Wahlteil B2

Aufgabe B2.1

An einer rechteckigen Platte mit den Eckpunkten $A(10\mid6\mid0)$ , $B(0\mid6\mid0)$ , $C(0\mid0\mid3)$ und $D(10\mid0\mid3)$ ist im Punkt $F(5\mid6\mid0)$ ein $2\,\text{m}$ langer Stab befestigt, der in positive $x_3$ -Richtung zeigt.
Eine punktförmige Lichtquelle befindet sich zunächst im Punkt $L(8\mid10\mid2)$ (Koordinatenangaben in $\text{m}$ ).

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ , in der die Platte liegt.

Stelle die Platte, den Stab und die Lichtquelle in einem Koordinatensystem dar.

Berechne den Winkel zwischen dem Stab und der Platte.
(Teilergebnis: $E:x_{2}+2x_{3}=6$ )

(3 VP)

Der Stab wirft einen Schatten auf die Platte.

Bestimme den Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes.

Begründe, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt.

(3 VP)

Die Lichtquelle bewegt sich von $L$ aus auf einer zur $x_{1}x_{2}$ -Ebene parallelen Kreisbahn, deren Mittelpunkt das obere Ende des Stabes ist. Dabei kollidiert die Lichtquelle mit der Platte.

Berechne die Koordinaten der beiden möglichen Kollisionspunkte.

(3 VP)

Aufgabe B2.2

Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil fehlerhafter Stifte erfahrungsgemäß $5\,\%.$

Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig $800$ Bleistifte.
Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe.

Berechne $P(X\leq30)$ .

Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von $X$ um weniger als $10$ vom Erfahrungswert von $X$ ab?

(3 VP)

Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens $2\,\%$ der von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese $H_0$ soll mithilfe eines Tests an $800$ zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden.

Bei welchen Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal $5\,\%$ betragen soll?

(3 VP)

Aufgabe B2.1

a) $\blacktriangleright$ Bestimmen der Koordinatengleichung der Ebene $\boldsymbol{E}$ , in der die Platte liegt

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die rechteckige Platte die folgenden Eckpunkte besitzt:

$A(10 \mid 6 \mid 0)$ ;
$B(0 \mid 6 \mid 0 )$ ;
$C(0 \mid 0 \mid 3)$ und
$D(10 \mid 0 \mid 3 )$ .

Deine Aufgabe ist es hierbei, eine Ebenengleichung in Koordinatenform für die Ebene $E$ zu bestimmen, in welcher die rechteckige Platte liegt. Die Ebenengleichung in Koordinatenform einer Ebene baut sich dabei wie folgt auf:

$E:\quad n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = d$ mit:

$n_1$ , $n_2$ und $n_3$ : Einträge des Normalenvektors $\vec{n}$ der Ebene
$d$ : Über Punktprobe zu bestimmende Konstante

Willst du also eine eine Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene $E$ bestimmen, so bestimmst du zunächst den Normalenvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{n_E}}$ über das Kreuz- bzw. Vektorprodukt. Verwende dazu die Koordinaten der Eckpunkte der rechteckigen Platte.

Hast du den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ der Ebene $E$ bestimmt, so bestimmst du über eine Punktprobe die Konstante $d$ . Verwende dazu die Koordinaten von Punkt $A$ , $B$ , $C$ oder $D$ .

1. Schritt: Bestimmen des Normalenvektors $\boldsymbol{\overrightarrow{n_E}}$ über das Kreuzprodukt

Willst du den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ der Ebene $E$ bestimmen, so benötigst du zunächst 2 Vektoren, welche die Ebene $E$ aufspannen. Gehe hier beispielsweise von Punkte $A$ aus. Punkt $A$ ist über eine Kante mit Punkt $B$ und $D$ verbunden:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} &=&\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} & \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}10\\6\\0\end{pmatrix}& \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0 &-& 10 \\ 6 &-& 6 \\ 0 &-& 0\end{pmatrix} & \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}-10 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD}&=& \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}& \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}10 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}10\\6\\0\end{pmatrix} & \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}10 &-& 10 \\ 0 &-& 6 \\ 3 &-& 0\end{pmatrix}& \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0 \\ -6 \\ 3\end{pmatrix} \end{array}$

Berechne nun wie folgt das Kreuzprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ , um den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ zu bestimmen:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{n_E} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}0 \\ 30 \\ 60\end{pmatrix}$

Da beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ nicht die Länge, sondern nur die Richtung entscheidend ist, ist hier folgende Umformung zulässig:

$\overrightarrow{n_E} = \begin{pmatrix}0 \\ 30 \\ 60\end{pmatrix} \mathrel{\widehat{=}} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$

2. Schritt: Bestimmen der Koordinatengleichung über eine Punktprobe

Setzt du nun den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ in die allgemeine Koordinatengleichung von oben ein, so ergibt sich diese hier zu:

Rechenweg anzeigen

$x_2 + 2 \cdot x_3 = d$

Die Konstante $d$ bestimmst du hier nun, indem du beispielsweise die Koordinaten von $A$ mit $A(10 \mid 6 \mid 0)$ für $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ einsetzt und die Gleichung nach $d$ löst:

$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x_2 + 2 \cdot x_3=&d&\text{mit}\;A(10 \mid 6 \mid 0)\\ 6 + 2 \cdot 0=&d\\ 6=&d\\ \end{array}$

Eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ lautet also:

$E:\quad x_2 + 2 \cdot x_3 = 6$ .

