Wahlaufgaben

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=a \cdot x^2.$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \mid f_{\frac{1}{2}}(4)\right).$

Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an.

(1 BE)

Weise nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(u \mid f_a(u))$ die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid -f_a(u))$ schneidet.

(4 BE)

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen einer Funktion $f$ sowie ihrer Umkehrfunktion $\overline{f}.$ $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$

Graph f Umkehrfunktion Baden Wuerttemberg Mathe Abi 2024

Die Punkte $P(4 \mid 2)$ und $Q(6 \mid 3)$ liegen auf dem Graphen von $\overline{f}.$

Begründe mit Hilfe geeigneter Eintragungen in der Abbildung, dass der Inhalt der markierten Fläche durch $10-(F(3)-F(2))$ berechnet werden kann.

(5 BE)

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung).

Die Eckpunkte $A(1\mid 2\mid 1),$ $B,$ $C(-3\mid -6\mid 9)$ und $D$ des Oktaeders liegen in der Ebene $H$ mit der Gleichung $2x_1+x_2+2 x_3=6$ .

Weise nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.

(2 BE)

Bestimme die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in $H$ liegen.

(3 BE)

Gegeben ist die Schar der Geraden $g_k: \overrightarrow{x}=\pmatrix{k\\-4k\\k}+\mu \cdot\pmatrix{4\\8\\1}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $k \in \mathbb{R}.$

Begründe, dass alle Geraden der Schar parallel zueinander sind.

(1 BE)

Betrachtet wird das Quadrat mit folgenden Eigenschaften:

Die Punkte $O(0\mid 0\mid 0)$ und $P(11\mid 4\mid 5)$ sind Eckpunkte des Quadrats.
Zwei Seiten des Quadrats liegen auf Geraden der Schar.

Weise nach, dass $O$ und $P$ keine benachbarten Eckpunkte dieses Quadrats sind.

(4 BE)

Die drei nicht sichtbaren Seiten des abgebildeten Würfels sollen jeweils mit einer der Zahlen 3, 4, 5 oder 6 beschriftet werden. Dabei können Zahlen auch mehrfach verwendet werden.

Nach der Beschriftung soll der Würfel folgende Eigenschaften haben:

Beim einmaligen Werfen ist der Erwartungswert für die erzielte Zahl gleich 4.
Auf den sechs Seiten des Würfels kommen genau drei verschiedene Zahlen vor.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, beträgt $\dfrac{1}{2}.$

Untersuche, ob es möglich ist, die nicht sichtbaren Seiten des Würfels so zu beschriften, dass er alle drei Eigenschaften besitzt.

(5 BE)

Bei einem Zufallsexperiment gilt für zwei Ereignisse $A$ und $B:$

$P(A \cap B)=3 x \;$ mit $\; x\gt 0$
$P(\overline{A} \cap B)=P(\overline{A}\cap \overline{B})$
$P_B(A)=\dfrac{3}{4}$

Stelle den beschriebenen Zusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel da und begründe, dass $x\leq \dfrac{1}{5}$ gelten muss.

(5 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Aus der Abbildung kann die Steigung $m=4$ sowie der $y$ -Achsenabschnitt bei $y=-8$ der Tangente abgelesen werden.

Eine Gleichung der Tangente ist somit $y=4x-8.$

$y$ -Koordinate angeben:

$f_a(u)=au^2$

Ableitung von $f_a$ bestimmen:

$\(f_a$

Die Steigung $m$ der Tangente an der Stelle $u$ ergibt sich also mit:

$\(m=f_a$

Einsetzen der Steigung sowie der Koordinaten des Punktes $(u\mid au^2)$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t: \quad y&=& m\cdot x+c& \\[5pt] au^2&=&2au\cdot u + c &\quad \scriptsize \mid\;-2au^2 \\[5pt] -au^2&=& c \end{array}$

Somit schneidet die Tangente die $y$ -Achse an der Stelle $c=-au^2=-f_a(u)$ und folglich im Punkt $(0\mid-f_a(u)).$

Da der Graph von $\overline{f}$ durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der ersten Winkelhalbierenden hervorgeht, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A^*& \\[5pt] &=& 4+\displaystyle\int_{2}^{3}(6-f(x))\;\mathrm dx& \\[5pt] &=& 4+6-[F(x)]_2^3& \\[5pt] &=& 10-(F(3)-F(2)) \end{array}$

