Punkt - Gerade

Mit dem Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Gerade $g$ ist der kürzeste Abstand gemeint. Es gibt zwei mögliche Vorgehensweisen, um diesen kürzesten Abstand zu bestimmen.

Vorgehen - mit Hilfsebene

Stelle eine Hilfsebene in Normalenform auf, die senkrecht auf der Geraden $g$ steht und den Punkt $P$ enthält. Der Richtungsvektor von $g$ stellt somit einen Normalenvektor der Ebene dar, der Stützpunkt der Ebene ist $P$ .

Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um.

Berechne den Schnittpunkt $S$ der Gerade und der Hilfsebene.

Berechne den Abstand zwischen dem Schnittpunkt $S(s_1\mid s_2 \mid s_3)$ und dem Punkt $P(p_1\mid p_2 \mid p_3)$ .

$d =$ $\scriptsize{\sqrt{(s_1-p_1)^2 + (s_2-p_2)^2 + (s_3-p_3)^2}}$

Alternatives Vorgehen

Bestimme die allgemeinen Koordinaten der Punkte $G$ , die auf der Geraden liegen.

Berechne den Parameter, sodass der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Verbindungsvektor $\overrightarrow{PG}$ verläuft.

Bestimme die Koordinaten des Punktes $Q$ mit dem geringsten Abstand zum Punkt $P$ .

Berechne den Abstand zwischen $Q$ und $P$ .

$P(1\mid 2\mid 6)$ ; $\quad g:\,\overrightarrow{x}$ $= \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 1\\ \end{array}} \right)$

Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$

$F(1+2s\mid 2+s\mid s)$

$\overrightarrow{PF}$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1+2s \\ 2+s \\ s\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 6 \\ \end{array}} \right)$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2s \\ s \\ s-6\\ \end{array}} \right)$

Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$ :

$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$ $=0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} 2s \\ s \\ s-6\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 1\\ \end{array}} \right)=0$

$4s+s+s-6$ = $0 \Leftrightarrow 6s$ = $6 \Leftrightarrow s=1$

$s$ in $\overrightarrow{PF}$ : $\quad$ $\overrightarrow{PF}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ -5\\ \end{array}} \right)$

$d$ $=\sqrt{30}$

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$P(1\mid 0\mid 3)$ ; $\quad g:\,\overrightarrow{x}$ $= \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 0\\ \end{array}} \right)$

Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$

$F(2+s\mid 1+s\mid 4)$

$\overrightarrow{PF}$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2+s \\ 1+s \\ 4\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$ $= \left( {\begin{array}{*{20}r} 1+s \\ 1+s \\ 1\\ \end{array}} \right)$

Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$ :

$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$ $=0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} 1+s \\ 1+s \\ 1\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 0\\ \end{array}} \right)=0$

$1+s+1+1s$ = $0 \Leftrightarrow 2s$ = $-2 \Leftrightarrow s$ = $-1$

$s$ in $\overrightarrow{PF}$ : $\quad$ $\overrightarrow{PF}$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ 1\\ \end{array}} \right)$

$d=\left|\overrightarrow{PF}\right|$ $=\left|\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ 1\\ \end{array}} \right)\right|$ $=\sqrt{1^2}=1$

$P(0\mid 2\mid 2)$ ; $\quad g:\,\overrightarrow{x}$ $= \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$

$F(2+s\mid 0\mid 4+s)$

$\overrightarrow{PF}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 2+s \\ 0 \\ 4+s\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2+s \\ -2 \\ 2+s \\ \end{array}} \right)$

Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$ :

$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$ $=0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} 2+s \\ -2 \\ 2+s\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1\\ \end{array}} \right)=$ $0$

$2+s+2+s=0 \Leftrightarrow 2s$ = $-4 \Leftrightarrow s$ $=-2$

$s$ in $\overrightarrow{PF}$ : $\quad$ $\overrightarrow{PF}$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$

$d=2$

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$P(1\mid 2\mid 0)$ ; $\quad g:\,\overrightarrow{x}$ $= \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 3 \\ 10 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$

$F(1+3s\mid 3\mid 10+s)$

$\overrightarrow{PF}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 1+3s \\ 3 \\ 10+s\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 3s \\ 1 \\ 10+s \\ \end{array}} \right)$

Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$ :

$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$ $=0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} 3s \\ 1 \\ 10+s\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 0 \\ 1\\ \end{array}} \right)=0$

