Wahlteil C2

Bei dem dargestellten Glücksspielautomaten sind zwei Glücksräder $G_1$ und $G_2$ mit fünf bzw. vier gleich großen Kreissektoren angebracht.
Bei jedem Spiel werden sie in Drehung versetzt und laufen dann unabhängig voneinander aus. Schließlich bleiben sie so stehen, dass von jedem Rad genau eine Zahl im Rahmen angezeigt wird.
Der Spieleinsatz beträgt $2\,€$ . Sind die beiden angezeigten Zahlen gleich, so wird deren Summe in Euro ausgezahlt; andernfalls wird nichts ausgezahlt.
Der Hauptgewinn besteht also darin, dass $16\,€$ ausgezahlt werden.

Diagramm mit zwei Kreisen, die in Segmente unterteilt sind, beide zeigen die Zahl 2.

Abb. 1: Glücksspielautomat

Ein Spieler spielt zehn mal. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

$A$ : „Das Glücksrad $G_1$ zeigt genau fünf Mal die Zahl $1$ .“
$B$ : „Beim ersten Spiel beträgt die Summe der beiden angezeigten Zahlen $10$ .“
$C$ : „Der Spieler erhält mindestens einmal den Hauptgewinn.“

(3 P)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $95\,\%$ soll in mindestens einem Spiel der Hauptgewinn erzielt werden.
Berechne, wie oft du dazu mindestens spielen musst.

(2 P)

Berechne, wie viel der Betreiber auf lange Sicht durchschnittlich pro Spiel verdient.

(2 P)

Der Betreiber möchte erreichen, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal $25\,\%$ beträgt.
Dazu möchte er beim Glücksrad $G_2$ den Mittelpunktswinkel des Kreissektors verändern, der mit der Zahl $8$ beschriftet ist.
Berechne, wie weit der Mittelpunktswinkel dieses Kreissektors maximal gewählt werden darf.

(3 P)

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$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass das Glücksrad $G_1$ genau fünf Mal auf die Zahl $1$ zeigt. Dieses Ereignis wird hierbei mit $A$ bezeichnet. Du hast gegeben, dass der Spieler insgesamt zehn Mal spielt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad $G_1$ bei einer Drehung die Zahl $1$ anzeigt beträgt $p=\dfrac{2}{5}$ , da das Glücksrad aus insgesamt $5$ gleich großen Feldern besteht, wobei $2$ dieser Felder mit der Zahl $1$ beschriftet sind.

Du kannst hierbei die Anzahl der Drehungen, bei denen das Glücksrad auf die Zahl $1$ zeigt, mit der Zufallsvariable $X$ bezeichnen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ gesucht.

Die Zufallsvariable $X$ ist somit binomialverteilt mit der Wahrscheinlichkeit $p=\dfrac{2}{5}$ und der Gesamtzahl der Drehungen $n=10$ .

Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße kannst du mit dem binomialPDf-Befehl deines GTR berechnen.

Den binomialPDf-Befehl findest du unter:

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ A: binompdf

Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit:

$P(X=5) \approx 0,201$

Screenshot einer Berechnung mit der binomialen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auf einem Taschenrechner.

Abb. 1: Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ etwa $20,1\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass beim ersten Spiel die Summe der beiden angezeigten Zahlen $10$ beträgt. Dieses Ereignis wird mit $B$ bezeichnet. Betrachte somit alle möglichen Ereignisse, bei denen die Summe der angezeigten Zahlen genau $10$ ergibt.

Hierbei gibt es die Möglichkeiten, dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $2$ zeigt und das Glücksrad $G_2$ auf die Zahl $8$ oder dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $8$ zeigt und das Glücksrad $G_2$ entsprechend auf die Zahl $2$ .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad $G_1$ auf die Zahl $2$ zeigt beträgt $\dfrac{2}{5}$ und auf die Zahl $8$ entsprechend $\dfrac{1}{5}$ . Das Glücksrad $G_2$ zeigt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{2}{4}$ auf die Zahl $2$ und mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{4}$ auf die Zahl $8$ .

Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ eintritt:

$P(B)=0,2$