Trigonometrische Gleichungen

Um trigonometrische Gleichungen lösen zu können, ist es wichtig die wichtigsten Werte der trigonometrischen Funktionen zu kennen. Ausgehend von diesen kannst du dann trigonometrische Gleichungen lösen.
Für alle $k = 0, \pm1, \pm2, \pm3,...$ gilt folgendes:

$\sin(k\cdot \pi) = 0$
$\sin(2k \cdot \pi + \frac{1}{2}\cdot \pi) = 1$
$\sin(2k \cdot \pi - \frac{1}{2}\cdot \pi) = -1$
$\cos(k\cdot \pi + \frac{1}{2}\cdot \pi) = 0$
$\cos(2k\pi) = 1$
$\cos(2k \cdot \pi - \pi) = -1$

Beispiel

$\cos(2x) +1 = 2$

Diese Gleichung formen wir zunächst um und nutzen dann obige Funktionswerte:

$\cos(2x) +1 = 2$ $\Leftrightarrow \cos(2x) = 1$

Da $\cos(y)$ den Wert $1$ annimmt, wenn $y = 2k\pi$ gilt, folgt nun:

$\cos(2x) = 1$ $\Leftrightarrow 2x = 2k\pi$ $\Leftrightarrow x = k\pi$ für alle $k = 0, \pm1, \pm2, \pm3,...$

$\Rightarrow \mathbb{L}$ = $\{k\cdot \pi\; \text{mit}\; k = 0, \pm1, \pm2, \pm3,...\}$

Gib die Lösungsmenge im angegebenen Intervall an.

$\sin(x)=0; \hspace{1cm} I=\left[0;2\pi\right]$

$\cos(x)=0; \hspace{1cm} I=\left[0;2\pi\right]$

$\cos(x)=1; \hspace{1cm} I=\left[0;2\pi\right]$

$\sin(x)=1; \hspace{1cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$

$\cos(x)=-1; \hspace{1cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$

$\sin(x)=-1; \hspace{1cm} I=\left[0;2\pi\right]$

Gib die Lösungsmenge im angegebenen Intervall an.

$\sin(2x)=1; \hspace{2cm} I=\left[0;2\pi\right]$

$\dfrac{1}{2}\cos(2x)=-\dfrac{1}{2}; \hspace{1.cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$

$\cos(4x)=0; \hspace{2cm} I=\left[0;\pi\right]$

$\sin^{2}(3x)=0; \hspace{2cm} I=\left[0;\pi\right]$

Löse die Gleichungen im angegebenen Intervall.

$\cos(x)+\sin(x+\frac{\pi}{2})=2;$ $\hspace{2.2cm} I=\left[0;\pi\right]$

$\sin^{2}(x)-\sin^{3}(x)=0;$ $\hspace{2.9cm} I=\left[0;2\pi\right]$

$\sin^{2}(x)+\sin(x)-2=0;$ $\hspace{2.4cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$

$\cos^{2}(x)-5\sin(x)+5=0;$ $\hspace{1.9cm} I=\left[0;2\pi\right]$

$\sin^{2}(x)+1$ = $-\cos^{2}(x)+2\sin(x);$ $\hspace{1.9cm} I$ = $\left[-\pi;\pi\right]$

$\sin^{2}(x)-5\sin(x)+4=0;$ $\hspace{2.3cm} I=\left[0;2\pi\right]$

Gib die Lösungsmenge im angegebenen Intervall an.

$\cos^{2}(x)-2\cos(x)+1=0;$ $\hspace{2.3cm} I=\left[-\pi;2\pi\right]$

$\sin^{2}(x)+\sin(x)-\cos(x)+1=0;$ $\hspace{1cm} I=\left[0;2\pi\right]$

Anmerkung: Die Gleichung in Teilaufgabe b) besitzt im betrachteten Intervall insgesamt drei Lösungen; rechnerisch sind aber nur zwei bestimmbar. Bestimme diese beiden.

$\cos^{7}(x)-\cos^{5}(x)=0;$ $\hspace{1cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$

$\sin^{2}(x)-\dfrac{1}{2}\cos(x)+...$

Vollständige Lösung anzeigen

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$\sin(x)$ ist für alle ganzzahlige Vielfache von $\pi$ Null (z.B. $2\pi=0$ , $-3\pi=0$ ). Allgemein also: $x=k\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$ .

Im angegebenen Intervall ist dies für $x=0$ , $x=\pi$ und $x=2\pi$ der Fall.

$\mathbb{L}=\left\{0;\pi;2\pi\right\}$

$\cos(x)$ ist Null für z.B. $\frac{3}{2}\pi$ , $-\frac{5}{2}\pi$ , allgemein also für $x=\dfrac{2k+1}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$ .

Im angegebenen Intervall ist dies für $x=\dfrac{\pi}{2}$ und $x=\dfrac{3\pi}{2}$ der Fall.

$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right\}$

$\cos(x)=1$ , falls $x=2k\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$ .

Im angegebenen Intervall ist dies für $x=0$ und $x=2\pi$ der Fall.

$\mathbb{L}=\left\{0;2\pi\right\}$

$\sin(x)=1$ , falls $x=\dfrac{4k-3}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$ .

Im angegebenen Intervall ist dies für $x=\dfrac{\pi}{2}$ der Fall.

$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$

$\cos(x)=-1$ , falls $x=(2k+1)\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$ .

Im angegebenen Intervall ist dies für $x=-\pi$ und $x=\pi$ der Fall.

