Konfidenzintervalle

Bei Konfidenzintervallen geht es darum die Ergebnisse einer Stichprobe auf Verträglichkeit mit einer vermuteten Verteilung zu überprüfen.

In der Schule sind dabei vor allem Konfidenzintervalle für den Parameter $p$ einer binomialverteilten Zufallsvariable $X$ wichtig.
Dabei wird die relative Häufigkeit $\hat{p} = \frac{X}{n}$ in einer Stichprobe bestimmt und anschließend mit Hilfe der untenstehenden Sigma-Regeln die Grenzen eines Intervalls um $\hat{p}$ bestimmt, in welchem die tatsächliche Wahrscheinlichkeit $p$ mit der Wahrscheinlichkeit $\alpha$ liegt.

$P\approx 0,99$

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Beispiel

Bei einer Wahlumfrage wurden $1.000$ Personen befragt. Dabei gaben $600$ Personen an, Partei A wählen zu wollen. Überprüfe, ob dieses Ergebnis mit einem Wähleranteil von $p = 0,7$ bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $\alpha = 0,95$ verträglich ist.

Hier gilt also: $n = 1.000$ , $X = 600$ und $\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{600}{1.000} = 0,6$ .

Wähle die zu $\alpha$ gehörige Sigma-Regel und setze dort die Darstellungen $\mu = n\cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)}$ ein. Forme dann in der Klammer soweit um, bis du eine Aussage über $p$ erhältst:

$P=$

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Mit Hilfe deines Taschenrechners kannst du nun diese Ungleichung nach $p$ lösen und erhältst: $0,57 \leq p \leq 0,63$ . Da $0,7$ nicht mehr in diesem Konfidenzintervall liegt, ist diese Wahrscheinlichkeit nicht mit den Ergebnissen der Umfrage bei der gegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit verträglich.

Mathematik-Lehrer Müller hat dieses Jahr 12 Klassenarbeiten geschrieben. Er vergibt pro Klassenarbeit $90$ Punkte. Insgesamt hat er einen Durchschnitt von $\overline{x}=56$ Punkten berechnet.
Aus Erfahrung weiß Herr Müller, dass die Punkte bei einer Klassenarbeit normalverteilt sind mit dem Erwartungswert $\mu=50$ Punkte und der Standardabweichung $\sigma=13$ .
Untersuche, ob Herrn Müllers Durchschnitt mit dem Erwartungswert auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ verträglich ist.

Ein Brot hat eine Masse von $2.600\,\text{g}$ . Eine Kontrolle von $20$ Broten ergab einen Erwartungswert von $2.460\,\text{g}$ sowie eine Standardabweichung von $\sigma=50\,\text{g}$ .
Der Bäcker will seine Teigmaschine neu einstellen, wenn das Gewicht des Brotes auf einem Signifikanzniveau von $10\%$ nicht mit dem Erwartungswert von $2.460\,\text{g}$ verträglich ist. Muss er die Teigmaschine neu einstellen?

Die erwartete Lebensdauer einer Beamers (der Beamer-Lampe) beträgt 1.000 Stunden bei einer Standardabweichung von $\sigma=40$ Stunden.
Bei einem Test mit 175 Beamer-Lampen lag die mittlere Lebensdauer bei $994$ Stunden. Die Hypothese, dass der Erwartungswert bei $\mu=1.000$ Stunden liegt, soll nur dann beibehalten werden, wenn der Wert $994$ Stunden auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ mit dem Erwartungswert verträglich ist. Muss man die Hypothese verwerfen und eine andere Lebensdauer der Beamer-Lampen in der Beschreibung angeben?

Die Länge einer Thüringer Bratwurst sei normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu=23,5\,\text{cm}$ und der Standardabweichung von $\sigma=3,5\,\text{cm}$ . Weiterhin sei die Länge aller Thüringer Bratwürste auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ mit diesem Erwartungswert verträglich. Wie viele Thüringer Bratwürste benötigt man mindestens, um eine $50\,\text{m}$ lange Strecke zusammenlegen zu können?

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Verträglichkeit mit Erwartungswert untersuchen

Zunächst ist es wichtig, dass wir es hier mit einer Stichprobe zu tun haben. Für eine beliebige Klassenarbeit gilt der Erwartungswert von $50$ Punkten und die Standardabweichung von $13$ Punkten. Da Herr Müller $12$ Klassenarbeiten geschrieben hat, gilt die Standardabweichung: $\sigma‘=\dfrac{\sigma}{\sqrt{12}}\approx3,75$ .

Nun ist danach gefragt, ob der Durchschnitt der Klassenarbeiten mit dem Erwartungswert auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ verträglich ist, d.h. ob die Wahrscheinlichkeit für den Durchschnitt von $56$ Punkten größer als $5\%$ ist.

