Konfidenzintervalle
Bei Konfidenzintervallen geht es darum die Ergebnisse einer Stichprobe auf Verträglichkeit mit einer vermuteten Verteilung zu überprüfen.
In der Schule sind dabei vor allem Konfidenzintervalle für den Parameter
einer binomialverteilten Zufallsvariable
wichtig.
Dabei wird die relative Häufigkeit
in einer Stichprobe bestimmt und anschließend mit Hilfe der untenstehenden Sigma-Regeln die Grenzen eines Intervalls um
bestimmt, in welchem die tatsächliche Wahrscheinlichkeit
mit der Wahrscheinlichkeit
liegt.
Personen befragt. Dabei gaben
Personen an, Partei A wählen zu wollen. Überprüfe, ob dieses Ergebnis mit einem Wähleranteil von
bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit
verträglich ist.
Hier gilt also:
,
und
.
Wähle die zu
gehörige Sigma-Regel und setze dort die Darstellungen
und
ein. Forme dann in der Klammer soweit um, bis du eine Aussage über
erhältst:
Mit Hilfe deines Taschenrechners kannst du nun diese Ungleichung nach
lösen und erhältst:
. Da
nicht mehr in diesem Konfidenzintervall liegt, ist diese Wahrscheinlichkeit nicht mit den Ergebnissen der Umfrage bei der gegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit verträglich.
Dabei wird die relative Häufigkeit
Beispiel
Bei einer Wahlumfrage wurden
1.
Mathematik-Lehrer Müller hat dieses Jahr 12 Klassenarbeiten geschrieben. Er vergibt pro Klassenarbeit
Punkte. Insgesamt hat er einen Durchschnitt von
Punkten berechnet.
Aus Erfahrung weiß Herr Müller, dass die Punkte bei einer Klassenarbeit normalverteilt sind mit dem Erwartungswert
Punkte und der Standardabweichung
.
Untersuche, ob Herrn Müllers Durchschnitt mit dem Erwartungswert auf einem Signifikanzniveau von
verträglich ist.
Aus Erfahrung weiß Herr Müller, dass die Punkte bei einer Klassenarbeit normalverteilt sind mit dem Erwartungswert
Untersuche, ob Herrn Müllers Durchschnitt mit dem Erwartungswert auf einem Signifikanzniveau von
2.
Ein Brot hat eine Masse von
. Eine Kontrolle von
Broten ergab einen Erwartungswert von
sowie eine Standardabweichung von
.
Der Bäcker will seine Teigmaschine neu einstellen, wenn das Gewicht des Brotes auf einem Signifikanzniveau von
nicht mit dem Erwartungswert von
verträglich ist. Muss er die Teigmaschine neu einstellen?
Der Bäcker will seine Teigmaschine neu einstellen, wenn das Gewicht des Brotes auf einem Signifikanzniveau von
3.
Die erwartete Lebensdauer einer Beamers (der Beamer-Lampe) beträgt 1.000 Stunden bei einer Standardabweichung von
Stunden.
Bei einem Test mit 175 Beamer-Lampen lag die mittlere Lebensdauer bei
Stunden. Die Hypothese, dass der Erwartungswert bei
Stunden liegt, soll nur dann beibehalten werden, wenn der Wert
Stunden auf einem Signifikanzniveau von
mit dem Erwartungswert verträglich ist. Muss man die Hypothese verwerfen und eine andere Lebensdauer der Beamer-Lampen in der Beschreibung angeben?
Bei einem Test mit 175 Beamer-Lampen lag die mittlere Lebensdauer bei
4.
Die Länge einer Thüringer Bratwurst sei normalverteilt mit dem Erwartungswert
und der Standardabweichung von
. Weiterhin sei die Länge aller Thüringer Bratwürste auf einem Signifikanzniveau von
mit diesem Erwartungswert verträglich. Wie viele Thüringer Bratwürste benötigt man mindestens, um eine
lange Strecke zusammenlegen zu können?
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1.
Verträglichkeit mit Erwartungswert untersuchen
Zunächst ist es wichtig, dass wir es hier mit einer Stichprobe zu tun haben. Für eine beliebige Klassenarbeit gilt der Erwartungswert von
Punkten und die Standardabweichung von
Punkten. Da Herr Müller
Klassenarbeiten geschrieben hat, gilt die Standardabweichung:
.
