Wahlteil C1

Die Tabelle zeigt die prozentualen Anteile einiger Farben der in Deutschland fahrenden Autos:

Farbe	Anteil
silber oder grau	$29,9\,\%$
schwarz	$28,8\,\%$
weiß	$15,1\,\%$

Zwei Kinder beobachten vorbeifahrende Autos und achten auf deren Farbe.

Zunächst beobachten die beiden Kinder $80$ Autos.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse :
A: „Genau $22$ Autos sind silber oder grau.“
B: „Mindestens $33$ Autos sind schwarz.“
C: „Unter den ersten zehn Autos sind mindestens drei, die keine der in der Tabelle angegebenen Farben haben, und von den anderen $70$ Autos sind höchstens $20$ schwarz.“

(3 P)

Wie hoch müsste der Anteil der schwarzen Autos mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ unter $100$ beobachteten Autos mindestens $28$ schwarz sind?

(2 P)

Das eine Kind bietet dem anderen folgendes Spiel an:
„Wenn von den nächsten vier Autos mindestens drei hintereinander nicht schwarz sind, bekommst du von mir ein Gummibärchen, ansonsten bekomme ich eines von dir.“
Untersuche, ob dieses Spiel fair ist.

(2,5 P)

Es wird vermutet, dass der Anteil $p$ der weißen Autos zugenommen hat.
Um dies zu überprüfen, wird die Nullhypothese $H_0: p \leq 0,151$ auf dem Signifikanzniveau $10\,\%$ getestet. Dazu werden die Farben von $500$ Autos erfasst.
Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

(2,5 P)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass genau $22$ Autos silber oder grau sind. Dieses Ereignis wird hierbei mit $A$ bezeichnet. Hierfür hast du gegeben, dass die prozentualen Anteile der Autofarben in Deutschland als Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der jeweiligen Autofarben verwendet wird.

Es werden zunächst $80$ Autos betrachtet. Bezeichne die Anzahl der silbernen und grauen Autos mit der Zufallsvariable $X$ . Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X=22)$ gesucht.

Die Anzahl der beobachteten silbernen und grauen Autos ist hierbei binomialverteilt mit der Wahrscheinlichkeit $p=0,299$ aus der gegebenen Tabelle und der Anzahl der betrachteten Autos $n=80$ .

Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße kannst du mit dem binomialPDf-Befehl deines GTR berechnen.

Den binomialPDf-Befehl findest du unter:

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ A: binompdf

Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit $P(X=22)$ :

$P(X=22) \approx 0,089$

Screenshot einer mathematischen Berechnung mit binomischer Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Abb. 1: Binomialverteilung mit dem GTR

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ etwa $8,9\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass mindestens $33$ Autos schwarz sind. Dieses Ereignis wird mit $B$ bezeichnet. Hierbei kannst du die Anzahl der beobachteten schwarzen Autos erneut mit einer Zufallsvariable $Y$ bezeichnen. Somit ist die Zufallsvariable $Y$ binomialverteilt mit $n=80$ und der Wahrscheinlichkeit aus der gegebenen Tabelle $p=0,288$ .

Hierbei ist die Wahrscheinlichkeit $P(Y \geq 33)$ gesucht. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Gegenwahrscheinlichkeit wie folgt umschreiben:

$P(Y \geq33)= \dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit $P(Y \leq 32)$ kannst du mit dem binomialCDf-Befehl deines GTR bestimmen.

Den binomialCDf-Befehl findest du unter:

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ B: binomcdf

Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit $P(Y\leq 32)$ mit der unteren Grenze $0$ und der oberen Grenze $32$ :

$P(Y \geq33) \approx 0,0115$

Vollständige Lösung anzeigen

Screenshot eines Taschenrechner-Bildschirms mit statistischen Berechnungen.

Abb. 2: Berechnung mit dem GTR

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $B$ eintritt etwa $1,15\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass unter den ersten zehn Autos mindestens drei Autos sind, die keine der in der Tabelle angegebenen Farben haben, und von den anderen $70$ Autos sind höchstens $20$ schwarz. Dieses Ereignis wird mit $C$ bezeichnet.

Die Anzahl der Autos, welche keine der in der Tabelle angegebenen Farben haben, kannst du mit der Zufallsvariable $Z_1$ bezeichnen. Die Zufallsvaribale $Z_1$ ist hierbei binomialverteilt mit $n=10$ und der folgenden Wahrscheinlichkeit:

$p= 0,262$

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Die Anzahl der Autos, welche schwarz sind, kannst du mit der Zufallsvariable $Z_2$ bezeichnen. Die Zufallsvaribale $Z_2$ ist hierbei binomialverteilt mit $n=20$ und der Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle $p=0,288$ . Somit ist die folgende Wahrscheinlichkeit gesucht:

$P(C)=\dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Gehe hierbei zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten analog wie in den vorherigen Teilaufgaben vor. Es folgt mit deinem GTR:

$P(C) \approx 0,277$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $C$ eintritt etwa $27,7\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Anteil der Autos bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du den Mindestanteil der schwarzen Autos bestimmen, sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ unter $100$ beobachteten Autos mindestens $28$ schwarz sind.