$\blacktriangleright$ Darstellen des Sachverhaltes in einem Koordinatensystem

Hier sollst du nun die Platte, den Stab und die Lichtquelle in einem Koordinatensystem darstellen. Orientiere dich beim Zeichnen der Achsen an den Koordinaten der einzuzeichnenden Punkte und denke daran, dass alle Koordinatenangaben in deinem Koordinatensystem in m sind. Zeichne zunächst die Platte mit:

$A(10 \mid 6 \mid 0)$ ;
$B(0 \mid 6 \mid 0 )$ ;
$C(0 \mid 0 \mid 3)$ und
$D(10 \mid 0 \mid 3 )$ .

und dann den Stab. Zeichne dazu den Punkt $F(5 \mid 6 \mid 0 )$ ein und von diesem dann einen 2 m langen Stab. Zuletzt zeichnest du die Lichtquelle $L$ bei $L(8 \mid 10 \mid 2 )$ ein.
Deine Zeichnung sollte hier so aussehen:

Diagramm mit Koordinatensystem und verschiedenen Punkten. Linien verbinden die Punkte im Raum.

$\blacktriangleright$ Bestimmen des Winkels zwischen Stab und Platte

Nun sollst du den Winkel $\alpha$ zwischen dem Stab bei $F$ und der Platte $ABCD$ bestimmen. Da der Stab durch einen Vektor $\overrightarrow{FT}$ (siehe oben) und die Platte $ABCD$ durch eine Ebene repräsentiert werden können, gilt es hier einen Winkel zwischen einer Ebene und einem Vektor zu berechnen.
Für die Berechnung eines Winkels zwischen einem Vektor und einer Ebene gilt dabei folgendes:

$\sin{(\alpha)} = \dfrac{|\vec{d}\cdot \vec{n}|}{\left|\vec{d}\right| \cdot \left|\vec{n}\right|}$ mit:

$\vec{d}$ : Betrachteter Vektor;
$\vec{n}$ : Normalenvektor der betrachteten Ebene.

Bestimme also zunächst den Vektor $\overrightarrow{FT}$ der den Stab repräsentiert und bestimme dann mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ der Ebene $E$ den hier gesuchten Winkel.
Da der Stab 2 m lang ist und in positive $x_3$ -Richtung zeigt, ergibt sich der Vektor $\overrightarrow{FT}$ hier wie folgt:

$\overrightarrow{FT} = \begin{pmatrix}5\\6\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$

Setze nun $\overrightarrow{FT}$ und $\overrightarrow{n_E}$ in den Zusammenhang von oben ein, um den hier gesuchten Winkel $\alpha$ zu bestimmen:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 63,4^\circ$

Der Winkel zwischen Stab und Platte beträgt also ungefähr 63,4°.

b) $\blacktriangleright$ Berechnen des Schattenpunktes des oberen Endes des Stabes

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass sich im Punkt $L(8 \mid 10 \mid 2)$ eine punktförmige Lichtquelle befindet. Weiterhin weißt du, dass der Stab einen Schatten auf die Platte wirft. Deine Aufgabe ist es dabei, die Koordinaten des Schattenpunktes $\boldsymbol{S}$ des oberen Endes des Stabes, welcher dieser auf die Platte wirft, zu bestimmen.
Aus dem vorhergegangenen Aufgabenteil weißt du, dass das obere Ende des Stabes die Koordinaten $T(5 \mid 6 \mid 2)$ besitzt. Nun werden von Punkt $L$ aus Lichtstrahlen in Richtung des Stabes geworfen. Das heißt, die „Richtung des Schattens“ des oberen Endes des Stabes wird durch den Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{LT}}$ bestimmt. Willst du nun ausgehend von dem Wissen über diesen Vektor den Schattenpunkt $S$ bestimmen, so gehst du hier so vor:

Formuliere eine Gerade $l$ , die die Richtung des Lichtes ausgehend vom Punkt $T$ beschreibt.
Schneide die Gerade mit der Ebene $\boldsymbol{E}$ , die die Platte repräsentiert
Der Schnittpunkt von Gerade $l$ und Ebene $E$ ist dann der gesuchte Schattenpunkt $S$ .

