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Inhaltsverzeichnis

Gaußsches Eliminierungsverfahren

Aus einem linearen Gleichungssystem eine Matrix erstellen:
  • das LGS so umstellen, dass nur noch auf einer Seite der Gleichung Faktoren mit Parameter stehen
  • Parameter und Rechenoperatoren (+, -, =) weglassen und die Zahlen als Matrix schreiben
\(\begin{array}[t]{rll} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=&a_{14} &\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=&a_{24} &\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=&a_{34} &\\ \end{array}\)
Bei dem Gauß‘schen Eliminierungsverfahren sind drei Operationen erlaubt:
  • Multiplikation einer Zeile mit einer Konstanten (\(\neq0\))
  • Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
  • Vertauschen zweier Zeilen
    • Um das lineare Gleichungssystem zu lösen, ist es am einfachsten, wenn du als erstes die Operationen so anwendest, dass in der ersten Spalte und der ersten Zeile eine Zahl steht und ansonsten in der ersten Spalte nur Nullen stehen.
    In der zweiten Spalte sollten nur in der ersten und zweiten Zeile ein Zahl und sonst nur Nullen stehen. In der dritten Spalte sollten unterhalb der dritten Zeile nur Nullen stehen, usw.
    Diese Form der Matrix wird Stufenform genannt.
    Die Stufenform einer 3x4-Matrix:
    \(\left(\begin{array}{ccc|c} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34} \end{array}\right)\)
    Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystem:
    • \(\boldsymbol{a_{33}=0, a_{34}\neq0}\): falsche Aussage, keine Lösung
    • \(\boldsymbol{a_{33}\neq0, a_{34}\neq0}\): genau eine Lösung
    • \(\boldsymbol{a_{33}=0, a_{34}=0}\): unendlich viele Lösungen