Die Anzahl der schwarzen Autos kannst du durch die Zufallsvariable $X$ bezeichnen. Die Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt mit $n=100$ und der unbekannten Wahrscheinlichkeit $p$ . Du sollst herbei $p$ so bestimmen, dass für die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 28)\geq0,95$ gilt.

Die Wahrscheinlichkeit $p$ entspricht hierbei dem Anteil der schwarzen Autos. Da du den Mindestanteil bestimmen sollst, ist die kleinste Wahrscheinlichkeit $p$ gesucht, für die die Ungleichung erfüllt ist.

Die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 28)$ kannst du analog wie in der vorherigen Teilaufgabe wie folgt umschreiben:

$P(X\geq 28)= 1-P(X\leq 27)$

Den Wert für $p$ kannst du mit deinem GTR bestimmen. Benutze hierzu den Solve-Befehl deines GTR.

Achte darauf, dass du für die Lösung durch den Solve-Befehl die Gleichung $P(X\geq 28)=0,95$ betrachten musst. Die Lösung der Gleichung entspricht der Mindestwahrscheinlichkeit $p$ . Die Ungleichung $P(X\geq 28)\geq0,95$ ist somit für alle Wahrscheinlichkeiten, welche größer als $p$ sind erfüllt.

Den Solve-Befehl findest du unter:

math $\to$ C: Numeric Solver

Damit folgt für die Mindestwahrscheinlichkeit $p$ :

$p \approx 0,3526$

Mathematische Berechnungen auf einem Taschenrechner mit Formeln und Werten.

Abb. Zahl: Lösen mit dem GTR

Somit müsste der Anteil der schwarzen Autos mindestens etwa $35,26\,\%$ betragen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ unter $100$ beobachteten Autos mindestens $28$ schwarz sind.

$\blacktriangleright$ Faires Spiel begründen

In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, ob das Spiel fair ist. Das Spiel lautet, dass ein Kind ein Gummibärchen gewinnt, falls von den nächsten vier Autos mindestens drei hintereinander schwarz sind. Ansonsten muss das Kind ein Gummibärchen abgeben.

Das Spiel ist also genau dann fair, falls die Wahrscheinlichkeit ein Gummibärchen zu gewinnen gleich $0,5$ ist und die Wahrscheinlichkeit ein Gummibärchen zu verlieren auch $0,5$ ist. Überprüfe somit, ob die Wahrscheinlichkeit ein Gummibärchen zu gewinnen $0,5$ beträgt.

Das Kind gewinnt hierbei ein Gummibärchen, falls von den nächsten vier Autos mindestens drei hintereinander nicht schwarz sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Auto nicht schwarz ist beträgt $1-0,288$ , da dies der Gegenwahrscheinlichkeit dafür entspricht, dass ein Auto schwarz ist.

Insgesamt gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, dass von vier Autos drei hintereinander nicht schwarz sind. Falls die ersten drei Autos nicht schwarz sind ist es egal welche Farbe das letzte Auto besitzt. Falls allerdings die letzten drei Autos nicht schwarz sind muss das erste Auto schwarz gewesen sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Auto schwarz ist beträgt $0,288$ .

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $p$ , dass ein Kind ein Gummibärchen gewinnt:

$p \approx 0,465$

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Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kind ein Gummibärchen gewinnt etwa $46,5\,\%$ und ist somit ungleich $50\,\%$ . Das bedeutet, dass das angegebene Spiel nicht fair ist.

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel ermitteln

In dieser Teilaufgabe sollst du eine Entscheidungsregel ermitteln. Hierbei wird vermutet, dass der Anteil $p$ der weißen Autos zugenommen hat. Zur Überpüfung wird die Nullhypothese $H_0: p \leq 0,151$ auf dem Signifikanzniveau von $10\,\%$ getestet. Insgesamt werden hierbei die Farben von $500$ Autos erfasst.

Bezeichne beispielsweise die Anzahl der weißen Autos durch die Zufallsvariable $X$ . Hierbei handelt es sich um einen rechtsseitigen Test mit dem Signifikanzniveau von $\alpha=0,1$ . Die Anzahl der weißen Autos $X$ ist hierbei mit $n=500$ und der Wahrscheinlichkeit $p=0,151$ binomialverteilt.