$\mathbb{L}=\left\{-\pi;\pi\right\}$

$\sin(x)=-1$ , falls $x=\dfrac{4k-1}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$ .

Im angegebenen Intervall ist dies für $x=\dfrac{3\pi}{2}$ der Fall.

$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{3\pi}{2}\right\}$

$\sin(2x)=1$ , falls $2x=\dfrac{4k-3}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$ , also

$x=\dfrac{4k-3}{4}\pi$ .

Da $x$ im angegebenen Intervall liegen soll, liefern nur $k=1$ und $k=2$ eine Lösung.

Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:

$x=\dfrac{1}{4}\pi$ und $x=\dfrac{5}{4}\pi$

$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{4}\pi;\dfrac{5}{4}\pi\right\}$

$\dfrac{1}{2}\cos(2x)=-\dfrac{1}{2}$ ergibt multipliziert mit $2$ :

$\cos(2x)=-1$

Dies ist der Fall, wenn $2x=(2k+1)\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$ , also

$x=\dfrac{2k+1}{2}\pi$ .

Da $x$ im angegebenen Intervall liegen soll, liefern nur $k=0$ und $k=-1$ eine Lösung.

Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:

$x=\dfrac{1}{2}\pi$ und $x=-\dfrac{1}{2}\pi$ .

$\mathbb{L}=\left\{-\dfrac{1}{2}\pi;\dfrac{1}{2}\pi\right\}$

$\cos(4x)=0$ , falls $4x=\dfrac{2k+1}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$ , also

$x=\dfrac{2k+1}{8}\pi$ .

Da $x$ im angegebenen Intervall sein soll, liefern nur $k=0$ , $k=1$ , $k=2$ und $k=3$ eine Lösung.

Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:

$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{8}\pi;\dfrac{3}{8}\pi;\dfrac{5}{8}\pi;\dfrac{7}{8}\pi\right\}$

$\sin^{2}(3x)=0$ liefert durch beidseitiges Wurzelziehen die folgende Gleichung:

$\sin(3x)=0$

Die Gleichung ist erfüllt, wenn $3x=k\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$ , also

$x=\dfrac{k}{3}\pi$ .

Da $x$ aus dem angegebenen Intervall sein soll, liefern nur $k=0$ , $k=1$ , $k=2$ und $k=3$ eine Lösung.

Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:

$\mathbb{L}=\left\{0;\dfrac{1}{3}\pi;\dfrac{2}{3}\pi;\pi\right\}$

Der Kosinus ist ein um $\dfrac{\pi}{2}$ phasenverschobener Sinus, d.h.

$\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$ .

Einsetzen in die Gleichung ergibt:

$\begin{array}{rllllllll} 2\cos(x)&=2&\mid :2\\ \cos(x)&=1 \end{array}$

In angegebenen Intervall ist dies für $x=0$ erfüllt.

$\mathbb{L}=\left\{0\right\}$

Ausklammern von $\sin^{2}(x)$ liefert die Gleichung:

Die Polynomdivision durch ( $x-1$ ) ergibt:

$\sin^{2}(x)(1-\sin(x))=0$

Dies ist erfüllt, wenn entweder $\sin^{2}(x)=0$ oder $1-\sin(x)=0$ ist.

$\sin^{2}(x)$ ist null, wenn $\sin(x)=0$ . Im angegebenen Intervall ist dies bei $x=0$ , $x=\pi$ , und $x=2\pi$ der Fall.

$1-\sin(x)$ ist null, wenn $\sin(x)=1$ . Im angegebenen Intervall gilt dies für $x=\dfrac{1}{2}\pi$ .

$\mathbb{L}=\left\{0;\dfrac{1}{2}\pi;\pi;2\pi\right\}$

1. Schritt: Substitution

$\sin(x)=z$

$z^2+z-2=0$ .

2. Schritt: Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rllllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+2}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{3}{2} \end{array}$

Also $z_{1}=-2$ und $z_{2}=1$ .

3. Schritt: Rücksubstitution:

$\begin{array}{rllllllll} 1) &z_{1}&=\sin(x_{1})\\[5pt] &-2&=\sin(x_{1}) \end{array}$

Dies liefert keine Lösung, da $\sin(x)$ nicht -2 werden kann.

$\begin{array}{rllllllll} 2)&z_{2}&=\sin(x_{2})\\[5pt] &1&=\sin(x_{2})\\[5pt] &x_{2}&=\dfrac{\pi}{2}& \end{array}$

$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$

Die Gleichung ist erfüllt, wenn $\cos^{2}(x)=0$ und $\sin(x)=1$ .

$\cos^{2}(x)=0$ gilt im angegebenen Intervall für $x=\dfrac{1}{2}\pi$ und für $x=\dfrac{3}{2}\pi$ .

Aber nur bei $x=\dfrac{1}{2}\pi$ gilt zusätzlich $\sin(x)=1$ .

$x=\dfrac{1}{2}\pi$ ist daher die einzige Lösung.

$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{2}\pi\right\}$

Umformen:

$\begin{array}{rllllllll} 1=\sin(x) \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Im angegebenen Intervall gilt dies für $x=\dfrac{\pi}{2}$ .

$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$

1. Schritt: Substitution:

$\sin(x)=z$

$z^{2}-5z+4=0$ .

2. Schritt: Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:

$\begin{array}{rllllllll} z_{1,2}&=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-4}\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-\dfrac{16}{4}}\\[5pt] z_{1,2}&=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{3}{2} \end{array}$