Pflichtteil 1

Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\sqrt{x+2}$ und die Gerade durch die Punkte $A(2 \mid 2)$ und $B(3 \mid 0).$

Gib die maximale Definitionsmenge der Funktion $f$ an.

(0,5 VP)

Bestimme den Inhalt der markierten Fläche.

(2 VP)

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ , dessen einzige Extrempunkte $A(-1 \mid 1)$ und $B(0 \mid 0)$ sind, sowie den Punkt $P.$

Gib die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)=-f(x-3)$ an.

(1 VP)

Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch $P.$

Skizziere diesen Graphen in der Abbildung.

(1,5 VP)

Aufgabe 3

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f.$

Beurteile die folgende Aussage:

„Für jeden Wert von $x$ mit $0 \leq x \leq 2$ ist die Steigung des Graphen von $f$ kleiner als 3.“

(1 VP)

Mit dem Term $\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{2}(f(x))^2\;\mathrm dx$ kann das Volumen eines Körpers berechnet werden.

Begründe, dass dieses Volumen größer als $\pi \cdot 0,5^2+\pi \cdot 1^2$ ist.

(1,5 VP)

Aufgabe 4

Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ mit $t \in \mathbb{R}.$

Zeige, dass $g$ in der Ebene $E: x_1+x_2+x_3=2$ liegt.

(1 VP)

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_a: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$ mit $s \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$ .

Weise nach, dass $g$ und $h_a$ für jeden Wert von $a$ windschief sind.

(1,5 VP)

Aufgabe 5

Gegeben sind die Geraden $g: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$ und $h: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s} \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ mit $r, s \in \mathbb{R}.$

Begründe, dass $g$ und $h$ nicht identisch sind.

(0,5 VP)

Die Gerade $g$ soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade $h$ abgebildet werden.

Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere das Vorgehen.

(2 VP)

Aufgabe 6

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die negative Zahl $a.$

Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}$ berechnet werden kann.

(0,5 VP)

Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist 4.

Bestimme den Wert von $a.$

(2 VP)

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Lösung 1

Der Radikand nimmt keine negativen Werte an. Somit folgt:

$D=[-2;\infty[$

Die markierte Fläche kann in zwei Abschnitte unterteilt werden:

Nullstelle von $f$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0&\\[5pt] \sqrt{x+2}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; (\;)^2\\[5pt] x+2&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] x&=& -2 \end{array}$

Für den Inhalt der Fläche $A_1$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \displaystyle\int_{-2}^{2}\sqrt{x+2}\;\mathrm dx&\\[5pt] &=& \left[\dfrac{2}{3}\cdot (x+2)^{\frac{3}{2}}\right]_{-2}^2&\\[5pt] &=& \dfrac{2}{3}\cdot (2+2)^{\frac{3}{2}}-\dfrac{2}{3}\cdot (-2+2)^{\frac{3}{2}}&\\[5pt] &=& \dfrac{2}{3}\cdot 4^{\frac{3}{2}}-0&\\[5pt] &=& \dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{4^3}&\\[5pt] &=& \dfrac{16}{3} \; [\text{FE}] \end{array}$

Die Fläche $A_2$ entspricht einer Dreiecksfläche:

$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b & \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 2 & \\[5pt] &=& 1 \; [\text{FE}] \end{array}$

Der Inhalt der markierten Fläche ist somit gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_1+A_2& \\[5pt] &=& \dfrac{16}{3}+1& \\[5pt] &\approx& \dfrac{19}{3} \; [\text{FE}] \end{array}$

Lösung 2

Der Graph von $g$ ergibt sich aus dem Graphen von $f$ durch Verschiebung um 3 Längeneinheiten in positive $x$ -Richtung und Spiegelung an der $x$ -Achse.

Aufgrund der Spiegelung entspricht der Hochpunkt des Graphen von $f$ nach entsprechender Verschiebung also dem Tiefpunkt des Graphen von $g.$

Durch Spiegelung an der $x$ -Achse ergeben sich die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $g$ mit $T(2\mid -1).$

Lösung 3

Der Abbildung kann entnommen werden, dass die Steigung des Graphen für $0 \leq x \leq 2$ im Punkt $P(1 \mid f(1))$ am größten ist.

Durch Einzeichnen der Tangente an den Graphen in diesem Punkt ergibt sich, dass die Steigung in diesem Punkt kleiner als 3 ist.

Die Aussage ist somit richtig.

Der Term $\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{2}(f(x))^2\;\mathrm dx$ beschreibt das Volumen des Rotationskörpers der Fläche, die vom Graphen von $f,$ den Koordinatenachsen und der Gleichung $x=2$ eingeschlossen wird.

Der Term $\pi \cdot 0,5^2+\pi \cdot 1^2$ beschreibt das Volumen der Rotationskörper zweier Zylinder mit den Radien $r_1=0,5$ und $r_2=1$ und einer jeweiligen Höhe von 1.