1. Schritt: Bestimmen der Geraden $\boldsymbol{l}$

Soll Gerade $l$ die Richtung des Lichtes, ausgehend von Punkt $T$ beschreiben, so muss diese den Vektor $\overrightarrow{OT}$ als Stütz- und den Vektor $\overrightarrow{LT}$ als Richtungsvektor besitzen.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{LT}&=& \overrightarrow{OT} - \overrightarrow{OL} &\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}5 \\ 6 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}8 \\ 10 \\ 2\end{pmatrix}&\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}5 &-& 8 \\ 6 &-& 10 \\ 2 &-& 2\end{pmatrix}&\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}-3 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} l: \quad \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OT} + t \cdot \overrightarrow{LT}&\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}5 \\ 6 \\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-3 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix} \end{array}$

2. Schritt: Bestimmen des Schattenpunktes $\boldsymbol{S}$

Willst du den Schnittpunkt von Ebene $E$ und Gerade $l$ bestimmen, so formulierst du zunächst Gerade $l$ als einen einzelnen Vektor. Anschließend setzt du die Einträge dieses Vektors in die Koordinatengleichung von $E$ ein und berechnest den zu $S$ zugehörigen Parameterwert von $t$ .

$\begin{array}[t]{rll} l: \quad \overrightarrow{x_l}&=& \begin{pmatrix}5 \\ 6 \\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-3 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix}& \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}5 - 3 \cdot t \\ 6 - 4 \cdot t \\ 2\end{pmatrix} \end{array}$

Ein Einsetzen von $\overrightarrow{x_l}$ in die Koordinatengleichung von $E$ , für $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ ergibt:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} (6 - 4 \cdot t) + 2 \cdot 2&6\\ 6 - 4 \cdot t + 4&6\\ 10 - 4 \cdot t&6&\scriptsize \mid - 10\\ - 4 \cdot t&-4\;\Leftrightarrow\;t = 1\\ \end{array}$

Setze nun $t = 1$ in die Geradengleichung von $l$ ein, um die Koordinaten von Schattenpunkt $S$ zu bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \begin{pmatrix}5 \\ 6 \\ 2\end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}-3 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix}&\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}5 &-& 3 \\ 6 &-& 4 \\ 2 &+& 0\end{pmatrix}&\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} \end{array}$

Der Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes hat die Koordinaten: $S(2\mid 2 \mid 2)$ .

$\blacktriangleright$ Begründen, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt

Nun sollst du begründen, dass der Schatten, den der Stab wirft, sich vollständig auf der Platte befindet. Von oben weißt du, dass der Schattenpunkt, welcher vom oberen Ende des Stabes geworfen wird, die Koordinaten $S(2 \mid 2 \mid 2)$ besitzt.
Willst du hier begründen, dass der Schatten, welcher vom Stab geworfen wird, sich vollständig auf der Platte befindet, so musst du hier folgendes tun:

Vergleiche die Koordinaten von Punkt $S$ mit den Koordinaten der Eckpunkte der Platte.
Analysiere die Koordinaten von Punkt $F$ nochmals genauer und setze sie in Relation zu den Koordinaten von $S$ .
Veranschauliche deine Überlegungen an der Skizze aus Aufgabenteil a.

Vergleichst du hier die Koordinaten von $S$ mit den Koordinaten der Eckpunkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ , so kannst du hier folgendes feststellen:

Der Schattenpunkt $S$ liegt in der Ebene $E$ .
Die $x_1$ -Koordinate von $S$ liegt zwischen den $x_1$ -Koordinaten von $A$ und $B$ .
Die $x_2$ -Koordinate von $S$ liegt zwischen den $x_2$ -Koordinaten von $B$ und $C$ .

Der Schattenpunkt $S$ liegt also offensichtlich auf der Platte. Da auch der Anfangspunkt $F$ mit $F(5 \mid 2 \mid 0)$ des Stabes sich auf der Platte befindet, muss sich der Schatten zwischen $S$ und $F$ ebenfalls auf der Platte befinden. Dies lässt sich auch wie folgt an der Zeichnung aus a veranschaulichen:

Grafik eines dreidimensionalen Koordinatensystems mit Punkten und Linien.

