Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 
unter der Bedingung von Ereignis 
nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit und bezeichnet diese mit 
oder 
. Sie bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis eintritt, wenn bereits feststeht, dass Ereignis eintritt. Man kann diese wie folgt berechnen:
Aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten lässt sich die totale Wahrscheinlichkeit für wie folgt berechnen:
: im zweiten Zug wird eine rote Kugel gezogen
: im ersten Zug wird eine schwarze Kugel gezogen
Ereignis ist abhängig von . Wir können nun berechnen, indem wir voraussetzen, dass eingetreten ist. Daher liegen für den zweiten Zug noch 1 schwarze Kugel und 3 rote Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, wenn bereits eine schwarze gezogen wurde, ergibt sich damit zu 
.
Dagegen würde sich die Wahrscheinlichkeit, generell im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen ohne, dass das Ergebnis des ersten Zuges bekannt ist, mit Hilfe der Pfadregeln wie folgt ergeben:
und 
aus:
![\( \begin{array}[t]{rll}
P_A(B)&=& \dfrac{P_B(A)\cdot P(B)}{P(A)} &\quad\\[5pt]
&=&\dfrac{\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} &\quad\\[5pt]
&=&\frac{1}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1c82d1b0013ec18fc20d31848b26646d86e1dfc3994ee17c6ace120479f4d5b2?color=5a5a5a)
Beispiel
Betrachte eine Urne mit 3 roten und 2 schwarzen Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.
Vollständige Lösung anzeigen
Der Satz von Bayes
Der Satz von Bayes drückt den Zusammenhang zwischenBeispiel
Im obigen Beispiel berechnet sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Zug eine schwarze Kugel gezogen wurde, wenn nur bekannt ist, dass im zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird, wie folgt:
1.
Zwei Ereignisse beim Würfeln sind gegeben durch 
und 
.
Berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten und .
Berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten
2.
Studien gibt es ja wie Sand am Meer. Eine Studie beschäftigt sich z.B. mit dem Zusammenhang zwischen den Merkmalen 
(Versuchsperson ist Brillenträger) und I (Versuchsperson hat eine gegenüber dem Bevölkerungsdurchschnitt erhöhte Intelligenz).
Bei 1000 Versuchspersonen ergibt sich diese Tabelle:
Vervollständige die Vierfeldertafel und bestimme die Wahrscheinlichkeiten 
und 
.
| 110 | |||
| 400 | |||
| 200 | 1000 |
3.
Zwei ideale Würfel werden geworfen.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 8 beträgt?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 8 beträgt, wenn du bereits weißt, dass mindestens einer der Würfel eine 4 zeigt?
4.
Von den 16-jährigen Jugendlichen in einer Stadt sind 
Mädchen und 
Jungen. Nach einer Befragung über die Freizeitangebote in der Stadt sagten 
der 16-jährigen Jugendlichen, dass die Freizeitangebote gut sind. Speziell von den 16-jährigen Jungen fanden nur 
die Freizeitangebote gut.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein 16-jähriger Jugendlicher, der die Freizeitangebote gut findet, ein Junge ist.
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1.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Aus , und 
ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:
, 
und 
Damit erhältst du:
und 
2.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen
und
Die Wahrscheinlichkeit für überdurchschnittliche Intelligenz ist in dieser Versuchsreihe in der Gruppe der Nicht-Brillenträger höher.
| 110 | 490 | 600 | |
| 90 | 310 | 400 | |
| 200 | 800 | 1000 |
3.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Sei A das Ereignis „Augensumme 
“ und B das Ereignis „Ein Würfel zeigt eine 4“, dann erhältst du:
Damit gilt:
15 von insgesamt 36 Ausfällen sind günstig.
Die Wahrscheinlichkeit ist damit höher.
a)
b)
4.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Sei 
das Ereignis „Befragter ist ein Junge“ und 
das Ereignis „Befragter findet Freizeitangebot gut“.
Dann ist:
Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
mit 
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 
.