Wahlteil B2

Berechne die Geschwindigkeit von in .
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem eine Höhe von erreicht.
Bestimme die Weite des Winkels, mit dem das Flugzeug steigt.

Die Flugbahnen von und schneiden sich.
Aus Sicherheitsgründen müssen die Zeitpunkte, zu denen die Flugzeuge den Schnittpunkt ihrer Flugbahn durchfliegen, mindestens eine Minute auseinander liegen.
Prüfe, ob diese Bedingung erfüllt ist.

Die Position eines Ballons wird durch den Punkt beschrieben.
Bestimme einen Zeitpunkt , zu dem beide Flugzeuge denselben Abstand vom Ballon haben.
Die Punkte auf der Meeresoberfläche, die zum Zeitpunkt ebenfalls von beiden Flugzeugen gleich weit entfernt sind, liegen auf einer Geraden.
Beschreibe ein Verfahren, mit dem du eine Gleichung dieser Geraden bestimmen kann.

  Geschwindigkeit berechnen In dieser Teilaufgabe sollst du die Geschwindigkeit von in berechnen. Du hast hierfür gegeben, dass die Flugbahn von durch die Gleichung gegeben ist. Außerdem hast du gegeben, dass sich das Flugzeug geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. An der Gleichung für die Flugbahn des Flugzeuges kannst du erkennen, dass sich das Flugzeug innerhalb einer Minute durch den Verschiebungsvektor weiter bewegt. Somit kannst du die Länge des Verschiebungsvektors bestimmen und somit weißt du, welche Strecke das Flugzeug innerhalb einer Minute zurücklegt und damit auch die Geschwindigkeit. Die Länge eines Vektors kannst du mit der Norm deines GTR berechnen. Die Norm wird hierbei durch Betragsstriche für den entsprechenden Vektor gekennzeichnet. Den Befehl für die Norm findest du unter: Damit folgt folgende Lösung für die Geschwindigkeit des Flugzeuges : Somit beträgt die Geschwindigkeit des Flugzeuges etwa .   Zeitpunkt bestimmen Du sollst den Zeitpunkt bestimmen, zu dem eine Höhe von erreicht. Dazu hast du gegeben, dass die -Ebene die Meeresoberfläche beschreibt. Dadurch weißt du, dass die -Koordinate die Höhe über dem Meeresspiegel beschreibt. Somit weißt du, dass die -Koordinate des Flugzeuges zu dem Zeitpunkt betragen soll. Die Flugbahn des Flugzeuges in Abhängigkeit der Zeit ist durch die Gleichung gegeben. Daraus kannst du eine Gleichung zur Bestimmung der -Koordinate bestimmen und gleich der Höhe von setzen. Es folgt die Gleichung: Somit hast du gezeigt, dass nach Minuten und damit um Uhr die Höhe des Flugzeuges beträgt.   Winkel bestimmen Du sollt die Weite des Winkels bestimmen, mit dem das Flugzeug steigt. Du hast gegeben, dass der Punkt die Position von um Uhr und der Punkt die Position von um Uhr beschreibt. Somit ist der Winkel zwischen der Meeresoberfläche und der Flugbahn des Flugzeuges , welche durch eine Gerade gegeben ist, gesucht. Den Winkel zwischen einer Ebene mit der allgemeinen Koordinatenform mit dem zugehörigen Normalenvektor und einer Geraden mit dem Richtungsvektor kannst du mit folgender Formel berechnen: Somit musst du noch den Normalenvektor der Ebene, welche die Meeresoberfläche beschreibt, bestimmen und den Richtungsvektor der Flugbahn des Flugzeuges . Du hast gegeben, dass die Meeresoberfläche in der -Ebene liegt. Außerdem weißt du, dass die Flugbahn des Flugzeuges durch eine Gerade beschrieben werden kann und durch die Punkte und verläuft. Somit gilt für die Ebenengleichung in Koordinatenform der Meeresoberfläche , da die -Koordinate für jeden Punkt in der -Ebene Null ist und damit gilt für den Normalenvektor . Den Richtungsvektor der Flugbahn kannst du durch die Ortsvektoren der Punkte und folgendermaßen bestimmen: Somit kannst du den Winkel mit der Norm für einen Vektor aus der vorherigen Teilaufgabe und dem Skalarprodukt deines GTR berechnen. Damit folgt für den Winkel Somit beträgt die Weite des Winkels etwa .