Der Schatten wurde hier in rot eingezeichnet.

c) $\blacktriangleright$ Berechnen der Koordinaten der möglichen Kollisionspunkte

Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass sich die Lichtquelle von $L$ aus auf einer zur $x_1x_2$ -Ebene parallelen Kreisbahn bewegt. Der Mittelpunkt dieser Kreisbahn ist dabei Punkt $T$ , also das obere Ende des Stabes. Bewegt sich die Lichtquelle wie eben beschrieben auf der Kreisbahn, so kollidiert diese mit der Platte $ABCD$ . Deine Aufgabe ist es nun, die Koordinaten dieser möglichen Kollisionspunkte zu berechnen.
Willst du hier die möglichen Kollisionspunkte bestimmen, so bestimmst du zunächst die Ebene $H$ , auf welcher sich die Lichtquelle bewegt. Beachte dabei, dass diese parallel zur $x_1x_2$ -Ebene verlaufen muss.
Hast du Ebene $H$ bestimmt, so schneidest du diese mit der Ebene $E$ , in welcher sich auch die Platte befindet. Da du hier zwei Ebenen schneidest, ergibt sich als Resultat eine Schnittgerade. Auf dieser Schnittgeraden müssen sich dann die möglichen Kollisionspunkte befinden. Überlege dir folgendes, um diese dann zu bestimmen:

Die Kollisionspunkte müssen sich auf der Schnittgeraden befinden;
der Radius der Kreisbahn wird durch den Abstand zwischen $T$ und $S$ bestimmt;
da es sich beim Punkt $T$ um den Mittelpunkt des Kreises handelt, muss der Abstand zwischen $T$ und den Kollisionspunkten gerade dem Radius entsprechen.
Verwende beim Berechnen die allgemeinen Koordinaten der Kollisionspunkte, die sich aus der Schnittgeraden ergeben.

1. Schritt: Bestimmen der Schnittgeraden $\boldsymbol{s}$

Wie oben beschrieben, müssen die gesuchten Kollisionspunkte auf der Schnittgeraden liegen, welche sich ergibt, wenn du Ebene $H$ und Ebene $E$ schneidest. Da die Kreisbahn parallel zur $x_1x_2$ -Ebene sein soll, muss die Ebene, in welcher sie sich befindet, ebenfalls parallel zur $x_1x_2$ -Ebene sein.
Betrachtest du die Koordinaten von $L$ und $T$ genauer, so kannst du erkennen, dass beide eine $x_3$ -Koordinate von $x_3 = 2$ haben. Da nun Punkt $L$ und Punkt $T$ in der Ebene $H$ liegen sollen und diese darüber hinaus auch noch parallel zur $x_1x_2$ -Ebene sein soll, lautet eine Koordinatengleichung dieser Ebene:

$H:\quad x_3 = 2$ .

Willst du nun die Schnittgerade $s$ bestimmen, so formulierst du aus den Koordinatengleichungen von $E$ und $H$ ein unterbesetztes Gleichungssystem. Führe in diesem Gleichungssystem für $x_1$ einen Parameter ein, um es eindeutig lösen zu können:

Gleichungssystemn anzeigen

Gib nun die Lösungsmenge des LGS an und formuliere aus dieser wie folgt die Gerade $s:$

$\begin{array}[t]{rll} \mathbb L &=& \left\{\begin{pmatrix}r \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}\right\}\;& \\[5pt] &=& \; \left\{\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\right\} \end{array}$

Schnittgerade $s$ hat also folgende Gleichung:

$s: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$

2. Schritt: Bestimmen der möglichen Kollisionspunkte

Nun weißt du folgende zwei Dinge über die Lage der Kollisionspunkte:

Sie liegen auf der Gerade $s$ und
sie besitzen zum Punkt $T$ einen Abstand von 5 m.

Willst du nun die mögliche Kollisionspunkte bestimmen, so musst du diese so bestimmen, dass sie auf $s$ liegen und einen Abstand von 5 zu $T$ besitzen. Formuliere dazu auch hier wieder Gerade $s$ als Vektor um:

$\begin{array}[t]{rll} s:\quad \overrightarrow{x_S}&=& \overrightarrow{K_r} & \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}& \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}r \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} \end{array}$

Bestimmst du nun den Betrag des Vektors $\overrightarrow{TK_r}$ , so hast du den von $r$ abhängigen Abstand zwischen Punkt $T$ und den Kollisionspunkten $K_r$ . Setzt du diesen Abstand gleich 5 so kannst du wie folgt die Koordinaten der möglichen Kollisionspunkte bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} 5&=& \left|\overrightarrow{TK_r}\right|& \\[5pt] &=& \left|\begin{pmatrix}r \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 6 \\ 2\end{pmatrix}\right|& \\[5pt] &=&\left|\begin{pmatrix}r - 5 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix}\right| & \\[5pt] &=& \sqrt{(r - 5)^2 + (-4)^2 + 0^2}& \\[5pt] &=& \sqrt{(r - 5)^2 + 16}& \\[5pt] \end{array}$

Diese Gleichung kannst du nun graphisch mit Hilfe deines GTR lösen. Übertrage die rechte Seite dazu in den Y-Editor, als eine von x-abhängige Gleichung. Die linke Seite der Gleichung überträgst du als eine zur $x$ -Achse parallele Gerade in deinen GTR (siehe unten links). Wechsle anschließend in den GRAPH-Modus und bestimme über

2ND CALC 5:intersect

die Schnittpunkte der beiden Funktionen.

