Wahlteil A2

Aufgabe A 2.1

An einem Stausee wird der Zu- und Abfluss künstlich geregelt. Dabei wird die momentane Zuflussrate beschrieben durch die Funktion $z$ mit

$z(t)= 20 \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{12} \cdot t \right) +25 \, ; \, t\geq 0$ .

Die konstante Abflussrate wird beschrieben durch die Funktion $a$ mit

$a(t)= 19 \, ; \, t\geq 0$ .

( $t$ in Stunden seit Beobachtungsbeginn, $z(t)$ und $a(t)$ in $1.000 \, \frac{ \text{m}^3}{\text{h}}$ )

Zunächst werden die ersten $24$ Stunden nach Beobachtungsbeginn betrachtet.
Bestimme die minimale momentane Zuflussrate.
In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Stausee ab?
Bestimme die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge.

(4 P)

Zu Beobachtungsbeginn befinden sich $2.500.000\, \text{m}^3$ Wasser im See.
Bestimme die Wassermenge im Stausee $12$ Stunden nach Beobachtungsbeginn.
Begründe, dass die Wassermenge in jedem $24$ -Stunden-Zeitraum um $144.000 \, \text{m}^3$ zunimmt.
Welchen Wert müsste die konstante Abflussrate haben, damit nach Ablauf von $14$ Tagen die Wassermenge im Stausee $4.180.000 \, \text{m}^3$ betragen würde?

(5,5 P)

Aufgabe A 2.2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-9x^2+24x-14$ .

Die Gerade $g$ durch den Hochpunkt $H$ und den Tiefpunkt $T$ des Graphen von $f$ schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten $P$ und $Q$ .
Bestimme den prozentualen Anteil der Strecke $HT$ an der Strecke $PQ$ .

(4 P)

Begründe, dass die Steigung des Graphen von $f$ keine Werte kleiner als $-3$ annehmen kann.

(2 P)

Der Graph von $f$ und die Gerade $h$ mit der Gleichung $y=2$ schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert um die Gerade $h$ .
Berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

(2,5 P)

Eine Parallele zur $x$ -Achse schneidet aus dem Graphen von $f$ ein Kurvenstück aus, das den Tiefpunkt enthält. Die Endpunkte dieses Kurvenstücks haben den Abstand $2,5$ voneinander.
Bestimme eine Gleichung dieser Parallelen.

(2 P)

Aufgabe A 2.1

$\blacktriangleright$ Minimale momentane Zuflussrate bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die minimale momentane Zuflussrate bestimmen. Hierfür werden die ersten $24$ Stunden nach Beobachtungsbeginn betrachtet. Du hast außerdem gegeben, dass die momentane Zuflussrate durch die Funktion $z$ mit $z(t)=20 \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{12} \cdot t\right)+25$ mit $t\geq0$ gegeben ist.

$t$ bezeichnet hierbei die Zeit in Stunden und $z(t)$ die Abflussrate in $\dfrac{\text{m}^3}{\text{h}}$ .

Somit sollst du die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen der gegebenen Funktion bestimmen. Dies kannst du mit deinem GTR tun.

Lass dir dazu den Graphen anzeigen. Den Befehl für die Bestimmung von Tiefpunkten findest du unter:

2nd $\to$ Trace (Calc) $\to$ 3: minimum

An dem Funktionsgraphen kannst du erkennen, dass du hierbei keine Randextrema überprüfen musst. Du erhältst folgende Koordinaten:

$T(18 \mid 5)$

Graph einer Sinusfunktion mit Minimum, dargestellt auf einem Taschenrechner-Bildschirm.

Abb. 1: Tiefpunkt bestimmen

Somit beträgt die minimale momentane Zuflussrate $5.000 \,\dfrac{\text{m}^3}{\text{h}}$ .