Der Annahmebereich für einen rechtsseitigen Test lautet $A=[0;k]$ , dass bedeutet dass falls die Anzahl der betrachteten weißen Autos im Annahmebereich liegt, dass die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ angenommen wird.

Das Signifikanzniveau gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine Stichprobe innerhalb des Ablehnungsbereiches liegt, obwohl die Nullhypothese zutrifft. Somit muss für einen rechtsseitigen Test die Ungleichung $P(X\geq k+1)\leq \alpha$ gelten.

Hierbei folgen für die Wahrscheinlichkeiten mit dem binomialCDf-Befehl deines GTR wie in der Teilaufgabe a) die Werte:

$P(X \geq 86)\approx 0,107$ und $P(X \geq 87)\approx 0,107$

Daraus folgt für die Grenze des Annahmebereichs:

$k=86$

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Somit gilt für den Annahmebereich $A=[0;86]$ . Das bedeutet, dass falls unter den $500$ Autos höchstens $86$ Autos sind, dass die Nullhypothese angenommen wird und falls mindestens $87$ weiße Autos darunter sind die Nullhypothese verworfen wird.

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$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Es werden zunächst $80$ Autos betrachtet. Bezeichne die Anzahl der silbernen und grauen Autos mit der Zufallsvariable $X$ . Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X=22)$ gesucht.

Die Anzahl der beobachteten silbernen und grauen Autos ist hierbei binomialverteilt mit der Wahrscheinlichkeit $p=0,299$ aus der gegebenen Tabelle und der Anzahl der betrachteten Autos $n=80$ .

Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße kannst du mit dem binomialPDf-Befehl deines GTR berechnen.

Den binomialPDf-Befehl findest du unter:

OPTN $\to$ F5: STAT $\to$ F3: DIST $\to$ F5: BINOMIAL $\to$ F1: Bpd

Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit $P(X=22)$ :

$P(X=22) \approx 0,089$

Grafik eines Taschenrechners mit Berechnung der binomialen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Abb. 1: Wahrscheinlichkeit berechnen

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ etwa $8,9\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Hierbei ist die Wahrscheinlichkeit $P(Y \geq 33)$ gesucht. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Gegenwahrscheinlichkeit wie folgt umschreiben:

$P(Y \geq33)= \dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit $P(Y \leq 32)$ kannst du mit dem binomialCDf-Befehl deines GTR bestimmen.

Den binomialCDf-Befehl findest du unter:

OPTN $\to$ F5: STAT $\to$ F3: DIST $\to$ F5: BINOMIAL $\to$ F1: Bcd

Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit $P(Y\leq 32)$ mit der unteren Grenze $0$ und der oberen Grenze $32$ :

$P(Y \geq33) \approx 0,0115$

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Mathematische Berechnung auf einem Taschenrechner mit Binomialverteilung.

Abb. 2: Wahrscheinlichkeit berechnen

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $B$ eintritt etwa $1,15\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

$p= 0,262$

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$P(C)=\dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Gehe hierbei zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten analog wie in den vorherigen Teilaufgaben vor. Es folgt mit deinem GTR:

$P(C) \approx 0,277$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $C$ eintritt etwa $27,7\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Anteil der Autos bestimmen

Die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 28)$ kannst du analog wie in der vorherigen Teilaufgabe wie folgt umschreiben:

$P(X\geq 28)= 1-P(X\leq 27)$

Den Wert für $p$ kannst du mit deinem GTR bestimmen. Benutze hierzu den Solve-Befehl deines GTR.

Den Solve-Befehl findest du unter:

OPTN $\to$ F4: CALC $\to$ F5: SolveN

Damit folgt für die Mindestwahrscheinlichkeit $p$ :

$p \approx 0,3526$

Screenshot eines mathematischen Berechnungsprogramms mit der Funktion SolveN und BinomialCD.

Abb. 3: Mindestwahrscheinlichkeit bestimmen

$\blacktriangleright$ Faires Spiel begründen

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit $p$ , dass ein Kind ein Gummibärchen gewinnt:

$p \approx 0,465$

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Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kind ein Gummibärchen gewinnt etwa $46,5\,\%$ und ist somit ungleich $50\,\%$ . Das bedeutet, dass das angegebene Spiel nicht fair ist.

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel ermitteln

Hierbei folgen für die Wahrscheinlichkeiten mit dem binomialCDf-Befehl deines GTR wie in der Teilaufgabe a) die Werte:

$P(X \geq 86)\approx 0,107$ und $P(X \geq 87)\approx 0,107$

Daraus folgt für die Grenze des Annahmebereichs:

$k=86$

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