Mathematische Grafik mit Funktionen und Schnittpunkten auf einem Taschenrechner-Bildschirm.

Als Lösung der Gleichung hat sich also ergeben: $r_1 = 2$ und $r_2 = 8$ . Setze diese nun in die allgemeinen Koordinaten von $K_r$ ein, so ergeben sich folgende zwei möglich Kollisionspunkte:

$K_2(2 \mid 2 \mid 2)$ und
$K_8(8 \mid 2 \mid 2)$ .

Lösung B2.2

a) $\blacktriangleright$ Berechnen der gesuchten Wahrscheinlichkeit

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass bei der Produktion von Bleistiften erfahrungsgemäß der Anteil der fehlerhaften Stifte bei 5 % liegt. Nun werden der Produktion zur Qualitätsprüfung zufällig 800 Bleistifte entnommen. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt dabei die Anzahl der fehlerhaften Stifte in der vorliegenden Stichprobe. Deine Aufgabe ist es nun, die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 30)$ zu berechnen.
Da die Zufallsvariable $X$ nur die Ausprägungen

„Stift ist fehlerhaft“ und
„Stift ist nicht fehlerhaft“

kennt und bei einem Stichprobenumfang von 800 näherungsweise von einem Ziehen mit Zurücklegen ausgegangen werden kann, ist die Zufallsvariable $X$ näherungsweise binomialverteilt. Für den Stichprobenumfang gilt $n = 800$ . Die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen fehlerhaften Stift ergibt sich aus dem relativen Anteil der fehlerhaften Stifte in der Produktion. Für $p$ gilt also:

$p = 5 \% = 0,05$

Die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem GTR berechnen.
Willst du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit mit deinem GTR berechnen, so wechselst du zunächst in den Calculator-Modus deines GTR. In diesem wendest du dann den binomCdf-Befehl an, auf welchen du über

2ND Vars (DISTR) B:binomcdf(

zugreifst. Willst du die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 30)$ hier berechnen, so wendest du den binomCdf-Befehl wie in den unten stehenden Schaubildern an.

Zwei Screenshots eines Taschenrechners, der die Funktion binomcdf mit verschiedenen Eingaben zeigt.

Für die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 30)$ gilt also: $P(X \leq 30) \approx 0,05706 \approx 5,71 %$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, für die geg. Abweichung vom Erwartungswert

Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Wert von $X$ um weniger als 10 vom Erwartungswert der Zufallsvariable $X$ abweicht. Bestimme dazu zunächst den Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$ . Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen ergibt sich dabei wie folgt:

$E = n \cdot p$

Hast du den Erwartungswert von $X$ bestimmt, so formulierst du im nächsten Schritt die hier zu berechnende Wahrscheinlichkeit. Beachte dabei das hier eine Abweichung „nach oben“ und „nach unten“ beachtet werden muss. Die hier zu berechnende Wahrscheinlichkeit hat also diese Gestalt:

$P(k_1 \leq X \leq k_2)$ mit:

$k_1$ : untere Grenze für die Wahrscheinlichkeit
$k_2$ : obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit

1. Schritt: Bestimmen des Erwartungswertes $\boldsymbol{E}$

Setze $n = 800$ und $p = 0,05$ in die Formel für den Erwartungswert $E$ ein, um diesen zu bestimmen:

$E = n \cdot p = 800 \cdot 0,05 = 40$

2. Schritt: Berechnen der gesuchten Wahrscheinlichkeit

Soll der Wert von $X$ um weniger als 10 vom Erwartungswert $E = 40$ abweichen so müssen folgende zwei Sachverhalte für Zufallsvariable $X$ erfüllt sein:

$X$ muss größer 30 und
$X$ muss kleiner 50 sein.

Formulierst du dies nun als Wahrscheinlichkeit, so ergibt sich hier Folgendes:

$P(30 \lt X \lt 50) = P(31 \leq X \leq 49)$

Diese Wahrscheinlichkeit kannst du nun wie oben mit deinem GTR berechnen. Da dieser aber nur Wahrscheinlichkeiten der Gestalt $P(X \leq k)$ berechnen kann, musst du die hier vorliegende Wahrscheinlichkeit zunächst wie folgt umformen:

Umformung anzeigen

Berechne nun $P(X \leq 49)$ und $P(X \leq 30)$ wie oben mit deinem GTR. Du solltest zu folgendem Ergebnis gekommen sein:

Bildschirmansicht einer Berechnung mit binomischer kumulativer Verteilungsfunktion auf einem Taschenrechner.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8777 bzw. 87,77 % weicht der Wert von $X$ um weniger als 10 vom Erwartungswert ab.