$9s+10+s$ = $0 \Leftrightarrow 10s$ = $-10 \Leftrightarrow s$ = $-1$

$s$ in $\overrightarrow{PF}$ : $\quad$ $\overrightarrow{PF}$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} -3 \\ 1 \\ 9 \\ \end{array}} \right)$

$d$ $=\sqrt{91}$

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$P(1\mid 2\mid 8)$ ; $\quad g:\,\overrightarrow{x}$ $= \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$

Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$

$F(1-s\mid 4+s\mid 0)$

$\overrightarrow{PF}$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1-s \\ 4+s \\ 0 \\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 8 \\ \end{array}} \right)$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} -s \\ 2+s \\ -8 \\ \end{array}} \right)$

Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$ :

$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$ = $0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} -s \\ 2+s \\ -8\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1\\ 0\\ \end{array}} \right)$ = $0$

$s+2+s$ = $0 \Leftrightarrow 2s$ $=-2 \Leftrightarrow s$ = $-1$

$s$ in $\overrightarrow{PF}$ : $\quad$ $\overrightarrow{PF}$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ -8 \\ \end{array}} \right)$

$d$ $=\sqrt{66}$

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$P(1\mid 2\mid 2)$ ; $\quad g:\,\overrightarrow{x}$ $= \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ -4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ -1 \\ \end{array}} \right)$

Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$

$F(1+s\mid 2-2s\mid -4-s)$

$\overrightarrow{PF}$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1+s \\ 2-2s \\ -4-s\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} s \\ -2s \\ -6-s \\ \end{array}} \right)$

Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$ :

$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$ $=0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} s \\ -2s \\ -6-s\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ -1\\ \end{array}} \right)=0$

$s+4s+6+s=0$

$\Leftrightarrow 6s=-6 \Leftrightarrow s=-1$

$s$ in $\overrightarrow{PF}$ : $\quad$ $\overrightarrow{PF}$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 2 \\ -5 \\ \end{array}} \right)$

$d$ $=\sqrt{30}$

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$P(2\mid 0\mid 3)$ ; $\quad g:\,\overrightarrow{x}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$

$F(1+s\mid -2s\mid 1+s)$

$\overrightarrow{PF}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 1+s \\ -2s \\ 1+s\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} s-1 \\ -2s \\ s-2 \\ \end{array}} \right)$

Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$ :

$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$ = $0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} s-1 \\ -2s \\ s-2\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1\\ \end{array}} \right)=0$

$s-1+4s+s-2$ = $0 \Leftrightarrow 6s$ = $3 \Leftrightarrow s$ $=\dfrac{1}{2}$

$s$ in $\overrightarrow{PF}$ : $\quad$ $\overrightarrow{PF}$ $=\left( {\begin{array}{*{20}r} -\frac{1}{2} \\ -1 \\ -\frac{3}{2} \\ \end{array}} \right)$

$d$ $=\sqrt{ \frac{7}{2}}$

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Gleichung der Geraden aufstellen

$g:\overrightarrow{x}$ $=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}$ $=\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ -3\\ \end{array}\right)$

Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ kann beschrieben werden als $Q_g\left(-1+4r\mid 1\mid 4-3r\right)$ .

Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist der Verbindungsvektor von $P$ und $Q$ . Da wir den Abstand bestimmen wollen, muss $\overrightarrow{PQ}$ senkrecht auf dem Richtungsvektor von $\overrightarrow{g}$ stehen.

$\overrightarrow{PQ}$ = $\left(\begin{array}{r} -1+4r-2\\ 1-2\\ 4-3r-1\\ \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{r} -3+4r\\ -1\\ 3-3r\\ \end{array}\right)$

Wir berechnen das Skalarprodukt des Richtungsvektors und $\overrightarrow{PQ}$ . Dieses muss Null ergeben.

$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} -3+4r\\ -1\\ 3-3r\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ -3\\ \end{array}\right) \\[5pt] \end{array}$

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Wenn wir $r$ in den Vektor $\overrightarrow{PQ}$ einsetzen, erhalten wir die genauen Koordinaten des Vektors und können seine Länge bestimmen. Diese Länge ist der Abstand von $P$ zur Geraden $g$ .

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} 0,36\\ -1\\ 0,48\\ \end{array}\right)\right|$ = $\sqrt{0,36^2+(-1)^2+0,48^2}\approx1,166$

Der Abstand von $P$ zur Geraden durch $A$ und $B$ ist $\approx1,166$ LE.

