Pflichtteil 1

Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\sqrt{x+2}$ und die Gerade durch die Punkte $A(2 \mid 2)$ und $B(3 \mid 0).$

Gib die maximale Definitionsmenge der Funktion $f$ an.

(0,5 VP)

Bestimme den Inhalt der markierten Fläche.

(2 VP)

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ , dessen einzige Extrempunkte $A(-1 \mid 1)$ und $B(0 \mid 0)$ sind, sowie den Punkt $P.$

Gib die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)=-f(x-3)$ an.

(1 VP)

Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch $P.$

Skizziere diesen Graphen in der Abbildung.

(1,5 VP)

Aufgabe 3

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f.$

Beurteile die folgende Aussage:

„Für jeden Wert von $x$ mit $0 \leq x \leq 2$ ist die Steigung des Graphen von $f$ kleiner als 3.“

(1 VP)

Mit dem Term $\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{2}(f(x))^2\;\mathrm dx$ kann das Volumen eines Körpers berechnet werden.

Begründe, dass dieses Volumen größer als $\pi \cdot 0,5^2+\pi \cdot 1^2$ ist.

(1,5 VP)

Aufgabe 4

Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ mit $t \in \mathbb{R}.$

Zeige, dass $g$ in der Ebene $E: x_1+x_2+x_3=2$ liegt.

(1 VP)

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_a: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$ mit $s \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$ .

Weise nach, dass $g$ und $h_a$ für jeden Wert von $a$ windschief sind.

(1,5 VP)

Aufgabe 5

Gegeben sind die Geraden $g: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$ und $h: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s} \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ mit $r, s \in \mathbb{R}.$

Begründe, dass $g$ und $h$ nicht identisch sind.

(0,5 VP)

Die Gerade $g$ soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade $h$ abgebildet werden.

Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere das Vorgehen.

(2 VP)

Aufgabe 6

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die negative Zahl $a.$

Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}$ berechnet werden kann.

(0,5 VP)

Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist 4.

Bestimme den Wert von $a.$

(2 VP)