Konfidenzintervalle

Bei Konfidenzintervallen geht es darum die Ergebnisse einer Stichprobe auf Verträglichkeit mit einer vermuteten Verteilung zu überprüfen.
In der Schule sind dabei vor allem Konfidenzintervalle für den Parameter \(p\) einer binomialverteilten Zufallsvariable \(X\) wichtig.
Dabei wird die relative Häufigkeit \(\hat{p} = \frac{X}{n}\) in einer Stichprobe bestimmt und anschließend mit Hilfe der untenstehenden Sigma-Regeln die Grenzen eines Intervalls um \(\hat{p}\) bestimmt, in welchem die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p\) mit der Wahrscheinlichkeit \(\alpha\) liegt.

Beispiel

Bei einer Wahlumfrage wurden \(1.000\) Personen befragt. Dabei gaben \( 600\) Personen an, Partei A wählen zu wollen. Überprüfe, ob dieses Ergebnis mit einem Wähleranteil von \(p = 0,7\) bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit \(\alpha = 0,95\) verträglich ist.
Hier gilt also: \(n = 1.000\), \(X = 600\) und \(\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{600}{1.000} = 0,6\).
Wähle die zu \(\alpha\) gehörige Sigma-Regel und setze dort die Darstellungen \(\mu = n\cdot p \) und \(\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)}\) ein. Forme dann in der Klammer soweit um, bis du eine Aussage über \(p\) erhältst:
Mit Hilfe deines Taschenrechners kannst du nun diese Ungleichung nach \(p\) lösen und erhältst: \(0,57 \leq p \leq 0,63\). Da \(0,7\) nicht mehr in diesem Konfidenzintervall liegt, ist diese Wahrscheinlichkeit nicht mit den Ergebnissen der Umfrage bei der gegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit verträglich.