Betrachte hierzu die Sigma-Regeln. Besonders eine davon ist in dieser Aufgabe sehr nützlich:

$P\approx0,95$

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Sie sagt aus, dass sich ein Durchschnitt mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\%$ in der $1,96\sigma‘$ -Umgebung um den Erwartungswert befindet. Wenn sich Herr Müllers Durchschnitt von $56$ Punkten also in dieser Umgebung befindet, so ist dieses Ergebnis mit dem Erwartungswert $\mu=50$ Punkten verträglich.

Für die Grenzen der Sigma-Umgebung ergeben sich:

$\begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,96\sigma‘&=\end{array}$
$\begin{array}[t]{rlrl} \mu+1,96\sigma‘&=\end{array}$

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Da $42,65 < 56 < 57,35$ ist, liegt der Wert $56$ in der $1,96\sigma‘$ -Umgebung um den Erwartungswert und ist damit mit diesem Verträglich auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ .

Über Neueinstellung der Teigmaschine entscheiden

Die Teigmaschine wird neu eingestellt, wenn das Gewicht des Brotes auf einem Signifikanzniveau von $10\%$ nicht mit dem Erwartungswert verträglich ist. Sie wird also neu eingestellt, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Brot bei einem Erwartungswert von $2.460$ g und einer Standardabweichung von $50$ g genau $2.600$ g wiegt, kleiner als $10\%$ ist. Betrachte hierzu die Sigma-Regeln: $P(\mu-1,64\sigma< X< \mu+1,64\sigma)\approx0,9$ .

Wenn sich der Wert $2.600$ innerhalb der $1,64\sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert befindet, so ist er mit diesem auf einem Signifikanzniveau von $10\%$ verträglich. Liegt er außerhalb der Umgebung, so ist er es nicht. Berechne also die Grenzen der Umgebung:

$\begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,64\sigma= \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlrl} \mu+1,64\sigma= \end{array}$

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Da der Wert $2.600$ außerhalb der $1,64\sigma$ -Umgebung des Erwartungswerts $2.460$ liegt, ist er mit diesem nicht verträglich und die Teigmaschine muss neu eingestellt werden.

Entscheidungsregel über die Hypothese formulieren

Wenn die Hypothese $\mu=1.000$ Stunden nicht verworfen werden soll, muss die Wahrscheinlichkeit für den Mittelwert $\overline{x}=994$ Stunden größer als $5\%$ sein.
Es ist wichtig, dass unser Wert von $994$ Stunden aus einer Stichprobe stammt. Bei 175 Lampen gilt damit für die Standardabweichung:

$\sigma‘=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{40}{\sqrt{175}}\approx3,02$

Betrachte nun die Sigma-Regeln: $P\left(\mu-1,96\sigma‘\mu+1,96\sigma‘\right)\approx0,95$ .
Unser Mittelwert $994$ Stunden ist also mit dem Erwartungswert auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ verträglich, wenn er innerhalb dieser Umgebung liegt. Berechne hierzu die Grenzen der Umgebung:

$\begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,96\sigma= \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlrl} \mu+1,96\sigma= \end{array}$

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Da der Wert $\overline{x}=994$ Stunden nicht innerhalb des Intervalls liegt, ist er nicht mit dem Erwartungswert verträglich und die Hypothese $\mu=1000$ Stunden muss verworfen werden.

Mindestanzahl der Bratwürste bestimmen

In der Aufgabenstellung wird angenommen, dass die Länge der Thüringer Bratwürste auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ mit dem Erwartungswert von $23,5$ cm verträglich sind.
Es gilt nun, ein Intervall zu bestimmen, in welchem sich mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\%$ die Längen der Thüringer Bratwürste befinden. Betrachte hierzu die Sigma-Regeln:
$P(\mu-1,96\sigma< X< \mu+1,96\sigma)\approx0,95$ .
Berechne zunächst die Grenzen dieser $1,96\sigma$ -Umgebung:

$\begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,96\sigma= \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlrl} \mu+1,96\sigma= \end{array}$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\%$ liegt die Länge einer Thüringer Bratwurst also zwischen $16,64$ cm und $30,36$ cm.
Insgesamt soll eine Strecke von $50$ m, d.h. $5.000$ cm zurückgelegt werden.
Da nur von einer Mindestanzahl der Bratwürste die Rede ist, gehst du von der oberen Grenze der $1,96\sigma$ -Umgebung aus:

$164,69=n$

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Es werden mindestens $165$ Bratwürste benötigt, um eine Strecke von $50$ m zurückzulegen. Auch diese Aussage ist auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ gesichert.

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