  Bedingung prüfen Du sollst prüfen, ob die Bedingung erfüllt ist, dass die Zeitpunkte zu denen die Flugzeuge den Schnittpunkt ihrer Flugbahnen durchfliegen, mindestens eine Minute auseinander liegen. Du hast hierfür die Flugbahn des Flugzeuges durch die Geradengleichung gegeben. Bestimme zuerst die Geradengleichung für die Flugbahn des Flugzeuges in Abhängigkeit eines Parameters , welcher die Zeit in Minuten beschreibt und setze anschließend die Geradengleichungen für die Flugbahnen gleich und bestimme daraus die Werte für die Parameter und , welche die Zeiten in Minuten angeben nachdenen die Flugzeuge den Schnittpunkt ihrer Flugbahnen erreichen. Du hast gegeben, dass der Punkt die Position von um Uhr beschreibt. Somit kannst du den Ortsvektor zum Punkt als Stützvektor für die Geradengleichung wählen. Zudem hast du gegeben, dass sich das Flugzeug um Uhr am Punkt befindet. Für die allgemeine Geradengleichung mit dem unbekannten Richtungsvektor , dem Parameter , welcher die Zeit in Minuten nach dem Beobachtungsbeginn angibt, und dem Ortsvektor gilt: Hierzu hast du gegeben, dass sich das Flugzeug für , also für drei Minuten nach Beobachtungsbeginn an dem Punkt befindet. Somit kannst du eine Punktprobe durchführen und damit den Richtungsvektor der Geraden bestimmen. Es folgt: Somit gilt für die Geradengleichung . Die Geradengleichungen und kannst du gleichsetzen und folgendermaßen umformen: Daraus folgt: Aus Gleichung folgt: Anschließend kannst du in die Gleichung einsetzen und den Wert für den Parameter bestimmen. Es folgt: Die Werte für die Parameter und musst du anschließend noch in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob dies zu einer wahren Aussage führt. Es folgt: Dies ist eine wahre Aussage und somit gilt, dass die Lösung des Gleichungssystem und lautet. Damit hast du gezeigt, dass das Flugzeug Minuten nach Beobachtungsbeginn und das Flugzeug Minuten nach Beobachtungsbeginn den Schnittpunkt ihrer Flugbahnen erreichen. Damit ist die Bedingung erfüllt, dass die Zeitpunkte, zu denen die Flugzeuge den Schnittpunkt ihrer Flugbahnen erreichen, mindestens eine Minute auseinander liegen müssen.

  Zeitpunkt bestimmen In dieser Teilaufgabe sollst du einen Zeitpunkt bestimmen, zu dem beide Flugzeuge denselben Abstand vom Ballon haben. Du hast die Position des Ballons durch den Punkt gegeben. Die Geradengleichungen für die Flugbahnen der beiden Flugzeuge hast du bereits aus der vorherigen Teilaufgabe gegeben. Den Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt kannst du bestimmen, indem du den Abstand eines alllgemeinen Punktes, welcher auf der Geraden liegt in Abhängigkeit eines Parameters zu dem fixierten Punkt bestimmst. Den Abstand zwischen zwei Punkten und kannst du mit der folgenden Formel bestimmen: Anhand der Geradengleichungen kannst du die Koordinaten eines allgemeinen Punktes auf den Geraden bestimmen und anschließend zwei Gleichungen für den Abstand zwischen der Geraden und dem Ballon durch die obige Formel bestimmen. Da du die Zeitpunkte bestimmen sollst, für die der Abstand der Geradengleichungen zum Ballon gleich sein soll musst du die beiden Gleichungen für den Abstand gleichsetzen und nach der Zeit mit deinem GTR auflösen. Für einen allgemeinen Punkt auf der Geraden mit der Gleichung gelten für die Koordinaten in Abhängigkeit der Zeit : Für einen allgemeinen Punkt auf der Geraden mit der Gleichung gelten für die Koordinaten in Abhängigkeit der Zeit : Da hierbei die Zeitpunkte gleich sein sollen gilt entsprechend für den Parameter . Damit folgt für den Abstand zwischen der Geraden und dem Ballon an der Position mit dem allgemeinen Punkt : Für den Abstand zwischen der Geraden und dem Ballon an der Position mit dem allgemeinen Punkt folgt entsprechend: Da die beiden Flugzeuge denselben Abstand vom Ballon haben sollen, muss die Gleichung gelten. Setze somit und löse die Gleichung mit dem Solve-Befehl deines GTR wie in der vorherigen Teilaufgabe. Es folgt für einen Zeitpunkt: oder Somit sind mögliche Zeitpunkte nach Minuten oder ungefähr nach Minuten.   Verfahren beschreiben Du hast gegeben, dass die Punkte auf der Meeresoberfläche, welche zum Zeitpunkt gleich weit von beiden Flugzeugen entfernt sind, auf einer Geraden liegen. Du sollst hierfür ein Verfahren beschreiben, mit dem du eine Gleichung dieser Geraden bestimmen kannst. Du hast hierfür gegeben, dass die Meeresoberfläche in der -Ebene liegt. Überlege dir wie du eine Ebene konstruieren kannst, auf der alle Punkte den gleichen Abstand zu den Flugzeugen zum Zeitpunkt haben. Durch die Spurgeraden der Ebene in der -Ebene erhältst du anschließend die Gleichung für eine Gerade, auf der alle Punkte den gleichen Abstand zu beiden Flugzeugen haben, und die auf der Meeresoberfläche liegt. Anschließend kannst du die Ebene in Normalenform wie folgt mit dem Stützvektor und dem Normalenvektor aufstellen: Durch Berechnung der Gleichung der Spurgeraden von in der -Ebene erhältst du die Geradengleichung für die gesuchte Gerade.

