Zweiseitiger Test

Bei zweiseitigen Hypothesentests geht es, wie bei den einseitigen Tests darum aufgrund einer Stichprobe zu entscheiden, ob eine vermutete Wahrscheinlichkeit statistisch gesehen angenommen werden kann. Hierbei haben die Hypothesen allerdings folgende Form:

Nullhypothese: $H_0:$ $p = p_1$ und Alternative: $H_1:$ $p \neq p_1$

Das Vorgehen ist hier dasselbe. Lediglich der Ablehnungsbereich ist verschieden:

$\overline{A}$ = $\{0,...,k_1-1,k_2+1,...,n\}$ und $A$ = $\{k_1,...,k_2\}$

Auch hier gibt das Signifikanzniveau $\alpha$ die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Daher ist hier folgende Gleichung erfüllt: $P(X \leq k_1-1)+ P(X\geq k_2+1) \approx \alpha$ wobei $k_1$ und $k_2$ gleich weit vom Erwartungswert $\mu$ entfernt sind. Daher kannst du $k_1$ und $k_2$ mit HIlfe der beiden folgenden Gleichungen, wie beim einseitigen Test bestimmen:

$P(X \leq k_1-1) \approx \dfrac{\alpha}{2}$ und $P(X\geq k_2+1) \approx \dfrac{\alpha}{2}$

Beispiel

Vorgegeben sind: $H_0: p = 0,5$ , $\alpha = 5\,\%$ und der Stichprobenumfang $n = 20$ , wobei die betrachtete Größe als binomialverteilt angenommen werden soll.

Anhand der Hypothese $H_0$ kannst du erkennen, dass hier ein zweiseitiger Test durchgeführt wird. Wir suchen also nun den Ablehnungsbereich $\overline{A} = \{0,...,k_1,k_2,...,20\}$ . Es sollen also folgende Gleichungen erfüllt sein:

$P(X \leq k_1-1) \approx \dfrac{0,05}{2}$ und $P(X\geq k_2+1) \approx \dfrac{0,05}{2}$ $\Leftrightarrow P(X \leq k_2) \approx 0,975$

Mit Hilfe der Tabelle für die kummulierte Binomialverteilung erhalten wir nun: $P(X \leq 5 ) \approx 0,0207$ $\Rightarrow k_1 = 6$ und $P(X\leq 14) \approx 0,9793 \Rightarrow k_2 = 14$

Sind in der Stichprobe mehr als 14 oder weniger als 6 Treffer enthalten, so kann die Hypothese $H_0: p = 0,5$ auf dem Signifikanzniveau $5\,\%$ verworfen werden. Bei mindestens 6 und höchstens 14 Treffern kann diese Hypothese angenommen werden.

Für $H_0:$ $p=\dfrac{1}{2}$ und $n=100$ wird der Annahmebereich $A=\left\{46,47,...53,54\right\}$ festgelegt. Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.

Für $H_0:$ $p=0,2$ und $n=50$ wird der Annahmebereich $A=\left\{7,8,...14,15\right\}$ festgelegt. Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.

Bestimme für $H_0:$ $p=0,3$ und $n=100$ den Annahme- und Ablehnungsbereich, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) $\alpha$

höchstens $5\%$
höchstens $2\%$
höchstens $1\%$

betragen soll.

Bestimme bei einem Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit) von $\alpha=10\%$ mit $n=100$ den Ablehnungsbereich zur Nullhypothese $H_0$ mit $p=0,3$ .

für einen linksseitigen Test

für einen rechtsseitigen Test

für einen zweiseitigen Test

Ein Würfel wird 50mal gewürfelt. Dabei tritt 15 mal eine „Eins“ auf. Kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\%$ darauf schließen, dass der Würfel nicht ideal ist?

$70\%$ der Jugendlichen unter 14 wissen, dass Leonardo Da Vinci die Mona Lisa gemalt hat. Dieser Wert soll nun durch eine neue Umfrage von 100 Jugendlichen unter 14 bestätigt werden. Die $70\%$ sollen nach der Umfrage immer noch gelten, wenn mehr als 63 und weniger als 77 Jugendliche den Maler von Mona Lisa nennen konnten.

Wie groß ist unter diesen Bedingungen die Wahrscheinlichkeit, dass man fälschlicherweise von einer Veränderung der $70\%$ ausgeht?

Wie muss $\overline{A}$ gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens $5\%$ beträgt?

Mitarbeiter in einer großen Firma mit mehreren Zweigniederlassungen werden über das Essen in den betriebsinternen Kantinen befragt. $80\%$ der gesamten Mitarbeiter waren mit dem Essen zufrieden. In einer Zweigniederlassung wurden nun nochmals $100$ Mitarbeiter zum Essen in der betriebsinternen Kantine auf Zufriedenheit befragt. Es soll überprüft werden, ob in dieser Kantine die Zufriedenheit mit dem Firmendurchschnitt übereinstimmt. Bestimme den Annahmebereich mit einem Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit) von $\alpha=5\%$ .

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Fehlerwahrscheinlichkeit bestimmen

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis aus dem Ablehnungsbereich eintritt.
Der Ablehnungsbereich ist $\overline{A}$ = $\left\{1,2,...,44,45\right\}\cup\left\{55,56,...,100\right\}$ .
Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&P(X\leq45)+P(X\geq55\\ =&P(X\leq45)+(1-P(X\leq54))\\ =&P(X\leq45)-P(X\leq54)+1 \end{array}$

Aus der Tabelle für $n=100$ und $p=\frac{1}{2}$ entnimmt man:

$P(X\leq45)$ = $0,1841$ und $P(X\leq54)$ = $0,8159$ .

Die gesamte Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt also:

$0,1841-0,8159+1$ = $0,3682$ = $36,82\%$

Fehlerwahrscheinlichkeit bestimmen

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis aus dem Ablehnungsbereich eintritt, d.h. $P(\overline{A})$ .
Der Ablehnungsbereich ist

$\overline{A}=\left\{0,1,...,6\right\}\cup\left\{16,17,...,50\right\}$ .
Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})=&P\left(X\leq6\right)+P\left(X\geq16\right)\\[5pt] \end{array}$