b) $\blacktriangleright$ Bestimmen des Ablehnungsbereichs

Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass der Betrieb eine neue Maschine erwirbt, von der behauptet wird, dass höchstens 2 % der von ihr produzierten Stifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese $H_0$ soll hier mit Hilfe eines Tests an 800 zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden. Deine Aufgabe ist es dabei, zu bestimmen, ab welcher Anzahl von fehlerhaften Stiften man sich gegen die Hypothese entscheidet. Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll hier maximal 5 % betragen.
Betrachte dazu zunächst die Zufallsvariable $Y$ . Zufallsvariable $Y$ beschreibt hier die Anzahl der fehlerhaften Bleistifte und ist mit gleicher Begründung wie oben näherungsweise binomialverteilt. Für diese gilt dabei $n = 800$ und $p = 0,02$ . Da hier die Anzahl an fehlerhaften Bleistiften ermittelt werden soll, ab welcher nicht mehr angenommen wird, dass die Maschine eine Ausschussquote von 2 % hat, müssen hier die Hypothesen wie folgt lauten:

$H_0:\quad p \leq 0,02$
$H_1:\quad p > 0,02$

Es handelt sich also um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Da du hier die Anzahl der Stifte ermitteln sollst, ab welcher man sich gegen die Hypothese $H_0$ entscheidet, suchst du hier den Ablehnungsbereich für die Hypothese $H_0$ :

Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left\{g,...,800\right\}$ .

Um diese Aufgabe zu lösen, gilt es hier also den Ablehnungsbereich $\overline{A}$ zu bestimmen. Bestimme diesen über die Irrtumswahrscheinlichkeit bzw. über die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.
Der Ablehnungsbereich wird hier über die kleinste natürliche Zahl bestimmt, für welche folgender Zusammenhang noch erfüllt ist:

$P(Y \geq g) \leq 0,05$ .

Diese Ungleichung kannst du nun mit deinem GTR lösen. Forme diese dazu zunächst wie folgt um:

$\begin{array}{lrl@{\hspace{1cm}}l} P(Y g)&\leq&0,05\\ 1 - P(Y \geq g)&\leq&0,05\\ 1 - P(Y \leq g - 1)&\leq&0,05&\scriptsize \mid\;- 1\\ - P(Y \leq g - 1)&\leq&- 0,95&\scriptsize \mid\;:(- 1)\\ P(Y \leq g - 1)&\geq&0,95\\ \end{array}$

Füge nun die linke Seite der Gleichung als Funktion in den Y=-Editor deines GTR ein, denke dabei daran, dass $n = 800$ und $p = 0,02$ gelten muss (linke Abbildung). Wechsle nun ins Table-Menü und suche die Stelle, an welcher zum ersten Mal

$P(Y \leq g - 1)\geq 0,95$

gilt (rechte Abbildung).

Bildschirmansicht eines Taschenrechners mit Funktionen zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und Daten.

Da für X = 24 das erste mal die Aussage erfüllt ist, gilt hier für den Ablehnungsbereich:

Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left\{24,...,800\right\}$ .

Das heißt, bei mindestens 24 fehlerhaften Stiften entscheidet man sich gegen die Nullhypothese.

Lösung B2.1

a) $\blacktriangleright$ Bestimmen der Koordinatengleichung der Ebene $\boldsymbol{E}$ , in der die Platte liegt

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die rechteckige Platte die folgenden Eckpunkte besitzt:

$A(10 \mid 6 \mid 0)$ ;
$B(0 \mid 6 \mid 0 )$ ;
$C(0 \mid 0 \mid 3)$ und
$D(10 \mid 0 \mid 3 )$ .

$E:\quad n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = d$ mit:

$n_1$ , $n_2$ und $n_3$ : Einträge des Normalenvektors $\vec{n}$ der Ebene
$d$ : Über Punktprobe zu bestimmende Konstante

1. Schritt: Bestimmen des Normalenvektors $\boldsymbol{\overrightarrow{n_E}}$ über das Kreuzprodukt

Berechne nun wie folgt das Kreuzprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ , um den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ zu bestimmen:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{n_E} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}0 \\ 30 \\ 60\end{pmatrix}$

Da beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ nicht die Länge, sondern nur die Richtung entscheidend ist, ist hier folgende Umformung zulässig:

$\overrightarrow{n_E} = \begin{pmatrix}0 \\ 30 \\ 60\end{pmatrix} \mathrel{\widehat{=}} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$

2. Schritt: Bestimmen der Koordinatengleichung über eine Punktprobe

Setzt du nun den Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$ in die allgemeine Koordinatengleichung von oben ein, so ergibt sich diese hier zu:

Rechenweg anzeigen

$x_2 + 2 \cdot x_3 = d$

Die Konstante $d$ bestimmst du hier nun, indem du beispielsweise die Koordinaten von $A$ mit $A(10 \mid 6 \mid 0)$ für $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ einsetzt und die Gleichung nach $d$ löst:

$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x_2 + 2 \cdot x_3&d&\text{mit}\;A(10 \mid 6 \mid 0)\\ 6 + 2 \cdot 0&d\\ 6&d\\ \end{array}$

Eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ lautet also:

$E:\quad x_2 + 2 \cdot x_3 = 6$ .