$\blacktriangleright$ Zeitraum bestimmen

Du sollst bestimmen in welchem Zeitraum die Wassermenge im Stausee abnimmt. Dazu hast du die momentane Zuflussrate mit $z(t)=20 \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{12} \cdot t \right)+25$ und die konstante Abflussrate mit $a(t)=19$ gegeben. Du musst somit den Zeitraum bestimmen für den gilt, dass die Abflussrate größer als die Zuflussrate ist.

Zeichne dazu die beiden Funktionsgraphen mit deinem GTR und bestimme den Zeitraum, in dem die Funktionswerte der Funktion $a$ größer sind als die Funktionswerte der Funktion $z$ . Bestimme hierzu die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen.

Den Befehl für die Bestimmung von Schnittpunkten findest du unter:

2nd $\to$ Trace (Calc) $\to$ 5: intersect

Du erhältst folgende Koordinaten:

$S_1(13,2 \mid 19)$ und $S_2(22,8 \mid 19)$

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit einer horizontalen Linie und einer Schnittstelle.

Abb. 2: Schnittpunkt

Somit hast du gezeigt, dass die Abflussrate im Bereich von $13,2$ Stunden nach dem Beobachtungsbeginn bis $22,8$ Stunden größer als die Zuflussrate ist und damit die Wassermenge abnimmt.

$\blacktriangleright$ Maximale momentane Änderungsrate bestimmen

Du sollst die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge bestimmen. Hierzu musst du die Funktion $h(t)=z(t)-a(t)$ betrachten. Da diese Funktion die Änderung der Wassermenge beschreibt. Da du die maximale momentane Änderungsrate bestimmen sollst, musst du die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen der Funktion $h(t)$ bestimmen.

Zeichne dazu die Funktionen als Graph in deinem GTR.

Den Befehl für die Bestimmung von Hochpunkten findest du unter:

2nd $\to$ Trace (Calc) $\to$ 4: maximum

Du erhältst folgende Koordinaten:

$H(6 \mid 26)$

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit Maxima und Achsenbeschriftungen auf einem Taschenrechner-Display.

Abb. 3: Hochpunkt

Somit hast du gezeigt, dass die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge $26.000 \dfrac{\text{m}^3}{\text{h}}$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Wassermenge bestimmen

Du sollst die Wassermenge im Stausee $12$ Stunden nach Beobachtungsbeginn bestimmen. Zuvor hast du bereits gezeigt, dass die Änderungsrate der Wassermenge durch die Funktion $h(t)=z(t)-a(t)$ gegeben ist. Die Wassermenge entspricht hierbei dem Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen von $h$ .

Den Inhalt der Fläche unterhalb des Graphen kannst du mit einem Integral bestimmen. Die Grenzen für das Integral sind durch $0$ Stunden und $12$ Stunden gegeben. Du hast außerdem gegeben, dass sich zu Beobachtungsbeginn $2.500.000 \,\text{m}^3$ Wasser im See befindet.

Somit gilt für die Wassermenge $W$ nach $12$ Stunden mit deinem GTR:

$W \approx 2.724,8$

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Somit gilt, dass die Wassermenge $12$ Stunden nach Beobachtungsbeginn etwa $2.724.800 \, \text{m}^3$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Zunahme begünden

Du sollst begründen, dass die Wassermenge in jedem $24$ -Stunden-Zeitraum um $144.000 \text{m}^3$ zunimmt. Betrachte hierzu die Funktion $h(t)=z(t)-a(t)$ , welche die Änderungsrate der Wassermenge angibt. Durch Einsetzen der Funktionsgleichungen $z(t)=20 \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\cdot t \right)+25$ und $a(t)=19$ folgt für die Funktionsgleichung der Funktion $h$ :

$h(t)=\dotsc$

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Begründe anhand der Funktionsgleichung, dass die Zunahme der Wassermenge in jedem $24$ -Stunden-Zeitraum gleich bleibt und berechne anschließend die Zunahme der Wassermenge.

