Pflichtteil 2

Aufgabe 1

Eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $\(f$ und zweiter Ableitungsfunktion $\(f$ hat folgende Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.
Es gilt $f^{\prime}\left(x_2\right)=0$ und $f^{\prime \prime}\left(x_2\right) \neq 0.$
$\(f$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3.$

Die Abbildung zeigt die Positionen von $x_1, x_2$ und $x_3.$

Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens 3 ist.

(1 VP)

Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von $f.$

(1,5 VP)

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $\left.f(x)=-x^2+2 a x, \; a \in\right] 1 ;+\infty[.$

Die Nullstellen von $f$ sind $x=0$ und $x=2a.$

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\dfrac{4}{3} a^3$ hat.

(1 VP)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung).

Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.

Bestimme den Wert von $a.$

(1,5 VP)

Aufgabe 3

Abgebildet sind der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=\sin (\pi x)$ sowie eine Ursprungsgerade $g$ mit der Steigung $m.$

Bestimme einen Term der Stammfunktion von $f,$ deren Graph den Ursprung enthält.

(1 VP)

Berechne den Wert von $m,$ für den die Inhalte der beiden markierten Flächen gleich groß sind.

(1,5 VP)

Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte $A(3\mid5\mid 5)$ und $B(1\mid 1 \mid 1)$ sowie die Geraden $g$ und $h,$ die sich in $B$ schneiden.

Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right),$ die Gerade $h$ den Richtungsvektor $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right).$

Weise nach, dass $A$ auf $g$ liegt.

(0,5 VP)

Bestimme die Koordinaten zweier Punkte $C$ und $D$ so, dass $C$ auf $h$ liegt und das Viereck $ABCD$ eine Raute ist.

(2 VP)

Aufgabe 5

Ein Glücksrad besteht aus zwei Sektoren, die mit den Zahlen 2 bzw. 3 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einmaligem Drehen die Zahl 2 erzielt wird, beträgt $p.$

Bei einem Spiel dreht eine Person das Glücksrad genau so oft, bis die Summe der erzielten Zahlen 5,6 oder 7 beträgt. Bei der Summe 6 gewinnt die Person das Spiel, sonst verliert sie.

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(1 VP)

Die beiden folgenden Ereignisse sind stochastisch unabhängig:

E: „Beim ersten Drehen des Glücksrads wird die Zahl 2 erzielt."

G: „Die Person gewinnt das Spiel."

Ermittle eine Gleichung, die die Variable $p$ enthält und die Berechnung des Werts von $p$ ermöglicht.

(1,5 VP)

Aufgabe 6

In einen leeren Behälter werden drei Kugeln gelegt. Dabei wird die Farbe jeder Kugel durch Werfen eines Würfels festgelegt, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind:

Wird die 1 oder die 2 erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt, sonst eine schwarze.

Weise rechnerisch nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich nun mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, $\dfrac{20}{27}$ beträgt.

(1 VP)

Aus dem Behälter werden zwei der drei Kugeln zufällig entnommen.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide entnommenen Kugeln schwarz sind.

(1,5 VP)

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Lösung 1

Da der Graph der ersten Ableitung $f^{\prime}$ an der Stelle $x_3$ ein Minimum besitzt und somit parabelförmig verläuft, ist der Grad von $\(f$ mindestens 2.

Dann ist $f$ mindestens vom Grad 3.

Aus den Eigenschaften folgt:

Der Graph von $f$ schneidet an der Stelle $x_1$ die $x$ -Achse
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x_2$ eine Extremstelle
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x_3$ eine Wendestelle in Form einer Linkskurve

Ein möglicher Verlauf des Graphen von $f$ ist somit:

Lösung 2

Der Inhalt des Flächenstücks lässt sich wie folgt berechnen:

$A= \dfrac{4}{3} a^3 \; [\text{FE}]$

Rechenweg anzeigen

1. Schritt: Koordinaten des Hochpunkts ermitteln

Aus den Nullstellen bei $x=0$ und $x=2a$ ergibt sich aufgrund der Symmetrie ein Hochpunkt mit den Koordinaten $H(a \mid f(a)).$

Die $y$ -Koordinate ergibt sich zu:

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&=& -a^2+2a\cdot a& \\[5pt] &=& a^2 \end{array}$

2. Schritt: Wert von $a$ bestimmen

Für den Flächeninhalt des Quadrates gilt:

$A_Q=A=\dfrac{4}{3}a^3 \; [\text{FE}]$

Mit den Koordinaten des Hochpunkts $H(a \mid a^2)$ ergeben sich die Höhe und somit auch die Breite des Quadrats mit $a^2.$

Es folgt $A_Q=a^2$ und somit:

$\begin{array}[t]{rll} A_Q&=& \dfrac{4}{3}a^3&\\[5pt] a^2\cdot a^2&=& \dfrac{4}{3}a^3 & \\[5pt] a^4&=& \dfrac{4}{3}a^3&\quad \scriptsize \mid\; :a^3\\[5pt] a&=&\dfrac{4}{3} \end{array}$

Lösung 3

Die Stammfunktionen von $f$ ergeben sich mit:

$F(x)=-\dfrac{1}{\pi}\cos(\pi x)+c$

Da der Graph der Stammfunktion den Ursprung enthalten soll, muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} F(0)&=& 0& \\[5pt] -\dfrac{1}{\pi}\cos(\pi \cdot 0)+c&=& 0&\\[5pt] -\dfrac{1}{\pi}+c&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{\pi}\\[5pt] c&=&\dfrac{1}{\pi} \end{array}$

Ein Term der Stammfunktion von $f$ ist somit gegeben durch:

$F(x)=-\dfrac{1}{\pi}\cos(\pi x)+\dfrac{1}{\pi}$

Es soll gelten:

$\displaystyle\int_{0}^{1}\left(f(x)-m\cdot x\right)\;\mathrm dx=0$

Rechnung anzeigen

Für $m=\dfrac{4}{\pi}$ sind somit die Inhalte der beiden markierten Flächen gleich groß.

Lösung 4

Da die Gerade $g$ laut Aufgabenstellung durch den Punkt $B(1\mid1\mid1)$ verläuft, ergibt sich die Geradengeichung von $g$ mit:

$g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\1\\1}+s\cdot \pmatrix{1\\2\\2}$

Punktprobe mit $A$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{3\\5\\5}&=& \pmatrix{1\\1\\1}+s\cdot \pmatrix{1\\2\\2}&\\[5pt] \pmatrix{3\\5\\5}&=& \pmatrix{1+s\\1+2s\\1+2s} \end{array}$

Aus der ersten Zeile folgt $3=1+s$ und somit $s=2.$

Kontrolle durch Einsetzen von $s=2$ in Zeile 2 und 3:

$\begin{array}[t]{rll} 5&=& 1+2\cdot 2& \\[5pt] 5&=& 5 \end{array}$

Da $s=2$ also eine Lösung des Gleichungssystems ist, liegt $A$ folglich auf $g.$

Da die Seiten einer Raute alle gleich lang sind, muss gelten:

$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{DA}|$

Da die Koordinaten von $A$ und $B$ bereits gegeben sind, folgt:

$|\overrightarrow{AB}|=6$

Rechenweg anzeigen

Da der Punkt $C$ auf der Geraden $h$ liegt und den Abstand 6 zu Punkt $B$ haben soll, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC}&=& \overrightarrow{OB}+6\cdot \pmatrix{1\\0\\0} & \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\1\\1}+ \pmatrix{6\\0\\0} & \\[5pt] &=& \pmatrix{7\\1\\1} \end{array}$

Da die gegenüberliegenden Seiten einer Raute parallel zueinander sind, muss gelten:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=6\cdot \pmatrix{1\\0\\0}$

Es folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=& \overrightarrow{OA}+6\cdot \pmatrix{1\\0\\0} & \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\5\\5}+ \pmatrix{6\\0\\0} & \\[5pt] &=& \pmatrix{9\\5\\5} \end{array}$

Die Koordinaten der Punkte $B$ und $C$ sind somit gegeben durch $C(7\mid 1 \mid1)$ und $D(9\mid 5 \mid 5).$

Lösung 5

Da die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig voneinander sind, gilt:

$P_E(G)=P(G)$

Aus dem Baumdiagramm ergibt sich:

$P_E(G)=p\cdot p=p^2$

$\begin{array}[t]{rll} P(G)&=& p\cdot p\cdot p+(1-p)\cdot (1-p)& \\[5pt] &=& p^3+(1-p)^2 \end{array}$

Die gesuchte Gleichung ergibt sich also mit:

$p^2= p^3+(1-p)^2$

Lösung 6

$S_K:$ schwarze Kugel

$G_K:$ gelbe Kugel

Es gilt $P(S_K)=\dfrac{2}{3}$ und $P(G_K)=\dfrac{1}{3}.$

Somit folgt:

$P=\dfrac{20}{27}$

Rechenweg anzeigen

Für das Ereignis $S_KS_KS_K$ beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei schwarze Kugeln gezogen werden, genau 1.

Für die Ereignisse $S_KS_KG_K,$ $S_KG_KS_K$ und $G_KS_KS_K$ beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei schwarze Kugeln gezogen werden, $\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}.$

Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(S_KS_K)&=& \dfrac{12}{27}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{27}\cdot 1 & \\[5pt] &=& \dfrac{12}{27} \end{array}$

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