Nun ist danach gefragt, ob der Durchschnitt der Klassenarbeiten mit dem Erwartungswert auf einem Signifikanzniveau von
verträglich ist, d.h. ob die Wahrscheinlichkeit für den Durchschnitt von
Punkten größer als
ist.
Betrachte hierzu die Sigma-Regeln. Besonders eine davon ist in dieser Aufgabe sehr nützlich:
Sie sagt aus, dass sich ein Durchschnitt mit einer Wahrscheinlichkeit von
in der
-Umgebung um den Erwartungswert befindet. Wenn sich Herr Müllers Durchschnitt von
Punkten also in dieser Umgebung befindet, so ist dieses Ergebnis mit dem Erwartungswert
Punkten verträglich.
Für die Grenzen der Sigma-Umgebung ergeben sich:
Da
ist, liegt der Wert
in der
-Umgebung um den Erwartungswert und ist damit mit diesem Verträglich auf einem Signifikanzniveau von
.
Da
2.
Über Neueinstellung der Teigmaschine entscheiden
Die Teigmaschine wird neu eingestellt, wenn das Gewicht des Brotes auf einem Signifikanzniveau von
nicht mit dem Erwartungswert verträglich ist. Sie wird also neu eingestellt, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Brot bei einem Erwartungswert von
g und einer Standardabweichung von
g genau
g wiegt, kleiner als
ist. Betrachte hierzu die Sigma-Regeln:
.
Wenn sich der Wert
innerhalb der
-Umgebung um den Erwartungswert befindet, so ist er mit diesem auf einem Signifikanzniveau von
verträglich. Liegt er außerhalb der Umgebung, so ist er es nicht. Berechne also die Grenzen der Umgebung:
Da der Wert
außerhalb der
-Umgebung des Erwartungswerts
liegt, ist er mit diesem nicht verträglich und die Teigmaschine muss neu eingestellt werden.
3.
Entscheidungsregel über die Hypothese formulieren
Wenn die Hypothese
Stunden nicht verworfen werden soll, muss die Wahrscheinlichkeit für den Mittelwert
Stunden größer als
sein.
Es ist wichtig, dass unser Wert von
Stunden aus einer Stichprobe stammt. Bei 175 Lampen gilt damit für die Standardabweichung:
Betrachte nun die Sigma-Regeln:
.
Unser Mittelwert
Stunden ist also mit dem Erwartungswert auf einem Signifikanzniveau von
verträglich, wenn er innerhalb dieser Umgebung liegt. Berechne hierzu die Grenzen der Umgebung:
Da der Wert
Stunden nicht innerhalb des Intervalls liegt, ist er nicht mit dem Erwartungswert verträglich und die Hypothese
Stunden muss verworfen werden.
Es ist wichtig, dass unser Wert von
Unser Mittelwert
Da der Wert
4.
Mindestanzahl der Bratwürste bestimmen
In der Aufgabenstellung wird angenommen, dass die Länge der Thüringer Bratwürste auf einem Signifikanzniveau von
mit dem Erwartungswert von
cm verträglich sind.
Es gilt nun, ein Intervall zu bestimmen, in welchem sich mit einer Wahrscheinlichkeit von
die Längen der Thüringer Bratwürste befinden. Betrachte hierzu die Sigma-Regeln:
.
Berechne zunächst die Grenzen dieser
-Umgebung:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von
liegt die Länge einer Thüringer Bratwurst also zwischen
cm und
cm.
Insgesamt soll eine Strecke von
m, d.h.
cm zurückgelegt werden.
Da nur von einer Mindestanzahl der Bratwürste die Rede ist, gehst du von der oberen Grenze der
-Umgebung aus:
Es werden mindestens
Bratwürste benötigt, um eine Strecke von
m zurückzulegen. Auch diese Aussage ist auf einem Signifikanzniveau von
gesichert.
Es gilt nun, ein Intervall zu bestimmen, in welchem sich mit einer Wahrscheinlichkeit von
Berechne zunächst die Grenzen dieser
Insgesamt soll eine Strecke von
Da nur von einer Mindestanzahl der Bratwürste die Rede ist, gehst du von der oberen Grenze der