Skalarprodukt: Löse die Gleichungen $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{v}$ = $0$ und $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{w} = 0$
- Kreuzprodukt: Berechne
  $\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}$ .
Parameter $d$ : Setze die Koordinaten eines Punktes aus der Ebene und den Normalenvektor in die neue Ebenengleichung ein und löse nach $d$ auf.

Beispiel

Gegeben: $\quad E$ : $\overrightarrow{x}$ = $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
Anhand des Stützvektors kannst du die Koordinaten eines Punktes $P$ in der Ebene ablesen: $P(1 \mid 0 \mid 0)$ . Mit dem Kreuzprodukt ergibt sich:

$\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}$

Vollständige Lösung anzeigen

Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform liefert das Ergebnis:

$d$ = $1\cdot 1 -9\cdot 0 +5\cdot 0$ = $1 \quad \Rightarrow$ $E$ : $1\cdot x_1 -9\cdot x_2 +5\cdot x_3 =1$

Koordinatenform in Parameterform

Gegeben:

$E$ : $n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3$ = $d$

Gesucht:

$E$ : $\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$

Dafür wird benötigt:

Stützvektor $\overrightarrow{u}$ : Bestimme mit Hilfe der Koordinatengleichung die Koordinaten eines Punkts, der in der Ebene liegt.
Spannvektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ : Bestimme mit Hilfe der Koordinatengleichung zwei weitere Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen und wähle zwei der Verbindungsvektoren zwischen den drei Punkten als Spannvektoren.

Beispiel

Gegeben:

$\quad E$ : $\overrightarrow{x}$ = $1 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3$ = $4$ Für Stütz- und Spannvektoren benötigen wir insgesamt drei Punkte, die in der Ebene liegen, zum Beispiel:

$A( 1 \mid 1 \mid 0)\quad$

$B( 0 \mid 0 \mid 2)\quad$

$C( -1 \mid 1 \mid 1)$

Dann können wir die Gleichung in Parameterform folgendermaßen aufstellen:

$E: \overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}$

Vollständige Lösung anzeigen

Koordinatenform $\longrightarrow$ Parameterform

Gib die Gleichung der Ebene in Parameterform an.

$E:\;x_1+2x_2-x_3=4$

$E:\;2x_1-x_2+x_3=-2$

$E:\;-3x_1+x_2-2x_3=1$

$E:\;x_1-4x_2-2x_3=2$

Zunächst bestimmt man einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ . Mithilfe von $\overrightarrow{n}$ und einem Punkt stellt man dann eine Koordinatengleichung auf.

$E:\;\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}\right) + s\left(\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}\right) + t\left(\begin{array}{*{20}r} - 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}\right)$

Normalenvektor bestimmen mit dem Kreuzprodukt:

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{n}=&\left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array} \right) &\mathrel{\widehat{=}}&\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Beim Normalenvektor kommt es wie auch bei Richtungsvektoren nur auf die Richtung und nicht auf seine Länge an. Wir haben also die Möglichkeit, die Koordinaten des Normalenvektors zu „kürzen“, wie in diesem Fall: damit erhalten wir einen möglichen Normalenvektor, mit dem sich später leichter rechnen lässt.

$E:\;x_1-2x_2+x_3=d$

Ortsvektor $\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$ in $E$ einsetzen:

$1-4+0=d=-3$

$\Rightarrow\;E:\;x_1-2x_2+x_3=-3$

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 4 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 0 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor bestimmen mit dem Kreuzprodukt:

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3-0 \\ 4+3 \\ 0-2 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 7 \\ -2 \\ \end{array}} \right)$

$E:\;3x_1+7x_2-2x_3=d$

Ortsvektor in $E$ einsetzen:

$-3+28-2=d=23$

$\Rightarrow\;E:\;3x_1+7x_2-2x_3=23$

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor bestimmen mit dem Kreuzprodukt:

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0-4 \\ 8-1 \\ 1-0 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} -4 \\ 7 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

$E:\;-4x_1+7x_2+x_3=d$

Ortsvektor in $E$ einsetzen:

$0+14+3=d=17$

$\Rightarrow\;E:\;-4x_1+7x_2+x_3=17$

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor bestimmen mit dem Kreuzprodukt:

$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -2-3 \\ 6-2 \\ 1+2 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} -5 \\ 4 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$

$E:\;-5x_1+4x_2+3x_3=d$

Ortsvektor in $E$ einsetzen:

$-5+0-3=d=-8$

$\Rightarrow\;E:\;-5x_1+4x_2+3x_3=-8$

Bei dieser Aufgabe gibt es verschiedene Lösungen, die davon abhängen, wie man den $x$ -Vektor erstellt.

$E:\;x_1+2x_2-x_3=4$

Nach $x_1$ auflösen:

$x_1=4-2x_2+x_3$

$x$ -Vektor erstellen:

$\begin{array}{rlrrrrr} x_1=&4&+&(-2)x_2&+&x_3 \\[5pt] x_2=&0&+&x_2&+&0x_3 \\[5pt] x_3=&0&+&0x_2&+&x_3 \end{array}$

Nun kann man die Parameterform direkt ablesen:

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Alternativ kann man auch drei Punkte bestimmen und die Parametergleichung wie gewohnt aufstellen.

$E:\;2x_1-x_2+x_3=-2$

Nach $x_3$ auflösen:

$x_3=-2-2x_1+x_2$

$x$ -Vektor erstellen:

$\begin{array}{lrrrrr} x_1=&0&+&x_1&+&0x_2 \\[5pt] x_2=&0&+&0x_1&+&x_2\\[5pt] x_3=&-2&+&(-2)x_1&+&x_2 \end{array}$

Nun kann man die Parameterform direkt ablesen:

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ -2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ -2 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 0} \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Alternativ kann man auch drei Punkte bestimmen und die Parametergleichung wie gewohnt aufstellen.

$E:\;-3x_1+x_2-2x_3=1$

Nach $x_2$ auflösen:

$x_2=1+3x_1+2x_3$

$x$ -Vektor erstellen:

$\begin{array}{llrrrr} x_1=&0&+&x_1&+&0x_3 \\[5pt] x_2=&1&+&3x_1&+&2x_3\\[5pt] x_3=&0&+&0x_1&+&x_3 \end{array}$

Nun kann man die Parameterform direkt ablesen:

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 0} \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Alternativ kann man auch drei Punkte bestimmen und die Parametergleichung wie gewohnt aufstellen.

$E:\;x_1-4x_2-2x_3=2$

Nach $x_1$ auflösen:

$x_1=2+4x_2+2x_3$

$x$ -Vektor erstellen:

$\begin{array}{llrrrr} x_1=&2&+&4x_2&+&2x_3 \\[5pt] x_2=&0&+&x_2&+&0x_3\\[5pt] x_3=&0&+&0x_2&+&x_3 \end{array}$

Nun kann man die Parameterform direkt ablesen:

$E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Alternativ kann man auch drei Punkte bestimmen und die Parametergleichung wie gewohnt aufstellen.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?