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Pflichtteil

Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^2 \cdot \mathrm e^{-5x}.\)
(2 VP)

Aufgabe 2

Bestimme diejenige Stammfunktion \(F\) der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\sqrt{4x-7},\) für die \(F(2)=1\) ist.
(1,5 VP)

Aufgabe 3

Löse die Gleichung \((x^2+8)\cdot( \mathrm e^{x-1}-1)=0.\)
(1,5 VP)

Aufgabe 4

Der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\dfrac{4}{x^2}\) schneidet die Gerade mit der Gleichung \(y=4\) im Punkt \(P\,(1\mid 4)\) und die Gerade mit der Gleichung \(y=1\) im Punkt \(Q\,(2 \mid 1)\).
Berechne den Inhalt der markierten Fläche.
(2,5 VP)

Aufgabe 5

Abgebildet ist der Graph einer Funktion \(F\).
\(F\) ist die Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion \(f\).
a)
Gib eine Nullstelle von \(f\) im abgebildeten Bereich an.
b)
Bestimme \(\displaystyle\int_{1}^{2}f(x)\;\mathrm dx.\)
c)
Begründe, dass die Funktion \(f\) im Bereich \(0,5 \leq x \leq 1,5\) streng monoton fallend ist.
(2,5 VP)

Aufgabe 6

Gegeben sind die Ebenen:
\(E\): \(2x_1+2x_2+x_3=6\); \(F\): \(2x_2+x_3=4\).

a)
Stelle die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.
b)
Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen.
c)
Berechne den Abstand des Punktes \(O\,(0 \mid 0 \mid 0)\) von der Ebene \(E\).
(5 VP)

Aufgabe 7

Eine Gerade ist orthogonal zur Ebene \(E: \,x_1-x_3=5\) und schneidet die \(x_1\)-Achse in einem Punkt, der vom Punkt \(P\,(0 \mid 2 \mid 1)\) den Abstand \(3\) hat.
Bestimme eine Gleichung einer solchen Geraden.
(2,5 VP)

Aufgabe 8

Auf einem Tisch liegen verdeckt vier rote und zwei schwarze Karten, mit denen Anna und Bernd das folgende Spiel spielen:
Anna deckt in der ersten Runde nacheinander zwei Karten auf und legt sie nebeneinander auf den Tisch. Ist darunter mindestens eine schwarze Karte, dann gewinnt Anna und das Spiel ist beendet. Andernfalls deckt Bernd nacheinander zwei der übrigen Karten auf. Deckt er dabei mindestens eine schwarze Karte auf, so gewinnt er, ansonsten gewinnt Anna.
Bestimme für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
A
Anna gewinnt das Spiel in der ersten Runde.
B
Anna gewinnt das Spiel.
(2,5 VP)