Wahlteil B1

Weise nach, dass die Bodenfläche der oberen Etage nicht rechtwinklig ist.
Die folgenden Rechnungen zeigen ein mögliches Vorgehen zur Ermittlung der Koordinaten von d.h. Erläutere die Schritte des dargestellten Vorgehens.

Berechne den Inhalt der Bodenfläche der oberen Etage.
Für die obere Etage wird eine Anlage zur Entfeuchtung der Luft installiert, die für jeweils Rauminhalt eine elektrische Leistung von Kilowatt benötigt.
Weise nach, dass zur Entfeuchtung der Luft eine Leistung von Kilowatt ausreichend ist.

An einer Metallstange deren Enden durch die Punkte und dargestellt werden, ist ein Scheinwerfer befestigt, der sich entlang der Stange verschieben lässt. Die Größe des Scheinwerfers soll vernachlässigt werden.
Der Scheinwerfer soll aus einer Entfernung von diejenige Wand beleuchten, die im Modell durch das Dreieck dargestellt wird.
Berechne die Koordinaten des Punktes, der die Position des Scheinwerfers im Modell beschreibt.

  Rechtwinkligkeit überprüfen Die Bodenfläche der oberen Etage wird durch das Dreieck dargestellt. Dieses ist rechtwinklig, wenn eins der Skalarprodukte zweier Verbindungsvektoren der Eckpunkte null ist. In keinem der Punkte oder besitzt das Dreieck einen rechten Winkel. Die Bodenfläche der obersten Etage ist also nicht rechtwinklig.   Vorgehen beschreiben Der Punkt ist der Schnittpunkt der drei Geraden durch die Punkte und und und Es genügt den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen. In der dargestellten Rechnung werden die beiden Parameterdarstellungen der Geraden durch die Punkte und mit dem Geradenparameter und durch die Punkte und mit dem Geradenparameter gleichgesetzt.
Diese Gleichung liefert eine Lösung für und Der Wert für wird in die Geradengleichung durch die Punkte und eingesetzt und liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts.
Daraus erhält man die Koordinaten des Punkts

  Inhalt der Bodenfläche berechnen Der Flächeninhalt eines Dreiecks, das von zwei Vektoren aufgespannt wird, kann mithilfe des Kreuzprodukts berechnet werden: Die Bodenfläche der oberen Etage ist groß.   Benötigte Leistung überprüfen Die obere Etage wird durch die Pyramide dargestellt. Die Größe der Grundfläche wurde bereits berechnet. Die Höhe entspricht dem Abstand des Punkts von der Ebene, in der die Grundfläche liegt.
Da alle drei Eckpunkte der Grundfläche die gleiche -Koordinate haben, liegt die Grundfläche parallel zur -Ebene. Die Bodenfläche liegt also in einer Höhe von Metern. Die Spitze der Pyramide hat die -Koordinate Die Höhe der Pyramide ist also Mit der Formel für das Pyramidenvolumen ergibt sich: Das Volumen der oberen Etage beträgt Es werden demnach Kilowatt benötigt. Kilowatt reichen also aus.

  Koordinaten des Scheinwerfers berechnen Die Metallstange liegt im Modell auf der Geraden durch die Punkte und Gesucht ist ein Punkt auf dieser Geraden, der von der Ebene , in der die Punkte und liegen, den Abstand hat. 1. Schritt: Geradengleichung aufstellen Die Punkte auf haben also die Koordinaten 2. Schritt: Ebenengleichung aufstellen Mithilfe der Hesseschen Normalenform lässt sich eine Gleichung für den Abstand aufstellen. Ein Normalenvektor von kann mithilfe des Kreuzprodukts zweier Spannvektoren bestimmt werden: Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von ergibt sich: Für die Hessesche Normalenform wird noch der Betrag des Normalenvektors benötigt. Eine mögliche Darstellung von in der Hesseschen Normalenform lautet also: Der Abstand zwischen einem Punkt zur Ebene ist dann: 3. Schritt: Gleichung für den Abstand aufstellen und lösen Einsetzen der Koordinaten der Punkte auf der Geraden in die Abstandsfunktion und Gleichsetzen mit liefert: Für läge der Punkt nicht zwischen und Damit ergibt sich der Ortsvektor des Punkts, in dem sich der Scheinwerfer befindet: Die Position des Scheinwerfers wird im Modell durch den Punkt beschrieben.