Pflichtaufgaben

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=2 \cdot \sin \left(\dfrac{1}{2} x\right).$

Sinusfunktion Mathe Abi Baden Wuerttemberg 2024

Beurteile mit Hilfe der Abbildung, ob der Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-2}^{8}f(x)\;\mathrm dx$ negativ ist.

(2 BE)

Weise rechnerisch nach, dass die folgende Aussage zutrifft:

Die Tangente an $G_f$ im Koordinatenursprung ist die Gerade durch die Punkte $(-1\mid-1)$ und $(1\mid1).$

(3 BE)

$G_f$ ist der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm e^{2 x-1}.$

$G_f$ besitzt einen Schnittpunkt mit einer Koordinatenachse und eine Asymptote.

Gib die Koordinaten dieses Schnittpunkts sowie eine Gleichung dieser Asymptote an.

(2 BE)

$G_g$ ist der Graph der Funktion $g$ mit $g(x)=\mathrm e^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2} x}.$ Es gilt $\(g$

Zeige, dass sich $G_f$ und $G_g$ an der Stelle $x_0=\dfrac{1}{2}$ orthogonal schneiden.

(3 BE)

Gegeben ist die Schar der Ebenen $E_a: 2 a x_1-4 x_2+(a-2) \cdot x_3=12$ mit $a \in \mathbb{R}.$

Ermittle denjenigen Wert von $a,$ für den $E_a$ parallel zur Gerade mit der Gleichung $\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\1\\1}+t\cdot \pmatrix{-1\\0\\1}$ mit $t \in \mathbb{R}$ verläuft.

(2 BE)

Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_1-8 x_2+x_3=24$ zur Schar gehört.

(3 BE)

Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht.

Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl, wie oft dabei die Farbe „Blau“, die binomialverteilte Zufallsgröße $Y,$ wie oft dabei die Farbe „Gelb“ erzielt wird.

Begründe, dass $X$ und $Y$ die gleiche Standardabweichung haben.

(2 BE)

Der Erwartungswert von $X$ ist ganzzahlig. Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X.$

Erwartungswert Gluecksrad Baden Wuerttemberg Mathe Abi 2024

Bestimme die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads.

(3 BE)

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Der Graph $G_f,$ die $x$ -Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen $x=-2$ und $x=8$ schließen eine Fläche ein, deren Teil unterhalb der $x$ -Achse einen kleineren Inhalt besitzt als deren Teil oberhalb.

Deshalb ist der Wert des Integrals nicht negativ.

Ableitungsfunktion bilden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Für die Steigung der Tangente an $G_f$ im Koordinatenursprung gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

Einsetzen der Koordinaten des Koordinatenursprungs sowie der Steigung $m$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x+c &\\[5pt] 0&=& 1\cdot 0+c& \\[5pt] 0&=& c \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente ergibt sich also zu:

$t:y=1\cdot x+0=x$

Die Gerade mit der Gleichung $y=x$ verläuft also durch alle Punkte, deren $x$ -Koordinate mit ihrer $y$ -Koordinate übereinstimmt, und somit auch durch die Punkte $(-1 \mid -1)$ und $(1 \mid 1).$

Somit trifft die Aussage zu.

Schnittpunkt mit einer Koordinatenachse

Da $\mathrm e^{2x-1}\gt0$ gilt, besitzt $G_f$ keinen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse.

Für den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& \mathrm e^{2\cdot 0-1} & \\[5pt] &=& \mathrm e^{-1} \\[5pt] \end{array}$

Der Schnittpunkt mit einer Koordinatenachse besitzt somit die Koordinaten $S_y(0\mid \mathrm e^{-1}).$

Asymptote angeben

Da sich die $\mathrm e$ -Funktion für $x\rightarrow -\infty$ dem Wert Null annähert, jedoch nie Null wird oder unterschreitet, besitzt $G_f$ die Asymptote mit der Gleichung $y=0.$

Die beiden Graphen schneiden sich an der Stelle $x_0=\dfrac{1}{2},$ wenn gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f\left(\dfrac{1}{2}\right)&=& g\left(\dfrac{1}{2}\right)&\\[5pt] \mathrm e^{2\cdot \frac{1}{2}-1}&=& \mathrm e^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}} &\\[5pt] \mathrm e^0&=& \mathrm e^0&\\[5pt] 1&=& 1 \end{array}$

$G_f$ und $G_g$ schneiden sich somit im Punkt $S\left(\dfrac{1}{2} \,\bigg \vert \, 1\right).$

Die Graphen schneiden sich genau dann orthogonal, wenn gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$G_f$ und $G_g$ schneiden sich an der Stelle $x_0=\dfrac{1}{2}$ somit orthogonal.

$E_a$ ist genau dann parallel zur gegebenen Gerade, wenn ein Normalenvektor $\overrightarrow{n_a}$ von $E_a$ orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden steht. Es muss also gelten:

$\pmatrix{2a\\-4\\a-2}\circ\pmatrix{-1\\0\\1}=0$

Umformungen anzeigen

Für $a=-2$ verläuft die Ebene $E_a$ folglich parallel zur gegebenen Geraden.

Damit die Ebene zur Ebenenschar $E_a$ gehört, muss gelten:

$\pmatrix{2a \\ -4 \\ a-2}=k\cdot \pmatrix{6 \\ -8 \\ 1}$

Die zweite Zeile liefert $k=0,5.$

Mit der ersten Zeile folgt für den Wert von $a:$

$a=0,5\cdot 6=3$

Für die dritte Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 3-2&=& 0,5\cdot 1 \\[5pt] 1&=& 0,5 \end{array}$

Dies ist ein Widerspruch. Die Ebene gehört also nicht zur Ebenenschar $E_a.$

Für die Standardabweichung gilt:

$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

Der Parameter $n$ ist bei beiden Verteilung gleich und entspricht den 100 Drehungen.

Da außerdem jeweils die Wahrscheinlichkeit $p$ und die Gegenwahrscheinlichkeit $(1-p)$ multipliziert werden, wird bei beiden Standardabweichungen die Wahrscheinlichkeit für „Blau“ und für „Gelb“ multipliziert.

Damit haben $X$ und $Y$ folglich die gleiche Standardabweichung.

Aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ kann der Erwartungswert $\mu=75$ abgelesen werden.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p& \\[5pt] 75&=& 100\cdot \dfrac{x}{20}&\quad \scriptsize \mid\; :100 \\[5pt] 0,75&=& \dfrac{x}{20}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 20 \\[5pt] 15&=& x \end{array}$

Das Glücksrad besitzt somit 15 blaue Sektoren.

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