Stochastik

Aufgabe III 1

Ein Unternehmen produziert Stahlkugeln für Kugellager. Erfahrungsgemäß sind 4 % aller Kugeln fehlerhaft.
200 Kugeln werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschrieben werden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse.

$C:$

„Genau 6 der ausgewählten Kugeln sind fehlerhaft. “

$D:$

„Weniger als 6 der ausgewählten Kugeln sind fehlerhaft. “

(3 BE)

Es gilt: $P(X=10) \approx 10\,\%.$
Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.

(5 BE)

Eine fehlerhafte Kugel hat entweder einen Formfehler oder einen Größenfehler. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel einen Formfehler hat, beträgt 3 %. Alle Kugeln werden vor dem Verpacken geprüft. Dabei werden 95 % der Kugeln mit Formfehler, 98 % der Kugeln mit Größenfehler, aber auch 0,5 % der Kugeln ohne Fehler aussortiert.

Stelle den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(4 BE)

Beurteile unter Zuhilfenahme geeigneter Rechnungen folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nicht aussortiert wird, ist doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat.

(6 BE)

Aufgrund zunehmender Reklamationen wird vermutet, dass der Anteil der fehlerhaften Kugeln auf über 4 % angestiegen ist. Um diese Vermutung zu prüfen, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Kugeln beträgt höchstens 4 %.“ auf der Grundlage einer Stichprobe von 500 Kugeln getestet werden.
Wenn das Ergebnis des Tests die Vermutung nicht entkräftet, soll die Produktion unterbrochen werden, um die Maschinen zu warten. Das Risiko, die Produktion irrtümlich zu unterbrechen, soll höchstens 3 % betragen.

Beschreibe für diesen Test im Sachzusammenhang den Fehler zweiter Art.
Gib die Konsequenz an, die sich aus diesem Fehler für die Produktion ergeben würde.

(3 BE)

Für den beschriebenen Test wird der Ablehnungsbereich betrachtet. Eine der beiden Grenzen dieses Ablehnungsbereichs ist größer als 0 und kleiner als 500; diese Grenze wird mit $k$ bezeichnet. Zur Bestimmung des Werts von $k$ soll die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n= 500$ und $p= 0,04$ verwendet werden.
Begründe, dass keine der beiden Ungleichungen I und II den korrekten Wert von $k$ liefert.

$P(Y\leq k) \leq 0,03$

$P(Y\leq k) \gt 0,97$

(4 BE)

Die Kugeln werden in Packungen verkauft. Ein Teil der verkauften Packungen wird zurückgegeben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine verkaufte Packung zurückgegeben wird, beträgt 3 %. Dem Unternehmen entsteht pro Packung, die zurückgegeben wird, ein Verlust von 5,80 Euro; pro Packung, die nicht zurückgegeben wird, erzielt das Unternehmen einen Gewinn von 8,30 Euro.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von 200 Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens 1500 Euro erzielt.

(4 BE)

Aufgabe III 2

Ein Unternehmen stellt Schrauben und Muttern für den Bau von Windkraftanlagen her. Wegen der extremen Belastung werden besondere Anforderungen an diese Verbindungselemente gestellt. Eine hochwertige Schraube zeichnet sich durch die Qualität des Schraubenkörpers und die Qualität der anschließenden Beschichtung aus.

Bei der Produktion entstehen immer wieder Schrauben, die nicht den Qualitätsansprüchen genügen. $97 \,\%$ der Schrauben weisen einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Von den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper haben $1,5 \,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung. Von den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben $5 \,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung.

Stelle den beschriebenen Sachzusammenhang im folgenden Baumdiagramm dar.

(2 BE)

Die Beschichtung einer zufällig ausgewählten Schraube ist fehlerhaft.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Schraube einen fehlerhaften Schraubenkörper aufweist.

(3 BE)

Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die Beschichtung fehlerfrei sind. Qualitätskontrollen zeigen, dass im Durchschnitt $4,5 \,\%$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0,045$ ist.

In einer Untersuchung werden $500$ Schrauben zufällig der Produktion entnommen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben genau $15$ Schrauben fehlerhaft sind.

(2 BE)

Ermittle, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 \,\%$ mindestens $200$ dieser Schrauben fehlerfrei sind.

(3 BE)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt $5000$ fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei dem oben stehenden Unternehmen eine Bestellung auf.

