Wahlaufgaben (W1-W6)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=\mathrm e^x\cdot (1-ax)$ ; $a \in \mathbb{R}$ .

Zeige, dass $\(f$ die erste Ableitung von $f_a$ ist.

(2 BE)

Untersuche, für welche Werte des Parameters $a$ der Graph von $f_a$ eine waagerechte Tangente besitzt.

(3 BE)

Für eine Funktion $h$ gilt: $\(h$
Bestimme die Extremstellen des Graphen von $h.$

(3 BE)

Eine ganzrationale Funktion $f$ hat die Nullstellen $1,$ $2$ und $-3.$
Für $f$ gilt außerdem: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\rightarrow-\infty$ und $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\rightarrow-\infty$
Gib eine Funktionsgleichung für $f$ an.

(2 BE)

Gegeben sind der Punkt $P(6 \mid 3 \mid 7)$ und die Ebene $E: 2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=11.$

Gib eine Gleichung der Gerade $g$ an, die durch den Punkt $P$ und senkrecht zu $E$ verläuft.

(2 BE)

Zusätzlich ist die Schar der Geraden $g_{a}: \vec{x}=\pmatrix{6 \\ 3 \\ 7}+t \cdot\pmatrix{2 \\ 1 \\ a}$ mit $t \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$ gegeben.

Zeige, dass es genau einen Wert für $a$ gibt, so dass die zugehörige Gerade $g_{a}$ parallel zu $E$ ist und nicht in $E$ liegt.

(3 BE)

Gegeben sind die Punkte $A(-5\mid5\mid-3)$ und $B(-1\mid1\mid-1).$

Gib die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $\overline{AB}$ an und bestimme eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von $\overline{AB},$ die parallel zur $x_1x_3$ -Ebene verläuft.

(5 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion der normalverteilten Zufallsgröße $A.$

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert aus dem Intervall $[6;10]$ annimmt, beträgt etwa $68\,\%.$
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert annimmt, der größer als $10$ ist.

(2 BE)

Die Zufallsgröße $B$ ist ebenfalls normalverteilt. Der Erwartungswert von $B$ ist ebenso groß wie der Erwartungswert von $A,$ die Standardabweichung von $B$ ist größer als die Standardabweichung von $A.$
Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von $B.$

(3 BE)

In einem Gefäß befinden sich schwarze (s) und weiße (w) Kugeln. Ohne Zurücklegen wird zweimal nacheinander genau eine Kugel gezogen. Für das Zufallsexperiment gilt das untenstehende unvollständige Baumdiagramm.

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Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine weiße Kugel gezogen wird.

(1 BE)

Ermittle die Anzahl der weißen und der schwarzen Kugeln, die sich vor dem Ziehen im Gefäß befanden.

(4 BE)

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$f_a(x)=\mathrm e^x\cdot (1-ax)$

Ableiten mit Hilfe der Produktregel:

$\(f_a$

$\mathrm e^x$ ausklammern:

$\(f_a$

$\mathrm e^x(1-ax-a)=0$

Wegen des Satzes vom Nullprodukt gilt:

1) $\mathrm e^x=0$ (ist nicht definiert) und 2) $(1-ax-a)=0$

$1-ax-a=0,$ also $1-a=ax$ und damit $x=\dfrac{1-a}{a}$

Für alle $a\in\mathbb{R}$ mit $a\neq 0$ ist der Bruchterm definiert, also besitzt $f_a(x)$ für alle $a\in\mathbb{R}$ mit $a\neq 0$ eine waagerechte Tangente.

1. Schritt: Notwendiges Kriterium

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Anwenden der pq-Formel ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} &=& - \dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{-2}{2} \right)^2 - (-24)} \\[5pt] x_{1,2} &=& 1 \pm 5 \end{array}$

Somit ist $x_1 = -4$ und $x_2 =6.$

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Folglich gibt $x_1$ die Stelle eines Hochpunkts und $x_2$ die Stelle eines Tiefpunkts an.

