Wahlteil B2

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $A(6\mid3\mid 0), \; B(0\mid6\mid 0),\; C(3\mid0\mid 0),$ $\; D(6\mid3\mid 6),\; E(0\mid6\mid 6)$ und $F(3\mid0\mid 12).$

Die Punkte $D,\; E$ und $F$ liegen in der Ebene $L.$

Ermittle eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

(Teilergebnis: $L: 2 x_1+4 x_2+3 x_3=42)$

(2 VP)

BW Mathe Abi 2023 Analytische Geometrie Koerper

Bestimme die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_1 x_2$ -Ebene einschließt.

(1,5 VP)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ kann mit dem Term $6 \cdot 6-\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ berechnet werden.

Veranschauliche diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

(1,5 VP)

Berechne das Volumen des Körpers $ABCDEF.$

(1,5 VP)

Die Ebene $N_k$ enthält die $x_3$ -Achse und den Punkt $P_k(1-k\mid k\mid 0)$ mit $k \in \; ] 0 ; 1[.$

Welche Kanten des Körpers von $N_k$ geschnitten werden, ist abhängig von $k.$ Durchläuft $k$ alle Werte zwischen 0 und 1, so gibt es Bereiche $]a;b[,\;$ für die $N_k$ für alle Werte von $k \in ]a;b[\;$ jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet.

Bestimme den größten dieser Bereiche und gib die zugehörigen Kanten an.

(2 VP)

Auf der Kante $AD$ liegt der Punkt $Q,$ auf der Kante $BE$ der Punkt $R(0\mid 6\mid 2).$ Das Dreieck $FQR$ hat in $Q$ einen rechten Winkel.

Bestimme die $x_3$ -Koordinate von $Q.$

(2,5 VP)

Der Körper wird so um die Gerade $AB$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_1 x_2$ -Ebene liegt und dabei eine positive $x_2$ -Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:

Rechnungen anzeigen

Formuliere eine passende Aufgabenstellung und gib die Bedeutung von $S$ an.

(1,5 VP)

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Ein Normalenvektor von $L$ folgt mit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{DF} & \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\3\\0}\times \pmatrix{-3\\-3\\6}& \\[5pt] &=& \pmatrix{3\cdot 6-(-3)\cdot 0\\0\cdot (-3)-6\cdot (-6)\\(-6)\cdot (-3)-(-3)\cdot 3}& \\[5pt] &=& \pmatrix{18\\36\\27}& \\[5pt] &=& 9\cdot \pmatrix{2\\4\\3} \end{array}$

Einsetzen in die allgemeine Koordinatengleichung:

$L: 2\cdot x_1+4\cdot x_2+3\cdot x_3= c$

Durch Punktprobe mit $D$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 6+4\cdot 3+3\cdot 6&=& c& \\[5pt] 42 &=& c \end{array}$

Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform ist somit gegeben durch:

$L: 2x_1+4x_2+3x_3=42$

Ein Normalenvektor der $x_1x_2$ -Ebene ist beispielsweise $\overrightarrow{n_{1,2}}=\pmatrix{0\\0\\1}.$

Somit gilt:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 56,15^{\circ}$

Die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_1x_2$ -Ebene einschließt, beträgt somit ca. $56,15^{\circ}.$

Term veranschaulichen

Erklaerung Rechenansatz Flaecheninhalt Dreieck

Volumen berechnen

Flächeninhalt der Grundfläche:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& 6 \cdot 6-\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6& \\[5pt] &=& \dfrac{27}{2} \;[\text{FE}] \end{array}$

Der Körper kann unterteilt werden in ein dreiseitiges Prisma, dessen Grundfläche das Dreieck $ABC$ bildet, und eine dreiseitige Pyramide mit der Spitze $F$ , welche sich oberhalb des Prismas befindet.

Das Volumen des dreiseitigen Prismas ergibt sich mit:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Prisma}}&=& A_{ABC}\cdot h& \\[5pt] &=& \dfrac{27}{2} \cdot 6& \\[5pt] &=& 81 \;[\text{VE}] \end{array}$

Das Volumen der dreiseitigen Pyramide folgt durch:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Pyramide}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot A_{ABC} \cdot h &\\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{27}{2} \cdot 6 &\\[5pt] &=& 27 \;[\text{VE}] \end{array}$

Das Gesamtvolumen des Körpers ist also gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{\text{Prisma}}+A_{\text{Pyramide}}& \\[5pt] &=& 81+27& \\[5pt] &=& 108 \;[\text{VE}] \end{array}$

Es gibt zwei Bereiche, in denen immer jeweils die gleichen Kanten geschnitten werden.

Der erste Bereich liegt in der Abbildung links vom Punkt $A.$ Dort werden durch die Ebene jeweils die Kanten $\overline{AC}, \overline{DF}$ und $\overline{CB}$ geschnitten.

Der zweite Bereich liegt in der Abbildung rechts vom Punkt $A.$ Dort werden jeweils die Kanten $\overline{AB}, \overline{CB},\overline{DE}$ und $\overline{EF}$ geschnitten.

$P_k$ liegt genau dann auf der Strecke $\overline{OA},$ wenn gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x_{1_A}}{x_{2_A}}&=& \dfrac{x_{1_P}}{x_{2_P}} & \\[5pt] \dfrac{6}{3}&=& \dfrac{1-k}{k} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \\[5pt] 2k&=& 1-k &\quad \scriptsize \mid\; +k \\[5pt] 3k&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] k&=& \dfrac{1}{3} \end{array}$

Der größte Bereich ist somit Bereich 2, der die Kanten $\overline{AB}, \overline{CB},\overline{DE}$ und $\overline{EF}$ schneidet, mit $k\in\; \big] \frac{1}{3};1 \big[.$