$\blacktriangleright$ Darstellen des Sachverhaltes in einem Koordinatensystem

$A(10 \mid 6 \mid 0)$ ;
$B(0 \mid 6 \mid 0 )$ ;
$C(0 \mid 0 \mid 3)$ und
$D(10 \mid 0 \mid 3 )$ .

$\blacktriangleright$ Bestimmen des Winkels zwischen Stab und Platte

$\sin{(\alpha)} = \dfrac{|\vec{d}\cdot \vec{n}|}{\left|\vec{d}\right| \cdot \left|\vec{n}\right|}$ mit:

$\vec{d}$ : Betrachteter Vektor;
$\vec{n}$ : Normalenvektor der betrachteten Ebene.

$\overrightarrow{FT} = \begin{pmatrix}5\\6\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$

Setze nun $\overrightarrow{FT}$ und $\overrightarrow{n_E}$ in den Zusammenhang von oben ein, um den hier gesuchten Winkel $\alpha$ zu bestimmen:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 63,4^\circ$

Der Winkel zwischen Stab und Platte beträgt also ungefähr 63,4°.

b) $\blacktriangleright$ Berechnen des Schattenpunktes des oberen Endes des Stabes

Formuliere eine Gerade $l$ , die die Richtung des Lichtes ausgehend vom Punkt $T$ beschreibt.
Schneide die Gerade mit der Ebene $\boldsymbol{E}$ , die die Platte repräsentiert
Der Schnittpunkt von Gerade $l$ und Ebene $E$ ist dann der gesuchte Schattenpunkt $S$ .

1. Schritt: Bestimmen der Geraden $\boldsymbol{l}$

2. Schritt: Bestimmen des Schattenpunktes $\boldsymbol{S}$

Ein Einsetzen von $\overrightarrow{x_l}$ in die Koordinatengleichung von $E$ , für $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ ergibt:

$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} (6 - 4 \cdot t) + 2 \cdot 2&6\\ 6 - 4 \cdot t + 4&6\\ 10 - 4 \cdot t&6&\scriptsize \mid - 10\\ - 4 \cdot t&-4\;\Leftrightarrow\;t = 1\\ \end{array}$

Setze nun $t = 1$ in die Geradengleichung von $l$ ein, um die Koordinaten von Schattenpunkt $S$ zu bestimmen:

Der Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes hat die Koordinaten: $S(2\mid 2 \mid 2)$ .

$\blacktriangleright$ Begründen, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt

Vergleiche die Koordinaten von Punkt $S$ mit den Koordinaten der Eckpunkte der Platte.
Analysiere die Koordinaten von Punkt $F$ nochmals genauer und setze sie in Relation zu den Koordinaten von $S$ .
Veranschauliche deine Überlegungen an der Skizze aus Aufgabenteil a.

Vergleichst du hier die Koordinaten von $S$ mit den Koordinaten der Eckpunkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ , so kannst du hier folgendes feststellen:

Der Schattenpunkt $S$ liegt in der Ebene $E$ .
Die $x_1$ -Koordinate von $S$ liegt zwischen den $x_1$ -Koordinaten von $A$ und $B$ .
Die $x_2$ -Koordinate von $S$ liegt zwischen den $x_2$ -Koordinaten von $B$ und $C$ .

Der Schatten wurde hier in rot eingezeichnet.

c) $\blacktriangleright$ Berechnen der Koordinaten der möglichen Kollisionspunkte

Die Kollisionspunkte müssen sich auf der Schnittgeraden befinden;
der Radius der Kreisbahn wird durch den Abstand zwischen $T$ und $S$ bestimmt;
da es sich beim Punkt $T$ um den Mittelpunkt des Kreises handelt, muss der Abstand zwischen $T$ und den Kollisionspunkten gerade dem Radius entsprechen.
Verwende beim Berechnen die allgemeinen Koordinaten der Kollisionspunkte, die sich aus der Schnittgeraden ergeben.

1. Schritt: Bestimmen der Schnittgeraden $\boldsymbol{s}$

$H:\quad x_3 = 2$ .

Gleichungssystem anzeigen

Gib nun die Lösungsmenge des LGS an und formuliere aus dieser wie folgt die Gerade $s$ :

Schnittgerade $s$ hat also folgende Gleichung:

$s: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$

2. Schritt: Bestimmen der möglichen Kollisionspunkte Nun weißt du folgende zwei Dinge über die Lage der Kollisionspunkte:

Sie liegen auf der Gerade $s$ und
sie besitzen zum Punkt $T$ einen Abstand von 5 m.