Ermittle, wie viele Schrauben mindestens produziert werden müssen, damit der Erwartungswert für fehlerfreie Schrauben in dieser Produktion mindestens $5000$ beträgt.

(2 BE)

Es werden $5236$ Schrauben produziert.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion für den Bedarf von „Wind 24“ ausreicht.

(2 BE)

„Wind 24“ beschwert sich beim oben genannten Unternehmen. Die Qualität der gelieferten Schrauben habe stark nachgelassen: Ca. $8 \,\%$ der gelieferten Schrauben seien fehlerhaft. Das Unternehmen entscheidet sich, dem Vorwurf nachzugehen. Es werden $200$ Schrauben zufällig der laufenden Produktion entnommen und auf ihre Qualität hin untersucht. „Wind 24“ ist der wichtigste Kunde des Unternehmens. Die Unternehmensleitung will daher die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Beschwerde von „Wind 24“ zurückweist, obwohl die Schrauben tatsächlich eine Fehlerquote von $8 \,\%$ aufweisen, begrenzen. Sie führt dazu einen Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5 \,\%$ durch.

Bestimme eine Entscheidungsregel für den obigen Hypothesentest.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Unternehmensleitung die Beschwerde von „Wind 24“ nicht zurückweist, falls der Produktionsprozess nach wie vor nur eine Fehlerquote von $4,5 \,\%$ aufweist.

(5 BE)

Das Unternehmen stellt noch einen zweiten Schraubentyp her. Die Schichtdicke (gemessen in $\mu\text{m}$ ) einer zufällig ausgewählten Schraube dieses Typs lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit $\mu = 8,2$ und $\sigma = 0,4$ (beides in $\mu\text{m}$ ) beschreiben.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdicke (in $\mu\text{m}$ ) einer zufällig ausgewählten Schraube zwischen $7,5$ und $8,5$ liegt.

(2 BE)

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Lösung III 1

$X:$ Anzahl der fehlerhaften Kugeln

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten können mit dem Taschenrechner berechnet werden:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} P(C) &\approx & 12\,\%\\[10pt] P(D) &\approx & 19\,\%\\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $10$ Kugeln aus den $200$ zufällig ausgewählten Kugeln fehlerhaft sind, beträgt etwa $10\,\%.$

Formel für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße anwenden:

$\mu=n\cdot p=200\cdot 0,04=8$

Formel für die Standardabweichung $\sigma$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} \frac{\sigma}{2}&=&\frac{1}{2}\cdot\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot\sqrt{200\cdot0,04\cdot0,96}\\[5pt] &\approx& 1,386 \end{array}$

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt: $8-\frac{\sigma}{2}\approx 7$ und $8+\frac{\sigma}{2}\approx9$ liegen. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} &P(\mu - \frac{\sigma}{2} \leq X \leq \mu + \frac{\sigma}{2}) \\[5pt] =& P(8-1,386 \leq X \leq 8 +1,386) \\[5pt] =& P_{0,04}^{200}(7\leq X\leq 9)\\[5pt] =& P_{0,04}^{200}(X\leq9)-P_{0,04}^{200}(X\leq 6)\\[5pt] \approx& 0,7192-0,3084\\[5pt] \approx& 0,41\\[5pt] =& 41\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $41\,\%$ weicht die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl ab.

A: Eine zufällig ausgewählte Kugel wird aussortiert.

Diagramm zur Fehleranalyse mit Prozentanteilen für keine Fehler, Formfehler und Größenfehler.

Mit Hilfe des Baumdiagramms und den Pfadregeln kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass eine zufällig ausgewählte Kugel nicht aussortiert wird:

$P(\overline{A})$ $=0,96\cdot 0,995+0,03\cdot0,05+0,01\cdot0,02$ $=0,9569\approx 96\%$

Mit dem Satz von Bayes kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass eine zufällig ausgewählte aussortierte Kugel keinen Formfehler hat:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$P_A(\text{kein Formfehler})\approx 34\,\%$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nicht aussortiert wird, nicht doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat.

Fehler zweiter Art
Beim Fehler zweiter Art wird die Nullhypothese fälschlicherweise nicht abgelehnt.
Das Unternehmen geht also irrtümlich davon aus, dass der Anteil der fehlerhaften Kugeln nicht auf über $4\,\%$ angestiegen ist.

Konsequenz
Die Produktion wird nicht unterbrochen und es wird weiter mit einer erhöhten Fehlerquote produziert.