Gleichung der Geraden aufstellen

$g:\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}$ = $\left(\begin{array}{r} -8\\ 14\\ 1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 12\\ -16\\ 0\\ \end{array}\right)$

Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ kann beschrieben werden als $Q_g\left(-8+12r\mid 14-16r\mid 1\right)$ .

$\overrightarrow{PQ}$ = $\left(\begin{array}{r} -8+12r-2\\ 14-16r-4\\ 1-1\\ \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{r} -10+12r\\ 10-16r\\ 0\\ \end{array}\right)$

Wir berechnen das Skalarprodukt des Richtungsvektors und $\overrightarrow{PQ}$ . Dieses muss Null ergeben.

$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} -10+12r\\ 10-16r\\ 0\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 12\\ -16\\ 0\\ \end{array}\right) \\[5pt] \end{array}$

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$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} -1,6\\ -1,2\\ 0\\ \end{array}\right)\right|$ = $\sqrt{(-1,6)^2+(-1,2)^2}=2$

Der Abstand von $P$ zur Geraden durch $A$ und $B$ ist $2$ LE.

Gleichung der Geraden aufstellen

$g:\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}$ = $\left(\begin{array}{r} 0\\ 5\\ 7\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ -6\\ -6\\ \end{array}\right)$

Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ kann beschrieben werden als $Q_g\left(3r\mid 5-6r\mid 7-6r\right)$ .

$\overrightarrow{PQ}$ = $\left(\begin{array}{r} 3r-1\\ 5-6r-2\\ 7-6r-3\\ \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{r} 3r-1\\ 3-6r\\ 4-6r\\ \end{array}\right)$

Wir berechnen das Skalarprodukt des Richtungsvektors und $\overrightarrow{PQ}$ . Dieses muss Null ergeben.

$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 3r-1\\ 3-6r\\ 4-6r\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 3\\ -6\\ -6\\ \end{array}\right) \\[5pt] \end{array}$

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$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} \frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \end{array}\right)\right|$ = $\sqrt{(\frac{2}{3})^2+(-\frac{1}{3})^2+(\frac{2}{3})^2}=1$

Der Abstand von $P$ zur Geraden durch $A$ und $B$ ist $1$ LE.

Gleichung der Geraden aufstellen

$g:\overrightarrow{x}$ $=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}$ $=\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ 8\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ -15\\ \end{array}\right)$

Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ kann beschrieben werden als $Q_g\left(4\mid 2\mid 8-15r\right)$ .

$\overrightarrow{PQ}$ = $\left(\begin{array}{r} 4-0\\ 2-2\\ 8-15r-(-4)\\ \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 12-15r\\ \end{array}\right)$

Wir berechnen das Skalarprodukt des Richtungsvektors und $\overrightarrow{PQ}$ . Dieses muss Null ergeben.

$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 12-15r\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ -15\\ \end{array}\right) \\[5pt] 0=&-15\cdot\left(12-15r\right) \\[5pt] 0=&-180+225r \\[5pt] 180=&225r\quad\scriptsize\mid :225 \\[5pt] \frac{4}{5}=&r \end{array}$

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)\right|$ = $\sqrt{4^2}=4$

Der Abstand von $P$ zur Geraden durch $A$ und $B$ ist $4$ LE.

Punkt auf $g$ bestimmen

Alle Punkte $Q$ der Geraden $g$ haben die Koordinaten $Q\left(12+4r\mid -6-3r\mid 8+r\right)$ . Den Abstand von $P$ zu $Q$ können wir wie den Abstand zweier Punkte berechnen. Dieser Abstand soll $d=3$ sein:

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} 12\\ -6\\ 8\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ -\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 4r\\ 3r\\ r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)\right|$ = $d$

$\begin{array}{rll} 0=&r^2+5r+6 \end{array}$

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Um die quadratische Gleichung zu lösen benutzen wir die $pq-Formel$ :

$\begin{array}{rll} r_{1,2}=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\ \\ r_{1,2}=&-\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-6} \\[5pt] =&-\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} \\ \\ r_1=&-\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}=-2 \\[5pt] r_2=&-\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}=-3 \end{array}$

Wir setzen $r_1=-2$ bzw. $r_2=-3$ in die Geradengleichung ein und bestimmen so die Punkte:

Für $r_1=-2$ :

$g:\overrightarrow{x}$ $=\left(\begin{array}{r} 12\\ -6\\ 8\\ \end{array}\right)+(-2)\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ -3\\ 1\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 6\\ \end{array}\right)$

Für $r_2=-3$ :

$g:\overrightarrow{x}$ = $\left(\begin{array}{r} 12\\ -6\\ 8\\ \end{array}\right)+(-3)\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ -3\\ 1\\ \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{r} 0\\ 3\\ 5\\ \end{array}\right)$

$S_{r_1}\left(4\mid 0\mid 6\right)$ , $S_{r_2}\left(0\mid 3\mid 5\right)$ .