  Geschwindigkeit berechnen In dieser Teilaufgabe sollst du die Geschwindigkeit von in berechnen. Du hast hierfür gegeben, dass die Flugbahn von durch die Gleichung gegeben ist. Außerdem hast du gegeben, dass sich das Flugzeug geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. An der Gleichung für die Flugbahn des Flugzeuges kannst du erkennen, dass sich das Flugzeug innerhalb einer Minute durch den Verschiebungsvektor weiter bewegt. Somit kannst du die Länge des Verschiebungsvektors bestimmen und somit weißt du, welche Strecke das Flugzeug innerhalb einer Minute zurücklegt und damit auch die Geschwindigkeit. Die Länge eines Vektors kannst du mit der Norm deines GTR berechnen. Somit beträgt die Geschwindigkeit des Flugzeuges etwa .   Zeitpunkt bestimmen Du sollst den Zeitpunkt bestimmen, zu dem eine Höhe von erreicht. Dazu hast du gegeben, dass die -Ebene die Meeresoberfläche beschreibt. Dadurch weißt du, dass die -Koordinate die Höhe über dem Meeresspiegel beschreibt. Somit weißt du, dass die -Koordinate des Flugzeuges zu dem Zeitpunkt betragen soll. Die Flugbahn des Flugzeuges in Abhängigkeit der Zeit ist durch die Gleichung gegeben. Daraus kannst du eine Gleichung zur Bestimmung der -Koordinate bestimmen und gleich der Höhe von setzen. Es folgt die Gleichung: Somit hast du gezeigt, dass nach Minuten und damit um Uhr die Höhe des Flugzeuges beträgt.   Winkel bestimmen Du sollt die Weite des Winkels bestimmen, mit dem das Flugzeug steigt. Du hast gegeben, dass der Punkt die Position von um Uhr und der Punkt die Position von um Uhr beschreibt. Somit ist der Winkel zwischen der Meeresoberfläche und der Flugbahn des Flugzeuges , welche durch eine Gerade gegeben ist, gesucht. Den Winkel zwischen einer Ebene mit der allgemeinen Koordinatenform mit dem zugehörigen Normalenvektor und einer Geraden mit dem Richtungsvektor kannst du mit folgender Formel berechnen: Somit musst du noch den Normalenvektor der Ebene, welche die Meeresoberfläche beschreibt, bestimmen und den Richtungsvektor der Flugbahn des Flugzeuges . Du hast gegeben, dass die Meeresoberfläche in der -Ebene liegt. Außerdem weißt du, dass die Flugbahn des Flugzeuges durch eine Gerade beschrieben werden kann und durch die Punkte und verläuft. Somit gilt für die Ebenengleichung in Koordinatenform der Meeresoberfläche , da die -Koordinate für jeden Punkt in der -Ebene Null ist und damit gilt für den Normalenvektor . Den Richtungsvektor der Flugbahn kannst du durch die Ortsvektoren der Punkte und folgendermaßen bestimmen: Somit kannst du den Winkel mit der Norm für einen Vektor aus der vorherigen Teilaufgabe und dem Skalarprodukt deines GTR berechnen. Somit beträgt die Weite des Winkels etwa .

