Logarithmusfunktionen

Wenn du den Graph der natürlichen Logarithmusfunktion zeichnen willst, beachte folgende Punkte:

Die Funktion $f(x) = \ln (x)$ ist nur für Zahlen, die echt größer $0$ sind, definiert. Sie schneidet die $x$ -Achse an der Stelle $1$ , hat als senkrechte Asymptote die $y$ -Achse und ist streng monoton steigend.

Graph der Funktion f(x) = ln(x) auf schwarzem Hintergrund mit grüner Linie und Beschriftung.

Verschiebungen in postive oder negative $y$ -Richtung erkennst du an der Addition einer Konstanten $c$ zu $f(x)$ . $\ln(x) \pm c$ . Der Graph wird nach rechts bzw. links verschoben, wenn eine Konstante $c$ zum Numerus addiert wird: $\ln(x \mp c)$

Streckungen in Richtung der y-Achse erkennst du, wenn die Funktion $f(x)$ mit einem Faktor $|n| \gt 1$ multipliziert wurde, Stauchungen in Richtung der $y$ -Achse mit einem Faktor $|n| \lt 1$ : $n \cdot \ln(x)$ . Ist der Numerus mit einem Faktor $|n| \gt 1$ multipliziert, so streckst du den Graphen entlang der $x$ -Achse, mit einem Faktor $|n| \lt 1$ stauchst du den Graphen: $\ln (n \cdot x)$

Spiegelungen an der $x$ -Achse werden durch ein negatives Vorzeichen der Logarithmusfunktion impliziert: $-\ln(x)$ oder wenn der Kehrwert des Numerus gebildet wurde: $\ln\left(\frac{1}{x}\right)$ . Wird der Numerus mit einem negativen Vorzeichen multipliziert, spiegelst du den Graphen an der $y$ -Achse $\ln(-x)$ .

Skizziere die Schaubilder folgender Funktionen und gib den Definitionsbereich an.

$f(x)=\ln\left(x-1\right)$

$f(x)=\ln\left(x\right)-1$

$f(x)=-2\ln\left(x-2\right)+1$

$f(x)=\ln\left(-x\right)-2$

$f(x)=\ln\left(x+2\right)+1$

$f(x)=-\ln\left(-x\right)-1$

Skizziere das Schaubild der Funktion und beschreibe, wie es aus dem Schaubild der $\ln$ -Funktion hervorgeht.

$f(x)=\ln\left(x-1\right)$

$f(x)=-\ln\left(x+2\right)$

$f(x)=\ln\left(x+1\right)-1$

$f(x)=\ln\left(-x\right)$

$f(x)=\ln\left(x+2\right)$

$f(x)=-\ln\left(x-1\right)$

Verschiebe das Schaubild der angegebenen Funktion wie gefordert und gib die Funktionsgleichung der neuen Funktion an.

$f(x)=\ln\left(x\right)$

Verschiebung um 1 LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“) und um 2 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“).

$f(x)=-\ln\left(-x\right)$

Verschiebung um 3 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“) und um 1 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“).

$f(x)=\ln\left(x+1\right)$

Verschiebung um 1 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“) und um 2 LE in negative $y$ -Richtung („nach unten“).

$f(x)=\ln\left(x\right)+1$

Verschiebung um 3 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“) und anschließende Spiegelung an der $x$ -Achse.

$f(x)=3\ln\left(-x\right)+2$

Verschiebung um 3 LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“) und anschließende Spiegelung an der $y$ -Achse.

$f(x)=\ln\left(x+2\right)-1$

Verschiebung um 4 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“) und um 3 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“).

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$f(x)=\ln\left(x-1\right)$

Skizze

Graph einer Funktion im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Definitionsbereich bestimmen - Argument Null setzen

Der Logarithmus ist nur für positive Werte definiert:

$x-1>0$

Vollständige Lösung anzeigen

$f(x)=\ln\left(x\right)-1$

Skizze

Graph einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Definitionsbereich bestimmen - Argument Null setzen

Der Logarithmus ist nur für positive Werte definiert:
$x>0\qquad\Longrightarrow\mathbb{D}_f=]0;\infty[$

$f(x)=-2\ln\left(x-2\right)+1$

Skizze

Graph einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

Definitionsbereich bestimmen - Argument Null setzen

Der Logarithmus ist nur für positive Werte definiert:

$x-2>0$

Vollständige Lösung anzeigen

$f(x)=\ln\left(-x\right)-2$

Skizze

Graph einer Funktion f im Koordinatensystem mit gekrümmtem Verlauf.