$f(x)=-(x+3)(x-1)^2(x-2)$

Die Gerade $g$ besitzt als Richtungsvektor den Normalenvektor von $E.$

$g:\vec{x}=\pmatrix{6\\3\\7}+s\cdot\pmatrix{2\\1\\2}$

Der Richtungsvektor von $g_a$ muss senkrecht zum Normalenvektors von $E$ sein:

$\pmatrix{2\\1\\a}\circ\pmatrix{2\\1\\2}=0$

$2\cdot 2+1\cdot 1+a\cdot 2=0,$ also $a=-2,5$

Die Punktprobe von $\pmatrix{6\\3\\7}$ mit $E$ ergibt:

$2\cdot 6+1\cdot 3+2\cdot 7=29\neq 11$

Damit ist ausgeschlossen, dass $g_a$ in $E$ liegt.

Somit ist gezeigt, dass es genau ein $a$ gibt.

$M\left(\dfrac{-5+(-1)}{2}\bigg\vert\dfrac{5+1}{2}\bigg\vert\dfrac{-3+(-1)}{2}\right),$ also $M(-3\mid 3\mid -2)$

Die Ebene hat den Normalenvektor $\vec{n}=\pmatrix{0\\1\\0}.$ Dieser verläuft senkrecht zum Richtungsvektor $\vec{v}$ der Mittelsenkrechten.

Der Richtungsvektor $\vec{v}$ der Mittelsenkrechten verläuft zudem senkrecht zum Verbindungsvektor $\pmatrix{-1-(-5)\\-1-5\\-1-(-3)}=\pmatrix{4\\-6\\2}$ von $A$ und $B.$

Damit gilt:

1) $\vec{v}\circ\pmatrix{0\\1\\0}=0$

2) $\vec{v}\circ\pmatrix{4\\-6\\2}=0$

1) $v_2=0$

2) $4v_1-6v_2+2v_3=0$

$v_2$ in 2) eingesetzt ergibt: $4v_1+2v_3=0$

z.B. $v_3=s$ ergibt $v_1=-\dfrac{1}{2}s$

$\vec{v}=\pmatrix{-\frac{1}{2}\\0\\1}$

$g:\vec{x}=\pmatrix{-3\\3\\-2}+s\pmatrix{-\frac{1}{2}\\0\\1}$

Der Graph der Dichtefunktion ist symmetrisch zu $x=8.$ Daher gilt:

Rechenweg anzeigen

$P(A\lt 6 ) + P(A\gt 10) \approx 0,32$

Wegen der Symmetrie gilt $P(A\lt 6 ) = P(A\gt 10) = 0,32 :2 = 0,16.$

Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert annimmt, der größer als 10 ist $16\,\%.$

In grün ist der ursprüngliche Graph dargestellt, in grau der Graph einer möglichen Dichtefunktion von $B.$

Das Gegenereignis von „mindestens eine weiße Kugel“ ist „zwei schwarze Kugeln“. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich also mit der Pfadmultiplikationsregel wie folgt:

$1-P(S-S) = 1- \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{7} = \frac{41}{42}$

$s$ bezeichnet die Anzahl der schwarzen Kugeln, die sich zu Beginn im Gefäß befinden, $k$ die Gesamtanzahl aller Kugeln zu Beginn.
Mit den Angaben aus dem Baumdiagramm muss folgendes gelten:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\;& \frac{s}{k} &=& \frac{1}{6} &\quad \scriptsize\mid\;\cdot k;\cdot 6\\[5pt] & 6s &=& k \\[10pt] \text{II}\; & \frac{s-1}{k-1} &=& \frac{1}{7} \end{array}$

Wegen $\text{I}$ kann $k=6s$ in $\text{II}$ eingestezt werden:

$\begin{array}[t]{rll} \frac{s-1}{k-1} &=& \frac{1}{7} &\quad \scriptsize \mid\; k=6s \\[5pt] \frac{s-1}{6s-1} &=& \frac{1}{7} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (6s-1);\cdot 7\\[5pt] 7(s-1) &=& 6s-1 \\[5pt] 7s-7 &=& 6s-1 &\quad \scriptsize \mid\; -6s;+7 \\[5pt] s &=& 6 \end{array}$

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