Die Funktionsgleichung der Funktion $h$ setzt sich aus einer Sinusfunktion zusammen. Die Sinusfunktion $\sin(t)$ ist eine $2 \pi$ periodische Funktion. Die Periode $p$ berechnet sich für die allgemeine Sinusfunktion $\sin(bx)$ durch die folgende Formel:

$p=\dfrac{2\cdot \pi}{|b|}$

Somit gilt für die Periode der Funktion $h$ :

$\begin{array}[t]{rll} p&=& \dfrac{2\cdot \pi}{|b|} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot \pi}{\left| \frac{\pi}{12} \right|} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot \pi}{ \frac{\pi}{12} } \\[5pt] &=& 24 \\[5pt] \end{array}$

Somit besitzt die Funktion $h$ eine Periode mit der Länge von $24$ Stunden und deshalb ist die Zunahme in jedem $24$ -Stunden-Zeitraum identisch.

Für die Zunahme der Wassermenge $V$ gilt mit dem Integral wie in der vorherigen Teilaufgabe mit deinem GTR und dem Zeitraum von $0$ Stunden bis $24$ Stunden:

$V=144$

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Somit nimmt die Wassermenge in jedem $24$ -Stunden-Zeitraum um $144.000 \text{ m}^3$ zu.

$\blacktriangleright$ Wert der konstanten Abflussrate bestimmen

Du sollst den Wert der konstanten Abflussrate so bestimmen, dass nach Ablauf von $14$ Tagen die Wassermenge im Stausee $4.180.000 \text{ m}^3$ betragen würde. Du hast gegeben, dass die Wassermenge zu Beobachtungsbeginn $2.500.000 \text{ m}^3$ beträgt. Daraus kannst du die Zunahme der Wassermenge nach $14$ Tagen berechnen.

Du hast außerdem gegeben, dass die Funktion für die Abflussrate konstant ist. Somit kannst du die Funktion für die Abflussrate gleich eine Unbekannte $k$ setzen. Somit gilt $a(t)=k$ . Du sollst nun den Wert für $k$ bestimmen, sodass nach Ablauf von $14$ Tagen die Wassermenge im Stausee $4.180.000 \text{ m}^3$ beträgt.

Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass für die Wassermenge $W$ nach $14 \cdot 24=336$ Stunden und $h(t)=z(t)-a(t)$ die folgende Gleichung gilt:

$W=10.900 -k\cdot 336$

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Die Gleichung kannst du somit mit der Wassermenge von $4.180.000 \text{ m}^3$ gleichsetzen. Beachte dabei, dass die Funktionswerte in der Einheit $1.000 \frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ angegeben sind.

$k=20$

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Somit beträgt die konstante Abflussrate $20.000 \frac{\text{ m}^3}{\text{h}}$ .

Aufgabe A 2.2

$\blacktriangleright$ Prozentualen Anteil bestimmen

Du sollst den prozentualen Anteil der Strecke $HT$ an der Strecke $PQ$ bestimmen. Hierfür hast du die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-9x^2+24x-14$ gegeben. Außerdem hast du gegeben, dass die Gerade $g$ durch den Hochpunkt $H$ und den Tiefpunkt $T$ des Graphen verläuft. Die Gerade $g$ schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten $P$ und $Q$ .

Gehe somit wie folgt vor:

Bestimme die Koordinaten des Hochpunktes $H$ und des Tiefpunktes $T$ des Graphen von $f$ .
Bestimme die Geradengleichung für $g$ .
Bestimme die Schnittpunkte $P$ und $Q$ der Geraden $g$ mit den Koordinatenachsen.
Bestimme die Längen der Strecken $HT$ und $PQ$ .
Bestimme den prozentualen Anteil der Strecke $HT$ an der Strecke $PQ$ .

