Pflichtteil 1
Aufgabe 1
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
mit
und die Gerade durch die Punkte
und
a)
Gib die maximale Definitionsmenge der Funktion
an.
(0,5 VP)
b)
Bestimme den Inhalt der markierten Fläche.
(2 VP)

Aufgabe 2
Die Abbildung zeigt den Graphen der in
definierten Funktion
, dessen einzige Extrempunkte
und
sind, sowie den Punkt
a)
Gib die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in
definierten Funktion
mit
an.
(1 VP)
b)
Der Graph einer Stammfunktion von
verläuft durch
Skizziere diesen Graphen in der Abbildung.
(1,5 VP)

Aufgabe 3
Die Abbildung zeigt den Graphen einer in
definierten Funktion

a)
Beurteile die folgende Aussage:
„Für jeden Wert von
mit
ist die Steigung des Graphen von
kleiner als 3.“
(1 VP)
b)
Mit dem Term
kann das Volumen eines Körpers berechnet werden.
Begründe, dass dieses Volumen größer als
ist.
(1,5 VP)
Aufgabe 4
Gegeben ist die Gerade
a)
Zeige, dass
in der Ebene
liegt.
(1 VP)
b)
Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden
mit
und
.
Weise nach, dass
und
für jeden Wert von
windschief sind.
(1,5 VP)
Aufgabe 5
Gegeben sind die Geraden
a)
Begründe, dass
und
nicht identisch sind.
(0,5 VP)
b)
Die Gerade
soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade
abgebildet werden.
Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere das Vorgehen.
(2 VP)
Aufgabe 6
In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die negative Zahl
a)
Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term
berechnet werden kann.
(0,5 VP)
b)
Die Zufallsgröße
gibt das Produkt der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von
ist 4.
Bestimme den Wert von
(2 VP)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Lösung 1
a)
Der Radikand nimmt keine negativen Werte an. Somit folgt:
b)
Die markierte Fläche kann in zwei Abschnitte unterteilt werden:
Nullstelle von
bestimmen:
Für den Inhalt der Fläche
folgt:
Die Fläche
entspricht einer Dreiecksfläche:
Der Inhalt der markierten Fläche ist somit gegeben durch:

Lösung 2
a)
Der Graph von
ergibt sich aus dem Graphen von
durch Verschiebung um 3 Längeneinheiten in positive
-Richtung und Spiegelung an der
-Achse.
Aufgrund der Spiegelung entspricht der Hochpunkt des Graphen von
nach entsprechender Verschiebung also dem Tiefpunkt des Graphen von
Durch Spiegelung an der
-Achse ergeben sich die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von
mit
b)

Lösung 3
a)
Der Abbildung kann entnommen werden, dass die Steigung des Graphen für
im Punkt
am größten ist.
Durch Einzeichnen der Tangente an den Graphen in diesem Punkt ergibt sich, dass die Steigung in diesem Punkt kleiner als 3 ist.
Die Aussage ist somit richtig.
b)
Der Term
beschreibt das Volumen des Rotationskörpers der Fläche, die vom Graphen von
den Koordinatenachsen und der Gleichung
eingeschlossen wird.
Der Term
beschreibt das Volumen der Rotationskörper zweier Zylinder mit den Radien
und
und einer jeweiligen Höhe von 1.
Aus der Abbildung ergibt sich, dass das Volumen der rotierenden Zylinder folglich kleiner als das Volumen des rotierenden Graphen von
ist.

Lösung 4
a)
Aus der Geradengleichung
lassen sich
und
herauslesen.
Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt:
Somit liegt die Gerade
in der Ebene
b)
Zwei Geraden sind genau dann windschief, wenn sie nicht parallel bzw. identisch parallel zueinander sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
Parallelität überprüfen:
Es muss gelten:
Da aus der ersten Zeile
, aus der zweiten Zeile
und aus der dritten Zeile
folgt, hat diese Gleichung keine Lösung.
Die Gerade
und die Geraden der Schar
sind folglich unabhängig von
weder parallel noch identisch parallel zueinander.
Schnittpunkt prüfen:
Aus der dritten Zeile folgt
und eingesetzt in die erste Zeile
Einsetzen in die zweite Zeile ergibt jedoch
was zu einem Widerspruch führt.
Die Gerade
und die Geraden der Schar
haben somit keinen Schnittpunkt miteinander und sind folglich für jeden Wert von
windschief.
Lösung 5
a)
b)
Da sich die Geraden
und
im Punkt
schneiden, muss dieser in der gesuchten Ebene liegen.
Die Gerade
kann an den beiden Ebenen gespiegelt werden, welche sowohl den Punkt
als auch die Gerade der Winkelhalbierenden der Richtungsvektoren von
und
enthalten.
Da die beiden Richtungsvektoren der Geraden
und
die gleiche Länge
besitzen, ergeben sich die Normalenvektoren aus der Summe bzw. der Differenz der Richtungsvektoren.
Die Normalenvektoren
und
der beiden Spiegelebenen folgen also mit:
Einsetzen des gemeinsamen Stützpunkts
in die allgemeine Ebenengleichung liefert:
Eine mögliche Ebenengleichung ergibt sich also mit:
Analog gilt:
Eine mögliche Ebenengleichung ergibt sich also außerdem mit:
Lösung 6
a)
„Es werden zwei Kugeln aus dem Behälter gezogen, die mit unterschiedlichen Zahlen beschriftet sind."
b)