Diese Gleichung kannst du nun graphisch mit Hilfe deines GTR lösen. Übertrage die rechte Seite dazu in das GRAPH-Menü, als eine von x-abhängige Gleichung. Lasse dir den Graph anzeigen und bestimme über die folgende Eingabenfolge den Wert für $x$ , an welchem die Gleichung den Wert 5 annimmt:

F5 (G-Solv) X-CAL Y:5

Symbol eines offenen Buches mit einem Stift, das Lernen und Kreativität darstellt.

Als Lösung der Gleichung hat sich also ergeben: $r_1 = 2$ und $r_2 = 8$ . Setze diese nun in die allgemeinen Koordinaten von $K_r$ ein, so ergeben sich folgende zwei möglich Kollisionspunkte:

$K_2(2 \mid 2 \mid 2)$ und
$K_8(8 \mid 2 \mid 2)$ .

Lösung B2.2

a) $\blacktriangleright$ Berechnen der gesuchten Wahrscheinlichkeit

„Stift ist fehlerhaft“ und
„Stift ist nicht fehlerhaft“

$p = 5 \% = 0,05$

Die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem GTR berechnen.
Willst du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit mit deinem GTR berechnen, so wechselst du zunächst in den STAT-Modus deines GTR. In diesem wendest du dann den Binomial C,D-Befehl an, auf welchen du über

DIST BINM Bcd

zugreifst. Willst du die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 30)$ hier berechnen, so wendest du den binomCdf-Befehl wie in den unten stehenden Schaubildern an.

Für die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 30)$ gilt also: $P(X \leq 30) \approx 0,05706 \approx 5,71 %$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, für die geg. Abweichung vom Erwartungswert

$E = n \cdot p$

$P(k_1 \leq X \leq k_2)$ mit:

$k_1$ : untere Grenze für die Wahrscheinlichkeit und
$k_2$ : obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit.

1. Schritt: Bestimmen des Erwartungswertes $\boldsymbol{E}$

Setze $n = 800$ und $p = 0,05$ in die Formel für den Erwartungswert $E$ ein, um diesen zu bestimmen:

$E = n \cdot p = 800 \cdot 0,05 = 40$

2. Schritt: Berechnen der gesuchten Wahrscheinlichkeit

Soll der Wert von $X$ um weniger als 10 vom Erwartungswert $E = 40$ abweichen so müssen folgende zwei Sachverhalte für Zufallsvariable $X$ erfüllt sein:

$X$ muss größer 30 und
$X$ muss kleiner 50 sein

Formulierst du dies nun als Wahrscheinlichkeit, so ergibt sich hier folgendes:

$P(30 \lt X \lt 50) = P(31 \leq X \leq 49)$

Umformung anzeigen

Berechne nun $P(X \leq 49)$ und $P(X \leq 30)$ wie oben mit deinem GTR. Du solltest zu folgendem Ergebnis gekommen sein:

Symbol eines stilisierten Schmetterlings in Schwarz auf weißem Hintergrund.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8777 bzw. 87,77 % weicht der Wert von $X$ um weniger als 10 vom Erwartungswert ab.

b) $\blacktriangleright$ Bestimmen des Ablehnungsbereichs

$H_0:\quad p \leq 0,02$
$H_1:\quad p > 0,02$

Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left\{g,...,800\right\}$

$P(Y \geq g) \leq 0,05$

Diese Ungleichung kannst du nun mit deinem GTR lösen. Forme diese dazu zunächst wie folgt um:

Diese Ungleichung kannst du nun über systematischen Probieren mit deinem GTR berechnen. Wechsle dazu in den STAT-Modus und erstelle da eine Tabelle mit den Werten von z.B. 1 bis 50 (Abbildung links). Wechsle dann in das Menü für den Binomial C,D-Befehl und gib für n = 800 und p = 0, 02 ein. Den Befehl wendest du auf die Spalte in der Tabelle an, in welcher du die Werte von 1 bis 50 gespeichert hast (hier List 1). Speichere das Resultat in der zweiten Spalte der Tabelle (List 2, siehe Abb. in der Mitte). Suche zu letzt im Resultat nach jenem Wert, an welchem X erstmals größer als 0,95 ist (Abb. rechts).

Ein einfaches, stilisiertes Symbol oder Icon in Schwarz auf weißem Hintergrund.

Für X = 23 ist hier der Wert erstmals größer 0,95. Da hier zur Berechnung g ? 1 ignoriert wurde, muss X um 1 erhöht werden, um den Ablehnungsbereich korrekt zu bestimmen. Das heißt, für X = 24 ist das erste mal die Aussage erfüllt. Für den Ablehnungsbereich gilt hier:

Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left\{24,...,800\right\}$

Das heißt, bei mindestens 24 fehlerhaften Stiften entscheidet man sich gegen die Nullhypothese.