1. Schritt: Koordinaten der Hoch-und Tiefpunkte bestimmen

Bestimme die Koordinaten des Hochpunktes und des Tiefpunktes mit deinem GTR. Gehe dazu wie in der Aufgabe 2.1 vor. Zeichne den Graphen für die Funktion $f$ in deinem Grafik-Modus und bestimme anschließend die Koordinaten des Hochpunktes und des Tiefpunktes. Wähle dazu einen geeigneten Bereich in deinem GTR. Es folgen die Koordinaten:

$H(2 \mid 6)$ und $T(4 \mid 2)$

2. Schritt: Geradengleichung bestimmen

Du hast gegeben, dass die Gerade $g$ durch die Punkte $H$ und $T$ verläuft. Zuvor hast du bereits die Koordinaten der Punkte $H$ und $T$ bestimmt. Für die Zwei-Punkte-Form einer Geradengleichung gilt folgende Formel:

$y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1$

Somit folgt für die Geradengleichung der Geraden $g$ mit den Punkten $H(2 \mid 6)$ und $T(4 \mid 2)$ :

$y=-2x+10$

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Somit gilt für die Geradengleichung $g: y=-2x +10$ .

3. Schritt: Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen

Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden $g$ und den Koordinatenachsen bestimmen. Für den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der $y$ -Achse gilt $x=0$ und für den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse $y=0$ . Setze somit die jeweilige Koordinate in der Geradengleichung gleich Null und bestimme die übrigen Koordinaten. Alternativ kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen mit deinem GTR berechnen.

Für den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse gilt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -2x +10 \\[5pt] &=& -2\cdot 0 +10 \\[5pt] &=& 10 \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgen für den Schnittpunkt $P$ der Geraden $g$ mit der $y$ -Achse die Koordinaten $P(0 \mid 10)$ .

Für den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse folgt entsprechend:

$x=5$

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Somit gelten für den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse die Koordinaten $Q(5 \mid 0)$ .

4. Schritt: Länge der Strecken bestimmen

Die Länge der Strecke zwischen zwei Punkten $(x_1 \mid y_1)$ und $(x_2 \mid y_2)$ kannst du durch die folgende Formel berechnen:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Somit gilt für die Länge der Strecke $PQ$ mit $P(0 \mid 10)$ und $Q(5 \mid 0)$ :

$\begin{array}[t]{rll} d_{PQ}&=&\sqrt{(5-0)^2+(0-10)^2} \\[5pt] &=& 5 \cdot \sqrt{5} \\[5pt] \end{array}$

Für die Länge der Strecke $HT$ gilt entsprechend mit $H(2 \mid 6)$ und $T(4 \mid 2)$ :

$\begin{array}[t]{rll} d_{HT}&=&\sqrt{(4-2)^2+(2-6)^2} \\[5pt] &=& 2 \cdot \sqrt{5} \\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Prozentualen Anteil bestimmen

Du sollst den prozentualen Anteil $p$ der Strecke $HT$ an der Strecke $PQ$ bestimmen. Teile dazu die Länge der Strecke $HT$ durch die Länge der Strecke $PQ$ . Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{d_{HT}}{d_{PQ}}\\[5pt] &=&\dfrac{2 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt{5}}\\[5pt] &=&\dfrac{2}{5}\\[5pt] &=& 0,4\\[5pt] \end{array}$

Somit beträgt der prozentuale Anteil $40\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Steigung begründen

In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Steigung des Graphen von $f$ keine Werte kleiner als $-3$ annehmen kann. Hierbei ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-9x^2+24x-14$ gegeben. Berechne zuerst die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion $f‘$ . Anschließend kannst du den Graphen der Ableitungsfunktion in deinem GTR zeichnen und wie in Aufgabe 2.1 die Koordinaten des Tiefpunktes bestimmen.