Umkehrfunktion Flaecheninhalt Baden Wuerttemberg Mathe Abi 2024

Die Kantenlänge des Würfels entspricht der Strecke $\overline{AC}.$ Für diese gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-3\\-6\\9}-\pmatrix{1\\2\\1}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{-4\\-8\\8}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2} \\[5pt] &=&\sqrt{144} \\[5pt] &=& 12 \;[\,\text{LE}] \end{array}$

Punkte, die nicht in $H$ liegen, sind die obere bzw. die untere Spitze des Oktaeders und liegen senkrecht über dem Mittelpunkt von $ABCD.$

Für den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AC}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\2\\1}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{-4\\-8\\8} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\-2\\5} \end{array}$

Aus der Ebenengleichung von $H$ kann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\1\\2}$ abgelesen werden. Dieser steht senkrecht zur Ebene $H$ und besitzt die Länge:

$\begin{array}[t]{rll} \vert\overrightarrow{n}\vert&=& \sqrt{2^2+1^2+2^2} & \\[5pt] &=& \sqrt{9} & \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Da die Kantenlänge des Würfels $12$ beträgt, ist der Abstand des gesuchten Eckpunktes des Oktaeders zu $M$ durch 6 Längeneinheiten, also der doppelten Länge des Normalenvektors, gegeben.

Ein möglicher Ortsvektor der oberen Spitze $S$ folgt also mit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \overrightarrow{OM}+2\cdot\overrightarrow{n}& \\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\-2\\5}+2\cdot\pmatrix{2\\1\\2}& \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\0\\9} \end{array}$

Mögliche Koordinaten für den gesuchten Punkt sind somit gegeben durch $(3\mid0\mid9).$

Der Richtungsvektor der Geradenschar hängt nicht von $k$ ab, somit sind alle Geraden der Schar parallel zueinander.

Falls die Punkte $O$ und $P$ benachbarte Eckpunkte wären, könnten sie entweder auf der gleichen Geraden der Geradenschar liegen, oder auf zwei unterschiedlichen. In ersten Fall muss $\overrightarrow{OP}$ ein Vielfaches von dem Richtungsvektor der Geradenschar sein. Das liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&11&=&4s \\ \text{II}\quad&4&=&8s \\ \text{III}\quad&5&=&s \\ \end{array}$

Einsetzen der Lösung $s=5$ aus Gleichung $\text{III}$ in Gleichung $\text{I}$ ergibt $11=4\cdot5=20,$ was einen Widerspruch liefert. Somit besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, das heißt $O$ und $P$ sind keine benachbarten Eckpunkte, die auf derselben Gerade der Schar liegen.

Im zweiten Fall muss $\overrightarrow{OP}$ orthogonal zum Richtungsvektor der Geradenschar liegen. Überprüfen ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{11\\4\\5}\circ\pmatrix{4\\8\\1}&=&11\cdot4+4\cdot8+5\cdot1 \\[5pt] &=&44+32+5 \\[5pt] &=&81\neq 0 \end{array}$

Somit sind $O$ und $P$ auch keine benachbarten Eckpunkte, die auf verschiedenen Geraden der Schar liegen. Damit können $O$ und $P$ insgesamt keine benachbarten Eckpunkte des Quadrats sein.

Aus dem angegebenen Erwartungswert von 4 ergibt sich für die Summe der drei Zahlen auf den nicht sichtbaren Seiten folgender Wert:

$\begin{array}[t]{rll} E&=& 4& \\[5pt] \dfrac{1}{6}\cdot (5+5+1+a+b+c)&=& 4&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 6\\[5pt] 11+a+b+c&=& 24&\quad \scriptsize \mid\; -11\\[5pt] a+b+c&=& 13 \end{array}$

Werden diese mit den Zahlen 3, 5 und 5 beschriftet, treffen die ersten zwei Aussagen zu.

Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, folgt außerdem:

$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& P(5,5)+P(3,3)+P(1,1)& \\[5pt] &=& \dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}& \\[5pt] &=& \dfrac{18}{36}& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

Der Würfel kann somit mit den Zahlen 3,5 und 5 beschriftet werden, sodass er die drei Eigenschaften besitzt.

	$\color{#fff}{B}$	$\color{#fff}{\overline{B}}$	Gesamt
$\color{#fff}{A}$	$3x$	$1-5x$	$1-2x$
$\color{#fff}{\overline{A}}$	$x$	$x$	$2x$
Gesamt	$4x$	$1-4x$	1

Es muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(A \cap \overline{B})&\geq &0 & \\[5pt] 1-5x&\geq &0 &\quad \scriptsize \mid\; +5x \quad \scriptsize \mid\;:5\\[5pt] \dfrac{1}{5}&\geq& x \end{array}$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?