Pflichtteil 1

Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen $f$ mit $f(x) = 4 - \dfrac{4}{x^2}$ und $g$ mit $g(x) = 15-3x^2 , x\gt0$ , sowie die Gerade mit der Gleichung $x=1$ .

Zeige, dass sich die Graphen von $f$ und $g$ an der Stelle $x_0=2$ schneiden.

(0,5 VP)

Berechne den Inhalt der markierten Fläche.

(2 VP)

Aufgabe 2

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$ , wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
Die folgende Abbildung zeigt den Graphen $G_F$ von $F$ .

funktionswert, tangente, abbildung, stammfunktion, ableitung

Bestimme den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx$ .

(1 VP)

Bestimme den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x_0=1$ . Veranschauliche dein Vorgehen in der Abbildung.

(1,5 VP)

Aufgabe 3

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $f_k(x)=x^4+(2-k) \cdot x^3-k \cdot x^2$ mit $k \in \mathbb\ \mathbb{R}$ .

Begründe, dass der Graph von $f_2$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist.

(0,5 VP)

Es gibt einen Wert von $k$ , für den $x_W=1$ eine Wendestelle von $f_k$ ist.
Berechne diesen Wert von $k$ .

(2 VP)

Aufgabe 4

Ermittle eine Gleichung derjenigen quadratischen Funktion $g$ , die die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Der Graph von $g$ schneidet die Gerade mit der Gleichung $y=\dfrac{1}{4}x+1$ im Punkt $P(0\mid1)$ unter einem rechten Winkel.
Die $x$ - und $y$ -Koordinate des Extrempunkts des Graphen von $g$ stimmen überein.

(2,5 VP)

Aufgabe 5

Gegeben sind die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{7\\3\\3}+r \cdot \pmatrix{3\\0\\-1},r\in \mathbb\ \mathbb{R},$ und die Ebene $E:3x_1-x_3=-2$ .

Begründe, dass $g$ orthogonal zu $E$ ist.

(0,5 VP)

Die Geraden $h:\overrightarrow{x}=\pmatrix{7\\3\\3}+s \cdot \pmatrix{1\\2\\3},s\in \mathbb\ \mathbb{R}$ , hat mit $E$ keinen gemeinsamen Punkt.

Es gibt Geraden, die in $E$ liegen und parallel zu $h$ verlaufen.
Bestimme eine Gleichung derjenigen dieser Graden, die von $h$ den kleinsten Abstand hat.

(2 VP)

Aufgabe 6

Wird der Punkt $P(1\mid 2\mid3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(7\mid 2\mid11).$

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(1,5 VP)

Auf der Gerade durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E;$ dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$ . Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$ . Bestimme die Koordinaten von $R$ .

(1 VP)

Aufgabe 7

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p=0,5.$
Sie hat den Erwartungswert $\mu =18$ .

Bestimme den Wert von $n$ und die Standardabweichung von $X$ .

(1,5 VP)

Entscheide, ob $P(X=14)\lt P(X=22)$ ist, und begründe deine Entscheidung.

(1 VP)

Aufgabe 8

Für ein Spiel wird ein Behälter mit 100 Kugeln gefüllt. Dafür stehen rote und blaue Kugeln zur Verfügung. Vor jedem Spiel legt der Spieler die Anzahl der blauen Kugeln im Behälter fest. Anschließend wird dem Behälter eine Kugel zufällig entnommen. Ist diese Kugel rot, so wird dem Spieler die festgelegte Anzahl blauer Kugeln in Cent ausgezahlt; ist die Kugel blau, so beträgt die Auszahlung 10 Cent. Ermittle, wie der Spieler die Anzahl blauer Kugeln für ein Spiel festlegen muss, damit der Erwartungswert der Auszahlung möglichst groß ist.

(2,5 VP)

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Lösung 1

$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=& 4-\dfrac{4}{2^2}& \\[5pt] &=& 4-\dfrac{4}{4}& \\[5pt] &=& 4-1& \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} g(2)&=& 15-3\cdot2^2 & \\[5pt] &=& 15-3\cdot4 & \\[5pt] &=& 15-12 & \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Aus $f(2)=g(2)=3$ folgt, dass sich die beiden Graphen $f(x)$ und $g(x)$ im Punkt $(2\mid 3)$ schneiden.