Für die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&x^3-9x^2+24x-14\\[5pt] f‘(x)&=& 3x^2 -18x + 24 \end{array}$

Hierzu kannst du den Graphen der Funktion $f‘(x)$ mit deinem GTR zeichnen und anschließend die Koordinaten des Tiefpunktes bestimmen. Für den Tiefpunkt des Funktionsgraphen gelten die Koordinaten $(3 \mid -3)$ . Dies entspricht hierbei den Koordinaten des Scheitelpunktes einer nach oben geöffneten Parabel. Damit hast du gezeigt, dass die Funktionswerte der Ableitungsfunktion $f‘$ keine Werte kleiner als $-3$ annehmen können.

$\blacktriangleright$ Volumen des Rotationskörpers bestimmen

Du sollst das Volumen des entstehenden Rotationskörpers bestimmen. Hierfür hast du gegeben, dass der Graph von $f$ und die Gerade $h$ mit der Gleichung $y=2$ eine Fläche einschließen und diese Fläche um die Gerade $h$ rotiert. Bestimme zuerst die Differenzfunktion $d(x)=f(x)-h(x)$ der Funktion $f$ und der Geraden $h.$

Der Graph der Differenzfunktion schließt hierbei die gleiche Fläche mit der $x$ -Achse ein, wie der Graph von $f$ zusammen mit der Geraden $h$ . Somit kannst du auch die eingeschlossene Fläche der Differenzfunktion um die $x$ -Achse rotieren lassen und das gesuchte Volumen berechnen.

Für das Rotationsvolumen, welches durch Rotation um die $x$ -Achse mit dem Graphen von der Funktion $d$ und den Grenzen $a$ und $b$ entsteht, gilt die folgende Formel:

$V=\pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(d(x))^2\;\mathrm dx$

Da die Fläche, welche durch den Graphen von $d$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird, rotiert musst du als Grenzen die Nullstellen des Graphen von $d$ wählen. Berechne also zuerst die Nullstellen des Graphen von $d$ und anschließend das Rotationsvolumen mit den bestimmten Grenzen.

Für die Funktionsgleichung der Differenzfunktion gilt mit $f(x)=x^3-9x^2+24x-14$ und der Geraden $h$ mit $y=2$ :

$d(x)=\dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Nullstellen des Graphen von $d$ kannst du mit deinem GTR bestimmen.

Lass dir dazu den Graphen anzeigen. Den Befehl für die Bestimmung von Nullstellen findest du unter:

2nd $\to$ Trace (Calc) $\to$ 2: zero

Wähle hierzu einen geeigneten Bereich zur Bestimmung der Koordinaten der Nullstellen. Du erhältst folgende $x$ -Koordinaten:

$x_1=1$ und $x_2=4$

Graph einer Funktion in pink mit Achsen und Werten auf einem Taschenrechner-Bildschirm.

Abb. 4: Nullstelle

Damit kannst du die Grenzen zur Bestimmung des Rotationsvolumens einsetzen und es folgt mit deinem GTR:

$V \approx 65,43$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit beträgt das Rotationsvolumen etwa $65,43 \text{ VE}$ .

$\blacktriangleright$ Gleichung der Parallelen bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung einer Parallelen bestimmen. Du hast gegeben, dass die Parallele zur $x$ -Achse aus dem Graphen von $f$ ein Kurvenstück ausschneidet, welches den Tiefpunkt enthält. Außerdem hast du gegeben, dass die Endpunkte dieses Kurvenstücks den Abstand $2,5$ voneinander haben.

Da du gegeben hast, dass die Parallele parallel zur $x$ -Achse ist, weißt du, dass die Funktionsgleichung der Parallelen die Form $y=a$ besitzt, wobei $a$ eine Unbekannte ist. Damit folgt, dass die Endpunkte des Kurvenstücks, welches den Tiefpunkt enthält, die gleiche $y$ -Koordinate $a$ besitzen müssen. Außerdem weißt du, dass die Endpunkte den Abstand $2,5$ voneinander haben. Daraus folgt, dass die $x$ -Koordinaten der Endpunkte genau $2,5$ Längeneinheiten voneinander entfernt sind.