Punkt auf $g$ bestimmen

Alle Punkte $Q$ der Geraden $g$ haben die Koordinaten $Q\left(-11-7r\mid 12+4r\mid -2-3r\right)$ . Den Abstand von $P$ zu $Q$ können wir wie den Abstand zweier Punkte berechnen. Dieser Abstand soll $d=5$ sein:

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} -11\\ 12\\ -2\\ \end{array}\begin{array}{r} -\\ +\\ -\\ \end{array}\begin{array}{r} 7r\\ 4r\\ 3r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} -1\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right)\right|$ = $d$

$\begin{array}{rll} 0=&r^2+3r+2 \end{array}$

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Um die quadratische Gleichung zu lösen benutzen wir die $pq-Formel$ :

$\begin{array}{rll} r_{1,2}=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\ \\ r_{1,2}=&-\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2} \\[5pt] =&-\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} \\ \\ r_1=&-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=-1 \\[5pt] r_2=&-\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=-2 \end{array}$

Wir setzen $r_1=-1$ bzw. $r_2=-2$ in die Geradengleichung ein und bestimmen so die Punkte:

Für $r_1=-1$ :

$g$ : $\overrightarrow{x}$ $=\left(\begin{array}{r} -11\\ 12\\ -2\\ \end{array}\right)+(-1)\cdot\left(\begin{array}{r} -7\\ 4\\ -3\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} -4\\ 8\\ 1\\ \end{array}\right)$

Für $r_2=-2$ :

$g$ : $\overrightarrow{x}$ = $\left(\begin{array}{r} -11\\ 12\\ -2\\ \end{array}\right)+(-2)\cdot\left(\begin{array}{r} -7\\ 4\\ -3\\ \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{r} 3\\ 4\\ 4\\ \end{array}\right)$

$S_{r_1}\left(-4\mid 8\mid 1\right)$ , $S_{r_2}\left(3\mid 4\mid 4\right)$ .

Punkt auf $g$ bestimmen

Alle Punkte $Q$ der Geraden $g$ haben die Koordinaten $Q\left(-12+8r\mid 12-6r\mid 5+2r\right)$ . Den Abstand von $P$ zu $Q$ können wir wie den Abstand zweier Punkte berechnen. Dieser Abstand soll $d=6$ sein:

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} -12\\ 12\\ 5\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ -\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 8r\\ 6r\\ 2r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 5\\ \end{array}\right)\right|=d$

$\begin{array}{rll} 0=&r^2-3r+2 \end{array}$

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Um die quadratische Gleichung zu lösen benutzen wir die $pq-Formel$ :

$\begin{array}{rll} r_{1,2}=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\ \\ r_{1,2}=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2} \\[5pt] =&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} \\ \\ r_1=&\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2 \\[5pt] r_2=&\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1 \end{array}$

Wir setzen $r_1=2$ bzw. $r_2=1$ in die Geradengleichung ein und bestimmen so die Punkte:

Für $r_1=2$ :

$g$ : $\overrightarrow{x}$ $=\left(\begin{array}{r} -12\\ 12\\ 5\\ \end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{r} 8\\ -6\\ 2\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 9\\ \end{array}\right)$

Für $r_2=1$ :

$g$ : $\overrightarrow{x}$ = $\left(\begin{array}{r} -12\\ 12\\ 5\\ \end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{r} 8\\ -6\\ 2\\ \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{r} -4\\ 6\\ 7\\ \end{array}\right)$

$S_{r_1}\left(4\mid 0\mid 9\right)$ , $S_{r_2}\left(-4\mid 6\mid 7\right)$ .

Punkt $Q$ bestimmen

Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten $Q\left(-5-2r\mid 2\mid 6+r\right)$ .