Durch die Gerade $x=1$ und die Schnittstelle $x=2$ der beiden Graphen von $f(x)$ und $g(x)$ ergeben sich die Grenzen des Integrals.

Rechenweg anzeigen

$A=6 \, [\text{FE}]$

Lösung 2

An $G_F$ können die Funktionswerte an den Stellen $x_1=1$ und $x_2=7$ abgelesen werden. Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx&=& F(7)-F(1)&\ \\[5pt] &=& 5-1&\ \\[5pt] &=& 4 \, [\text{FE}] \end{array}$

$\(f(1)=F$

Bestimmung von $\(F$ durch das Einzeichnen der Tangente am Punkt $(1\mid1)$ :

Durch das Ablesen der Tangentensteigung ergibt sich: $\(F$

Lösung 3

$f_2 (x)=x^4-2x^2$

Da der Funktionsterm $f_2(x)$ nur aus Potenzen mit geraden Exponenten besteht, ist der Graph von $f_2$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.

1. Schritt: Erste und zweite Ableitung von $f_k$ bilden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

Es soll $\(f$ an der Stelle $x=1$ gelten, daraus folgt:

Rechenweg anzeigen

$k=3$

Da vorausgesetzt ist, dass bei $x=1$ eine Wendestelle existiert, muss die hinreichende Bedingung für Wendestellen nicht mehr geprüft werden.

Lösung 4

Quadratische Funktionsgleichung: $g(x)=ax^2+bx+c$

1. Schritt: Bestimmen von $c$

Da sich der Graph $g$ und die Gerade $y$ im Punkt $(0\mid1)$ schneiden, muss dieser in $g$ enthalten sein. Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& a\cdot0^2+b\cdot0+c&\\[5pt] &=& c \end{array}$

$g(0)=1$ liefert so $c=1$

2. Schritt: Bestimmen von $b$

Da sich die Funktion $g$ und die Gerade $y$ im rechten Winkel schneiden, folgt aus der Steigung der Geraden die Steigung der Funktion $g$ im Punkt $(0\mid1)$ :

$\begin{array}[t]{rll} m_g&=& -\dfrac{1}{m_y} & \\[5pt] m_g&=& -\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}} & \\[5pt] &=& -4 \end{array}$

Mit $\(g$ und $\(g$ lässt sich nun $b$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 2a\cdot0+b&=& -4& \\[5pt] b&=&-4 \end{array}$

3. Schritt: Bestimmen von $a$

Die $x$ -Koordinate des Graphen von $g$ wird bestimmt.

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Da es sich bei $g$ um eine quadratische Funktion handelt, muss $x$ eine Extremstelle sein. Die Art des Extrempunkts ist hier allerdings nicht relevant, weshalb die hinreichende Bedingung nicht mehr geprüft werden muss.

Wegen der zweiten erwarteten Eigenschaft muss gelten: $g\left(\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{2}{a},$ also:

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot\left(\dfrac{2}{a}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{2}{a}\right)+1 &=& \dfrac{2}{a}& \\[5pt] a\cdot\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{8}{a}+1&=& \dfrac{2}{a}&\\[5pt] \dfrac{4}{a}-\dfrac{8}{a}+1 &=& \dfrac{2}{a}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot a\\[5pt] 4-8+a&=& 2&\quad \scriptsize \mid\;+4\\[5pt] a&=&6 \end{array}$

Somit lautet die gesuchte Funktion: $g(x)=6x^2-4x+1$

Lösung 5

Der Vektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{3\\0\\-1}$ ist sowohl Richtungsvektor der Geraden $g$ als auch ein Normalenvektor von der Ebene $E.$ Deshalb ist auch $g$ orthogonal zu $E.$

Da die gesuchte Gerade parallel zu $h$ verlaufen soll, muss der Richtungsvektor identisch sein und somit: $\overrightarrow{v}=\pmatrix{1\\2\\3}.$ Um diejenige Gerade mit dem geringstem Abstand zur Geraden $h$ zu finden, kann der gemeinsame Stützpunkt $(7 \mid 3 \mid 3)$ der Geraden $h$ und der Hilfsgeraden $g$ als Lotfußpunkt genutzt werden.