Die Nullhypothese soll mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $3\,\%$ irrtümlich abgelehnt werden.
Dies geschieht nur dann, wenn signifikant zu viele fehlerhafte Kugeln in der Stichprobe enthalten sind.
Unter der Annahme, dass die Nullhypothese zutrifft, soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl fehlerhafter Kugeln mindestens $k$ beträgt, also höchstens $3\,\%$ betragen.
Anders formuliert, soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl fehlerhafter Kugeln kleiner als $k$ ist, größer als $97\,\%$ sein. Damit müsste in der Ungleichung I „ $Y\geq k$ “ anstelle von „ $Y\leq k$ “ und in der Ungleichung II „ $Y\lt k$ “ anstelle von „ $Y\leq k$ “ stehen.

Die Zufallsgröße $Z,$ beschreibt die Anzahl $z$ der zurückgegebenen Packungen.
Anzahl der zurückgegebenen Packungen bestimmen:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$z\leq11$

Damit der Gesamtgewinn mindestens $1500\,€$ beträgt, dürfen also höchstens elf Packungen zurückgegeben werden.

Mit dem Taschenrechner ergibt sich die Wahrscheinlichkeit:

$P_{0,03}^{200}(Z\leq 11)\approx0,9816\approx98\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $98\,\%$ erzielt das Unternehmen bei einem Verkauf von $200$ Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens $1500\,\text{Euro}.$

Lösung III 2

K+: Schraubenkörper fehlerfrei
K-: Schraubenkörper fehlerhaft
B+: Beschichtung fehlerfrei
B-: Beschichtung fehlerhaft

Falls eine (zufällig gewählte) Schraube eine fehlerhafte Beschichtung aufweist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Schraubenkörper fehlerhaft ist $\dfrac{0,0015}{0,01455+0,0015}\approx0,09346.$

$P_{500;0,045}(X=15)\approx0,0238=2,38\;\text{%}$

$p^*=1-0,045=0,955.$

Somit gilt:

$P_{n;0,955}(X\geq200)\geq0,95$

Durch systematisches Ausprobieren mit dem GTR folgt $P_{214;0,955}=0,9388$ und $P_{215;0,955}=0,9652.$ Es müssen also mindestens $215$ Schrauben entnommen werden.

Für den Erwartungswert gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \mu^*&=& n^* \cdot p^* \\[5pt] 5000&=& n^* \cdot 0,955 &\quad \scriptsize \mid\;:0,955\\[5pt] 5235,6&=& n^* \\[5pt] \end{array}$

Es müssen also mindestens 5236 Schrauben produziert werden, damit der Erwartungs- wert für fehlerfreie Schrauben mindestens 5000 beträgt.

Binomialverteilung mit $n^*=5236$ und $p^*=0,955$ anwenden:

$P_{5236;0,955}(X\geq5000)\approx0,5274$

Wenn $5236$ Schrauben produziert werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion für den Bedarf von „Wind 24“ ausreicht, ca. $52,74 \;\text{%}$ .

Kleine Anzahlen an fehlerhaften Schrauben sprechen gegen eine erhöhte Fehlerquote, weshalb linksseitig getestet wird.

Es gilt:

$P_{200 ; 0,08}(X \leq 9) \approx 0,03737$

$P_{200 ; 0,08}(X \leq 10) \approx 0,06913$

Da das Signifikansniveau mit $5\text{%}$ zwischen $P_{200 ; 0,08}(X \leq 9)$ und $P_{200 ; 0,08}(X \leq 10)$ liegt, lautet die Entscheidungsregel:

„Weise den Vorwurf von „Wind 24“ zurück, wenn $9$ oder weniger fehlerhafte Schrauben unter den $200$ untersuchten Schrauben sind.“

$P_{200;0,045}(X\geq10)=0,4126$

Falls die Fehlerquote nach wie vor nur $4,5 \;\text{%}$ beträgt, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass „Schraubenwind“ die Beschwerde von „Wind 24“ nicht zurückweist, bei ca. $41,26 \;\text{%}$ .

Gegeben ist eine Normalverteilung mit $\mu= 8.2$ und $\sigma=0,4$

Es gilt:

$P(7,5 \leq X \leq 8,5) \approx 0,7333$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdicke einer Schraube in dem geforderten Intervall liegt, beträgt somit ca. $73,33 \;\text{%}.$

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