Aus der Abbildung ergibt sich, dass das Volumen der rotierenden Zylinder folglich kleiner als das Volumen des rotierenden Graphen von $f$ ist.

Lösung 4

Aus der Geradengleichung $g$ lassen sich $x_1= t,$ $x_2= 1$ und $x_3=1-t$ herauslesen.

Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} E: t+1+(1-t)&=& 2& \\[5pt] 2&=& 2 \end{array}$

Somit liegt die Gerade $g$ in der Ebene $E.$

Zwei Geraden sind genau dann windschief, wenn sie nicht parallel bzw. identisch parallel zueinander sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

Parallelität überprüfen:

Es muss gelten:

$\pmatrix{1\\0\\-1}= n\cdot \pmatrix{1\\a\\0}$

Da aus der ersten Zeile $n=1$ , aus der zweiten Zeile $n=0$ und aus der dritten Zeile $-1\neq n\cdot 0$ folgt, hat diese Gleichung keine Lösung.

Die Gerade $g$ und die Geraden der Schar $h_a$ sind folglich unabhängig von $a$ weder parallel noch identisch parallel zueinander.

Schnittpunkt prüfen:

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{t\\1\\-t}= \pmatrix{s\\ s\cdot a\\0}$

Aus der dritten Zeile folgt $t=0$ und eingesetzt in die erste Zeile $t=s=0.$

Einsetzen in die zweite Zeile ergibt jedoch $1=0\cdot a,$ was zu einem Widerspruch führt.

Die Gerade $g$ und die Geraden der Schar $h_a$ haben somit keinen Schnittpunkt miteinander und sind folglich für jeden Wert von $a$ windschief.

Lösung 5

$g$ und $h$ sind nicht identisch, da die Richtungsvektoren von $g$ und $h$ keine Vielfachen voneinander sind.

Da sich die Geraden $g$ und $h$ im Punkt $P(1|1| 1)$ schneiden, muss dieser in der gesuchten Ebene liegen.

Die Gerade $g$ kann an den beiden Ebenen gespiegelt werden, welche sowohl den Punkt $P(1|1| 1)$ als auch die Gerade der Winkelhalbierenden der Richtungsvektoren von $g$ und $h$ enthalten.

Da die beiden Richtungsvektoren der Geraden $g$ und $h$ die gleiche Länge $\left| \pmatrix{1\\2\\0} \right|=\left| \pmatrix{2\\1\\0} \right|=\sqrt{5}$ besitzen, ergeben sich die Normalenvektoren aus der Summe bzw. der Differenz der Richtungsvektoren.

Die Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$ der beiden Spiegelebenen folgen also mit:

$\overrightarrow{n_1}=\pmatrix{1\\2\\0}+ \pmatrix{2\\1\\0}= \pmatrix{3\\3\\0}$

$\overrightarrow{n_2}=\pmatrix{2\\1\\0}- \pmatrix{1\\2\\0}=\pmatrix{1\\-1\\0}$

Einsetzen des gemeinsamen Stützpunkts $P(1 \mid 1\mid1)$ in die allgemeine Ebenengleichung liefert:

Rechenweg anzeigen

$c=6$

Eine mögliche Ebenengleichung ergibt sich also mit:

$\begin{array}[t]{rll} E_1: \quad 3\cdot x_1+3\cdot x_2&=& 6&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x_1+x_2&=& 2 \end{array}$

Analog gilt:

Rechenweg anzeigen

$c=0$

Eine mögliche Ebenengleichung ergibt sich also außerdem mit:

$E_2: \quad x_1-x_2=0$

Lösung 6

„Es werden zwei Kugeln aus dem Behälter gezogen, die mit unterschiedlichen Zahlen beschriftet sind."

$X:$ Produkt der Zahlen, die auf den beiden gezogenen Kugeln stehen

Die Produkte ergeben sich zu:

$2\cdot a=2a$

$2\cdot 2=4$

$a\cdot a=a^2$

$\color{#fff}{X}$	$\color{#fff}{P(X)}$
$2a$	$2\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{25}$
$4$	$\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}$
$a^2$	$\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{25}$

Der Erwartungswert folgt also mit:

$E(X)=4$

Rechnung anzeigen

Mit der $abc$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& \dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot (-16)}}{2\cdot 1}& \\[5pt] &=& \dfrac{-6\pm\sqrt{36+64}}{2}&\\[5pt] &=& \dfrac{-6\pm10}{2}&\\[5pt] \end{array}$

Daraus ergeben sich $x_1=\dfrac{-6+10}{2}=2$ und $x_2=\dfrac{-6-10}{2}=-8.$

Da der Wert von $a$ laut Aufgabenstellung negativ ist, folgt $a=-8.$

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