Koordinaten des Schnittpunkts der Hilfsgeraden $g$ mit der Ebene $E$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot(7+3r)-(3-r)&=& -2 & \\[5pt] 21+9r-3+r&=& -2 & \\[5pt] 18+10r&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\;-18 \\[5pt] 10r&=& -20 &\quad \scriptsize \mid\; :10\\[5pt] r&=& -2 \end{array}$

Durch Einsetzen von $r=-2$ in $g$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OX}&=& \pmatrix{7\\3\\3}-2\cdot\pmatrix{3\\0\\-1}& \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\3\\5} \end{array}$

Eine Gleichung der gesuchten Geraden ist somit $k: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\3\\5}+t\cdot\pmatrix{1\\2\\3}$ mit $t\in\mathbb{R}.$

Lösung 6

Ein Normalenvektor von $E$ entspricht $\overrightarrow{PQ}.$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}&=& \pmatrix{7\\2\\11}-\pmatrix{1\\2\\3}&\ \\[5pt] &=&\pmatrix{6\\0\\8} \end{array}$

Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overrightarrow{PQ}$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\pmatrix{1\\2\\3}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{6\\0\\8}& \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\2\\7} \end{array}$

Aus $\overrightarrow{PQ}$ und den Koordinaten von $M$ ergibt sich folgende Koordinatenform für die gesuchte Ebene $E$ :

$\begin{array}[t]{rll} E: 6x_1+0x_2+8x_3&=& c& \\[5pt] 6\cdot4+0\cdot2+8\cdot7&=& c & \\[5pt] 80&=& c & \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} E: 6x_1+0x_2+8x_3&=& 80&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 3x_1+4x_3&=& 40 \end{array}$

Da $\overrightarrow{SR}=2\cdot\overrightarrow{QP}$ gelten soll, folgt: $\overrightarrow{MR}=2\cdot\overrightarrow{MP}$

Koordinaten von $R$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}&=& \overrightarrow{OM}+2\cdot\overrightarrow{MP}&\ \\[5pt] &=& \pmatrix{4\\2\\7}+2\cdot\pmatrix{-3\\0\\-4}&\ \\[5pt] &=&\pmatrix{-2\\2\\-1} \end{array}$

$R(-2\mid2\mid-1)$

Lösung 7

Wert von $n:$

$n\cdot p=\mu$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} n\cdot0,5&=& 18&\quad \scriptsize \mid\;\cdot2\\[5pt] n&=&36 \end{array}$

Standardabweichung $\sigma$ :

$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=& \sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}& \\[5pt] &=& \sqrt{36\cdot 0,5\cdot(1-0,5)}& \\[5pt] &=& \sqrt{9}& \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Die Aussage ist falsch!

Wegen $p=0,5$ entsteht eine symmetrische Verteilung um den Erwartungswert. Außerdem gilt $14=\mu-4$ und $22=\mu+4$ , woraus $P(X=14)=P(X=22)$ folgt.

Lösung 8

Anzahl der roten Kugeln: $a$

Anzahl der blauen Kugeln: $b$

Erwartungswert der Auszahlung in Cent:

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& b\cdot P(X=a) + 10 \cdot P(X=b) & \\[5pt] &=& b\cdot\dfrac{100-b}{100} + 10 \cdot \dfrac{b}{100} & \\[5pt] &=& -\dfrac{b}{100}\cdot (b-110) & \\[5pt] \end{array}$

Satz vom Nullprodukt: $\mu=0$ für $b_1=0$ und $b_2=110$

Graphisch dargestellt hat der Term $-\dfrac{b}{100}\cdot (b-110)$ die Form einer nach unten geöffneten Parabel, der Hochpunkt muss also an der Stelle $b=55$ liegen.

Für einen möglichst hohen Erwartungswert der Auszahlung muss der Spieler also die Anzahl der blauen Kugeln auf $55$ festlegen.

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