Dadurch muss die Gleichung $f(x)=f(x+2,5)=a$ mit $f(x)=x^3-9x^2+24x-14$ gelten. Daraus kannst du die $x$ -Koordinaten der Kurvenendpunkte bestimmen und anschließend die Unbekannte $a$ .

Mit der Gleichung $f(x)=f(x+2,5)$ folgt mit dem Solve-Befehl deines GTR für die Lösungen von $x$ :

$x_1 \approx 1,06$ und $x_2 \approx 2,44$

In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits die Koordinaten des Tiefpunktes $T(4 \mid 2)$ bestimmt. Du hast gegeben, dass des ausgeschnittene Kurvenstück den Tiefpunkt enthalten muss. Somit muss die $x$ -Koordinate des Tiefpunktes im Intervall $[x; x+2.5]$ liegen. Für $x_1 \approx 1,06$ und $x_2 \approx 2,44$ gelten die Intervalle $[1,06;3,56]$ und $[2,44;4,94]$ . Somit liegt der Tiefpunkt nur im Intervall $[2,44;4,94]$ und damit ist die Lösung $x_2 \approx 2,44$ gesucht.

Mit der Gleichung $f(x_2)=a$ kannst du die Unbekannte $a$ bestimmen. Mit dem Solve-Befehl deines GTR folgt für $a$ :

$a \approx 5,50$

Somit gilt für die Funktionsgleichung der Parallelen $y\approx 5,50$ .

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Aufgabe A 2.1

$\blacktriangleright$ Minimale momentane Zuflussrate bestimmen

$t$ bezeichnet hierbei die Zeit in Stunden und $z(t)$ die Abflussrate in $\dfrac{\text{m}^3}{\text{h}}$ .

Somit sollst du die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen der gegebenen Funktion bestimmen. Dies kannst du mit deinem GTR tun.

Lass dir dazu den Graphen anzeigen. Den Befehl für die Bestimmung von Tiefpunkten findest du unter:

F5: G-Solv $\to$ F3: Min

An dem Funktionsgraphen kannst du erkennen, dass du hierbei keine Randextrema überprüfen musst. Du erhältst folgende Koordinaten:

$T(18 \mid 5)$

Graph einer Sinusfunktion mit Koordinaten und Minima in einem grafischen Benutzerinterface.

Abb. 1: Tiefpunkt

Somit beträgt die minimale momentane Zuflussrate $5.000 \,\dfrac{\text{m}^3}{\text{h}}$ .

$\blacktriangleright$ Zeitraum bestimmen

Den Befehl für die Bestimmung von Schnittpunkten findest du unter:

F5: G-Solv $\to$ F5: INTSECT

Du erhältst folgende Koordinaten:

$S_1(13,2 \mid 19)$ und $S_2(22,8 \mid 19)$

Graph einer sinusförmigen Funktion mit horizontaler roter Linie und markierten Punkten.

Abb. 2: Schnittpunkte

Somit hast du gezeigt, dass die Abflussrate im Bereich von $13,2$ Stunden nach dem Beobachtungsbeginn bis $22,8$ Stunden größer als die Zuflussrate ist und damit die Wassermenge abnimmt.

$\blacktriangleright$ Maximale momentane Änderungsrate bestimmen

Zeichne dazu die Funktionen als Graph in deinem GTR.

Den Befehl für die Bestimmung von Hochpunkten findest du unter:

F5: G-Solv $\to$ F2: Max

Du erhältst folgende Koordinaten:

$H(6 \mid 26)$

Grafik mit zwei Kurven in rot und blau, die Koordinaten und Achsenbeschriftungen zeigen.