  Bedingung prüfen Du sollst prüfen, ob die Bedingung erfüllt ist, dass die Zeitpunkte zu denen die Flugzeuge den Schnittpunkt ihrer Flugbahnen durchfliegen, mindestens eine Minute auseinander liegen. Du hast hierfür die Flugbahn des Flugzeuges durch die Geradengleichung gegeben. Bestimme zuerst die Geradengleichung für die Flugbahn des Flugzeuges in Abhängigkeit eines Parameters , welcher die Zeit in Minuten beschreibt und setze anschließend die Geradengleichungen für die Flugbahnen gleich und bestimme daraus die Werte für die Parameter und , welche die Zeiten in Minuten angeben nachdenen die Flugzeuge den Schnittpunkt ihrer Flugbahnen erreichen. Du hast gegeben, dass der Punkt die Position von um Uhr beschreibt. Somit kannst du den Ortsvektor zum Punkt als Stützvektor für die Geradengleichung wählen. Zudem hast du gegeben, dass sich das Flugzeug um Uhr am Punkt befindet. Für die allgemeine Geradengleichung mit dem unbekannten Richtungsvektor , dem Parameter , welcher die Zeit in Minuten nach dem Beobachtungsbeginn angibt, und dem Ortsvektor gilt: Hierzu hast du gegeben, dass sich das Flugzeug für , also für drei Minuten nach Beobachtungsbeginn an dem Punkt befindet. Somit kannst du eine Punktprobe durchführen und damit den Richtungsvektor der Geraden bestimmen. Es folgt: Somit gilt für die Geradengleichung . Die Geradengleichungen und kannst du gleichsetzen und folgendermaßen umformen: Daraus folgt: Aus Gleichung folgt: Anschließend kannst du in die Gleichung einsetzen und den Wert für den Parameter bestimmen. Es folgt: Die Werte für die Parameter und musst du anschließend noch in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob dies zu einer wahren Aussage führt. Es folgt: Dies ist eine wahre Aussage und somit gilt, dass die Lösung des Gleichungssystem und lautet. Damit hast du gezeigt, dass das Flugzeug Minuten nach Beobachtungsbeginn und das Flugzeug Minuten nach Beobachtungsbeginn den Schnittpunkt ihrer Flugbahnen erreichen. Damit ist die Bedingung erfüllt, dass die Zeitpunkte, zu denen die Flugzeuge den Schnittpunkt ihrer Flugbahnen erreichen, mindestens eine Minute auseinander liegen müssen.

  Zeitpunkt bestimmen In dieser Teilaufgabe sollst du einen Zeitpunkt bestimmen, zu dem beide Flugzeuge denselben Abstand vom Ballon haben. Du hast die Position des Ballons durch den Punkt gegeben. Die Geradengleichungen für die Flugbahnen der beiden Flugzeuge hast du bereits aus der vorherigen Teilaufgabe gegeben. Den Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt kannst du bestimmen, indem du den Abstand eines alllgemeinen Punktes, welcher auf der Geraden liegt in Abhängigkeit eines Parameters zu dem fixierten Punkt bestimmst. Den Abstand zwischen zwei Punkten und kannst du mit der folgenden Formel bestimmen: Anhand der Geradengleichungen kannst du die Koordinaten eines allgemeinen Punktes auf den Geraden bestimmen und anschließend zwei Gleichungen für den Abstand zwischen der Geraden und dem Ballon durch die obige Formel bestimmen. Da du die Zeitpunkte bestimmen sollst, für die der Abstand der Geradengleichungen zum Ballon gleich sein soll musst du die beiden Gleichungen für den Abstand gleichsetzen und nach der Zeit mit deinem GTR auflösen. Für einen allgemeinen Punkt auf der Geraden mit der Gleichung gelten für die Koordinaten in Abhängigkeit der Zeit : Für einen allgemeinen Punkt auf der Geraden mit der Gleichung gelten für die Koordinaten in Abhängigkeit der Zeit : Da hierbei die Zeitpunkte gleich sein sollen gilt entsprechend für den Parameter . Damit folgt für den Abstand zwischen der Geraden und dem Ballon an der Position mit dem allgemeinen Punkt : Für den Abstand zwischen der Geraden und dem Ballon an der Position mit dem allgemeinen Punkt folgt entsprechend: Da die beiden Flugzeuge denselben Abstand vom Ballon haben sollen, muss die Gleichung gelten. Setze somit und löse die Gleichung mit dem Solve-Befehl deines GTR wie in der vorherigen Teilaufgabe. Es folgt für einen Zeitpunkt: oder Somit sind mögliche Zeitpunkte nach Minuten oder ungefähr nach Minuten.   Verfahren beschreiben Du hast gegeben, dass die Punkte auf der Meeresoberfläche, welche zum Zeitpunkt gleich weit von beiden Flugzeugen entfernt sind, auf einer Geraden liegen. Du sollst hierfür ein Verfahren beschreiben, mit dem du eine Gleichung dieser Geraden bestimmen kannst. Du hast hierfür gegeben, dass die Meeresoberfläche in der -Ebene liegt. Überlege dir wie du eine Ebene konstruieren kannst, auf der alle Punkte den gleichen Abstand zu den Flugzeugen zum Zeitpunkt haben. Durch die Spurgeraden der Ebene in der -Ebene erhältst du anschließend die Gleichung für eine Gerade, auf der alle Punkte den gleichen Abstand zu beiden Flugzeugen haben, und die auf der Meeresoberfläche liegt. Anschließend kannst du die Ebene in Normalenform wie folgt mit dem Stützvektor und dem Normalenvektor aufstellen: Durch Berechnung der Gleichung der Spurgeraden von in der -Ebene erhältst du die Geradengleichung für die gesuchte Gerade.