Definitionsbereich bestimmen - Argument Null setzen

Der Logarithmus ist nur für positive Werte definiert:

$-x>0$

Vollständige Lösung anzeigen

$f(x)=\ln\left(x+2\right)+1$

Skizze

Graph einer Funktion mit Achsenbeschriftungen und asymptotischem Verhalten.

Definitionsbereich bestimmen - Argument Null setzen

Der Logarithmus ist nur für positive Werte definiert:

$x+2>0$

Vollständige Lösung anzeigen

$f(x)=-\ln\left(-x\right)-1$

Skizze

Graph einer Funktion f im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

Definitionsbereich bestimmen - Argument Null setzen

Der Logarithmus ist nur für positive Werte definiert:

$-x>0$

Vollständige Lösung anzeigen

$f(x)=\ln\left(x-1\right)$

Skizze

Graph einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse. Darstellung einer Kurve im Koordinatensystem.

Schaubild herleiten

Schaubild der $\ln$ -Funktion um 1 LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“) verschoben.

$f(x)=-\ln\left(x+2\right)$

Skizze

Grafik einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse. Der Verlauf zeigt eine Kurve im ersten Quadranten.

Schaubild herleiten

Schaubild der $\ln$ -Funktion an der $x$ -Achse gespiegelt und um 2 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“) verschoben.

$f(x)=\ln\left(x+1\right)-1$

Skizze

Graph einer Funktion f in einem Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Schaubild herleiten

Schaubild der $\ln$ -Funktion um 1 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“) und um 1 LE in negative $y$ -Richtung („nach unten“) verschoben.

$f(x)=\ln\left(-x\right)$

Skizze

Graph einer Funktion f im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Schaubild herleiten

Schaubild der $\ln$ -Funktion an der $y$ -Achse gespiegelt.

$f(x)=\ln\left(x+2\right)$

Skizze

Graph einer Funktion mit der x- und y-Achse, zeigt eine Kurve, die durch den Ursprung verläuft.

Schaubild herleiten

Schaubild der $\ln$ -Funktion um 2 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“) verschoben.

$f(x)=-\ln\left(x-1\right)$

Skizze

Graph einer Funktion mit einer Kurve im ersten Quadranten und Achsenbeschriftung.

Schaubild herleiten

Schaubild der $\ln$ -Funktion um 1 LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“) verschoben und an der $x$ -Achse gespiegelt.

$f(x)=\ln\left(x\right)$

Verschiebung um 1 LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“) und um 2 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“).

$f_{\text{neu}}(x)=\ln(x-1)+2$

$f(x)=-\ln\left(-x\right)$

Verschiebung um 3 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“) und um 1 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“).

$f_{\text{neu}}(x)=-\ln(-(x+3))+1$

$f(x)=\ln\left(x+1\right)$

Verschiebung um 1 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“) und um 2 LE in negative $y$ -Richtung („nach unten“).

$f_{\text{neu}}(x)=\ln(x+2)-2$

$f(x)=\ln\left(x\right)+1$

Verschiebung um 3 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“) und anschließende Spiegelung an der $x$ -Achse.

$f_{\text{neu}}(x)=-\left(\ln(x)+4\right)$

$f(x)=3\ln\left(-x\right)+2$

Verschiebung um 3 LE in positive $x$ -Richtung („nach rechts“) und anschließende Spiegelung an der $y$ -Achse.

$f_{\text{neu}}(x)=3\ln(x-3)+2$

$f(x)=\ln\left(x+2\right)-1$

Verschiebung um 4 LE in positive $y$ -Richtung („nach oben“) und um 3 LE in negative $x$ -Richtung („nach links“).

$f_{\text{neu}}(x)=\ln(x+5)+3$

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