Abb. 3: Hochpunkt

Somit hast du gezeigt, dass die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge $26.000 \dfrac{\text{m}^3}{\text{h}}$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Wassermenge bestimmen

Somit gilt für die Wassermenge $W$ nach $12$ Stunden mit deinem GTR:

$W \approx 2.724,8$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit gilt, dass die Wassermenge $12$ Stunden nach Beobachtungsbeginn etwa $2.724.800 \, \text{m}^3$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Zunahme begünden

$h(t)=\dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Begründe anhand der Funktionsgleichung, dass die Zunahme der Wassermenge in jedem $24$ -Stunden-Zeitraum gleich bleibt und berechne anschließend die Zunahme der Wassermenge.

$p=\dfrac{2\cdot \pi}{|b|}$

Somit gilt für die Periode der Funktion $h$ :

$\begin{array}[t]{rll} p&=& \dfrac{2\cdot \pi}{|b|} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot \pi}{\left| \frac{\pi}{12} \right|} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot \pi}{ \frac{\pi}{12} } \\[5pt] &=& 24 \\[5pt] \end{array}$

Somit besitzt die Funktion $h$ eine Periode mit der Länge von $24$ Stunden und deshalb ist die Zunahme in jedem $24$ -Stunden-Zeitraum identisch.

Für die Zunahme der Wassermenge $V$ gilt mit dem Integral wie in der vorherigen Teilaufgabe mit deinem GTR und dem Zeitraum von $0$ Stunden bis $24$ Stunden:

$V=144$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit nimmt die Wassermenge in jedem $24$ -Stunden-Zeitraum um $144.000 \text{ m}^3$ zu.

$\blacktriangleright$ Wert der konstanten Abflussrate bestimmen

Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass für die Wassermenge $W$ nach $14 \cdot 24=336$ Stunden und $h(t)=z(t)-a(t)$ die folgende Gleichung gilt:

$W=\dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Gleichung kannst du somit mit der Wassermenge von $4.180.000 \text{ m}^3$ gleichsetzen und die Lösung mit dem Solve-Befehl deines GTR bestimmen. Beachte dabei, dass die Funktionswerte in der Einheit $1.000 \frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ angegeben sind.

Den Solve-Befehl findest du unter:

OPTN $\to$ F4: CALC $\to$ F5: SolveN

Du erhältst folgenden Wert für $k$ :

$k = 20$

Bildschirmansicht einer mathematischen Software mit einer Gleichung zur Lösung.

Abb. 4: Gleichung lösen

Somit beträgt die konstante Abflussrate $20.000 \frac{\text{ m}^3}{\text{h}}$ .

Aufgabe A 2.2

$\blacktriangleright$ Prozentualen Anteil bestimmen

Gehe somit wie folgt vor:

Bestimme die Koordinaten des Hochpunktes $H$ und des Tiefpunktes $T$ des Graphen von $f$ .
Bestimme die Geradengleichung für $g$ .
Bestimme die Schnittpunkte $P$ und $Q$ der Geraden $g$ mit den Koordinatenachsen.
Bestimme die Längen der Strecken $HT$ und $PQ$ .
Bestimme den prozentualen Anteil der Strecke $HT$ an der Strecke $PQ$ .

1. Schritt: Koordinaten der Hoch-und Tiefpunkte bestimmen

$H(2 \mid 6)$ und $T(4 \mid 2)$

2. Schritt: Geradengleichung bestimmen

$y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) +y_1$

Somit folgt für die Geradengleichung der Geraden $g$ mit den Punkten $H(2 \mid 6)$ und $T(4 \mid 2)$ :

$y=-2x+10$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit gilt für die Geradengleichung $g: y=-2x +10$ .

3. Schritt: Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen

Für den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse gilt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -2x +10 \\[5pt] &=& -2\cdot 0 +10 \\[5pt] &=& 10 \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgen für den Schnittpunkt $P$ der Geraden $g$ mit der $y$ -Achse die Koordinaten $P(0 \mid 10)$ .