1. Schritt: Abstand von $A$ bzw. $B$

$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ zu $A$ bestimmen

$\left|\overrightarrow{AQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} -5\\ 2\\ 6\\ \end{array}\begin{array}{r} -\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 2r\\ 0\\ 1r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 3\\ 5\\ -3\\ \end{array}\right)\right|$ = $d_{A;Q}$

$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{5r^2+50r+154} \end{array}$

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$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ nach $B$ bestimmen

$\left|\overrightarrow{BQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} -5\\ 2\\ 6\\ \end{array}\begin{array}{r} -\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 2r\\ 0\\ 1r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} -5\\ 5\\ 1\\ \end{array}\right)\right|$ = $d_{B;Q}$

$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{5r^2+10r+34} \end{array}$

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2. Schritt: Abstände gleichsetzen

Da der Abstand von $A$ nach $Q$ genauso groß sein soll, wie der von $B$ nach $Q$ , setzen wir die Abstände gleich und lösen nach $r$ auf. Diesen Wert für $r$ können wir dann in die Geradengleichung einsetzen und den Punkt $Q$ bestimmen.

$\begin{array}{rll} r=&-3 \end{array}$

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$r$ in $Q$ einsetzen:

$Q\left(-5-2\cdot(-3)\mid 2\mid 6+(-3)\right)$ .

Daraus ergibt sich der Punkt $Q\left(1\mid 2\mid 3\right)$ .

Punkt $Q$ bestimmen

Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten $Q\left(6+r\mid -3-r\mid 12+2r\right)$ .

1. Schritt: Abstand von $A$ bzw. $B$

$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ zu $A$ bestimmen

$\left|\overrightarrow{AQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} 6\\ -3\\ 12\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ -\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 1r\\ 2r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 4\\ -1\\ 5\\ \end{array}\right)\right|$ = $d_{A;Q}$

$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{6r^2+36r+57} \end{array}$

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$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ nach $B$ bestimmen

$\left|\overrightarrow{BQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} 6\\ -3\\ 12\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ -\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 1r\\ 2r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 1\\ 3\\ 6\\ \end{array}\right)\right|$ = $d_{B;Q}$

$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{6r^2+46r+97} \end{array}$

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2. Schritt: Abstände gleichsetzen

$\begin{array}{rll} r=&-4 \end{array}$

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$r$ in $Q$ einsetzen:

$Q$

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Daraus ergibt sich der Punkt $Q\left(2\mid 1\mid 4\right)$ .

Punkt $Q$ bestimmen

Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten $Q\left(5+r\mid 4\mid 12+3r\right)$ .

1. Schritt: Abstand von $A$ bzw. $B$

$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ zu $A$ bestimmen

$\left|\overrightarrow{AQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} 5\\ 4\\ 12\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 0\\ 3r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} (-3)\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)\right|$ = $d_{A;Q}$

$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{10r^2+88r+217} \end{array}$

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$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ nach $B$ bestimmen

$\left|\overrightarrow{BQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} 5\\ 4\\ 12\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 0\\ 3r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)\right|$ = $d_{B;Q}$

$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{10r^2+56r+89} \end{array}$

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2. Schritt: Abstände gleichsetzen

$\begin{array}{rll} r=&-4 \end{array}$

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$r$ in $Q$ einsetzen:

$Q\left(5+(-4)\mid 4\mid 12+3\cdot(-4)\right)$ .

Daraus ergibt sich der Punkt $Q\left(1\mid 4\mid 0\right)$ .

Punkt $Q$ bestimmen

Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten $Q\left(8+r\mid 1+r\mid 4+r\right)$ .

1. Schritt: Abstand von $A$ bzw. $B$

$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ zu $A$ bestimmen

$\left|\overrightarrow{AQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} 8\\ 1\\ 4\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 1r\\ 1r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 3\\ -4\\ -1\\ \end{array}\right)\right|$ = $d_{A;Q}$

$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{75+30r+3r^2} \end{array}$

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$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ nach $B$ bestimmen

$\left|\overrightarrow{BQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} 8\\ 1\\ 4\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 1r\\ 1r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} -1\\ -2\\ 3\\ \end{array}\right)\right|$ = $d_{B;Q}$

$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{3r^2+26r+91} \end{array}$

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2. Schritt: Abstände gleichsetzen

$\begin{array}{rll} r=&4 \end{array}$

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$r$ in $Q$ einsetzen:

$Q\left(8+4\left|1+4\mid 4+4\right)\right)$ .

Daraus ergibt sich der Punkt $Q\left(12\mid 5\mid 8\right)$ .

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