Für den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse folgt entsprechend:

$x=5$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit gelten für den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse die Koordinaten $Q(5 \mid 0)$ .

4. Schritt: Länge der Strecken bestimmen

Die Länge der Strecke zwischen zwei Punkten $(x_1 \mid y_1)$ und $(x_2 \mid y_2)$ kannst du durch die folgende Formel berechnen:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Somit gilt für die Länge der Strecke $PQ$ mit $P(0 \mid 10)$ und $Q(5 \mid 0)$ :

$\begin{array}[t]{rll} d_{PQ}&=&\sqrt{(5-0)^2+(0-10)^2} \\[5pt] &=& 5 \cdot \sqrt{5} \\[5pt] \end{array}$

Für die Länge der Strecke $HT$ gilt entsprechend mit $H(2 \mid 6)$ und $T(4 \mid 2)$ :

$\begin{array}[t]{rll} d_{HT}&=&\sqrt{(4-2)^2+(2-6)^2} \\[5pt] &=& 2 \cdot \sqrt{5} \\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Prozentualen Anteil bestimmen

Du sollst den prozentualen Anteil $p$ der Strecke $HT$ an der Strecke $PQ$ bestimmen. Teile dazu die Länge der Strecke $HT$ durch die Länge der Strecke $PQ$ . Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{d_{HT}}{d_{PQ}}\\[5pt] &=&\dfrac{2 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt{5}}\\[5pt] &=&\dfrac{2}{5}\\[5pt] &=& 0,4\\[5pt] \end{array}$

Somit beträgt der prozentuale Anteil $40\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Steigung begründen

Für die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&x^3-9x^2+24x-14\\[5pt] f‘(x)&=& 3x^2 -18x + 24 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Volumen des Rotationskörpers bestimmen

Für das Rotationsvolumen, welches durch Rotation um die $x$ -Achse mit dem Graphen von der Funktion $d$ und den Grenzen $a$ und $b$ entsteht, gilt die folgende Formel:

$V=\pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(d(x))^2\;\mathrm dx$

Für die Funktionsgleichung der Differenzfunktion gilt mit $f(x)=x^3-9x^2+24x-14$ und der Geraden $h$ mit $y=2$ :

$d(x)=\dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Nullstellen des Graphen von $d$ kannst du mit deinem GTR bestimmen.

Lass dir dazu den Graphen anzeigen. Den Befehl für die Bestimmung von Nullstellen findest du unter:

F5: G-Solv $\to$ F1: ROOT

Wähle hierzu einen geeigneten Bereich zur Bestimmung der Koordinaten der Nullstellen. Du erhältst folgende $x$ -Koordinaten:

$x_1=1$ und $x_2=4$

Graph einer Funktion mit x- und y-Achse, gekennzeichneten Punkten und einem blauen Verlauf.

Abb. 5: Nullstellen

Damit kannst du die Grenzen zur Bestimmung des Rotationsvolumens einsetzen und es folgt mit deinem GTR:

$V \approx 65,43$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit beträgt das Rotationsvolumen etwa $65,43 \text{ VE}$ .

$\blacktriangleright$ Gleichung der Parallelen bestimmen

Dadurch muss die Gleichung $f(x)=f(x+2,5)=a$ mit $f(x)=x^3-9x^2+24x-14$ gelten. Daraus kannst du die $x$ -Koordinaten der Kurvenendpunkte bestimmen und anschließend die Unbekannte $a$ .

Mit der Gleichung $f(x)=f(x+2,5)$ folgt mit dem Solve-Befehl deines GTR für die Lösungen von $x$ :

$x_1 \approx 1,06$ und $x_2 \approx 2,44$

Mit der Gleichung $f(x_2)=a$ kannst du die Unbekannte $a$ bestimmen. Mit dem Solve-Befehl deines GTR folgt für $a$ :

$a \approx 5,50$

Somit gilt für die Funktionsgleichung der Parallelen $y\approx 5,50$ .

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